Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 39
Текст из файла (страница 39)
температуры изэнтропически заторможенного газа. а (ь 1, 1), при 7'~ 97З +1 При рассматриваемом „расчетном" истечении в вакуум давление, пгготность и температура в "выходном сечении равны нулю, равна нулю "нР у, ап О6, том подробнее будет сказано а конце га. Ч1, посаящевнон плоским газовым течениям* 208 одйомягный поток идеальной жидкости ~гл. ш Все изложенное, конечно, верно лишь для идеального газа, лишенного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности процесса, т.
е. отсутствия притока или отвода тепла з сопле. На самом деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее. Во-первых, даже и для идеального газа, лишенного внутреннего трения, движение в сопле не одномерно, а представляет на самом деле сложное до- и сверхзвуковое пространственное течение. Во-вторых, при наличии трения частицы газа, движущиеся около стенок сопла, имеют меньшие скорости, чем частицы, удаленные от стенок; образующийся вблизи стенок сопла пограничный слой утолщается вниз по потоку, а иногда даже отрывается от стенок, искажая тем самым всю картину потока и делая невозможным применение гидравлической схемы одномерного потока; возникающие в потоке скачки уплотнения вызывают появление отрывов пограничного слои и, наоборот, пограничный слой стимулирует зарождение скачков уплотнения.
Это взаимное влияние вязкости и сжимаемости газа также искажает иаэнтропнчность и превращает расчетный режим в нера- счетный. И, наконец, в-третьих, существенной причиной нарушения адиабатичности потока является теплопередача через стенки сопла, что также сильно усложняет расчеты. Вот почему даже в настоящее время, когда многие нз только что перечисленных обстоятельств хорошо изучены, все же практически после расчета вновь спроектированного сопла приходится его дополнительно исследовать на опытной установке в лаборатории.
Рассчитанное сопло может не дать желательного увеличения числа М на выходе, кроме того, за счет неизэнтропичности движения газа возникают дополнительные потери механической энергии, коэффициент полезного действия при этом падает, что дли непрерывно действующих установок большой мощности, конечно, недопустимо.
Оставляя пока в стороне вопросы, связанные с внутренним трением в газе и образованием пограничного слоя на сгенках сопла (об этом будет еще идти речь в заключительных главах), остановимся вкратце на оценке влияния впвшивво подогрева или охлаждения потока в сопле. Рассмотрим опять одномерный стационарный поток идеального газа, адиабатичность которого нарушается тем, что нв некотором весьма коротком участке к газу подводится извнв тепло.
Это вызывает изменение температуры газа Т, или температуры изэнтропически заторможенного газа Т до участка подогрева на величину ЬТ= Тя — Т, и, соответственно, ЬТв=Тш — Т1в, причем за участком подогрева вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами Тэ и Тэв Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на участке подогрева, определим изменение числа М на этом участке, после чего уже нетрудно будет найти по обычным нззнтропическим формулам и изменения всех остальных величин.
йой одномяянов тзчяннв В сопле лАВАВН Основные уравнения поставленной залачи легко получить, если „писать, что пршпон тепла не л)ог нарушить баланса массы и шчесщиа дзилсенил, т. е. при прохождении газом участка подогрева ))стаются в силе слелуюп)ие дза равенства: ри=сопз1, ( р+ Риз= сопз1. 1г (99) "РМ. = РМ у —.=сопя), 1 Гз Р ' 1Ит= (100) Р+Ри =Р(1+, )=Р(1+Й вЂ” „вв) =- р(1+ УгМ-1 =сопз1. Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь чнгла М с обычной температурой Т или температурой изэнтропическн заторможенного газа Т: )~Т = сопз1, ~ 1+ ЛМв )ТТз сопз1. М 1+ — № (101) Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничизакпцим участок подогрева, тогда будем иметь: ° / Тв ! 1+яме 1+аМв Р ч)* г =, г г 1+ ЬМгв 1+ ЛМ~ ~1)в (102) Зная отношения: =1+ — — =1+— Т, 'ат т~ аТь и число М, до прохождения участка подогрева, по формулам (102) найдем М а уже затем по второй из формул (100) давлений 1 -~- аМ)~ р, 1+ЛМ~ (10З) 1В з )ж).л,г.лвв в Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости звука с температурой, давлением н плотностью газа, а также определение числа М, будем иметь: 210 !гл.
т ОднОмеРный поток идеальной жидкости а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, чная число Мв и температуру ую легко найдем и скорость газа за участком подогрева. Введем в рассмотрение функцию Мт 1+ Мт б' 2 ЛМ)= "1+,М. (104) входящую во вторую расчетну|о формулу (102), Вычислив проиаводную 1 — Мг У'РО = - 6+ — '.'")' видим, что функция г(М) имеет максимум при М =1, и этот макси- мум равен 1 ~'"= 1г2(Г,+1) . На рис. 50 приведен график функции ~(М) для воздуха (к = 1,4).
Как видно из графика, подогрев газа при М, (1 вызывает возрастание числа М, а при гт! й' вл М, ) 1, наоборот, убывание числа Мя. Следовательно, приток тепла к дозвуковому потоку ускоряет его, отвод теп.- ла — замедляет. В слуае сверхзвукового пото- В В ка, наобОРот, ПРап1ок тепла замедляет поток, вз в в О,г цб в,б б',в Рис. 50. отвод — ускоряет.
Так, например, при 7',и —— 540'К и М„= 0,5 увеличение температуры на 20о,„приводит к возрастаншо числа М до значения МЕ= 0,6. При той же начальной температуре и числе М,=1,4 подогрев на ус~и приведет к уменыпению числа М до Мз — — 1, при этом давление увеличится более чем на 50з~и. Одномерное течение газа в связи с многочисленными его приложениями к расчету реюбтивных двигателей и других газовых аппаратов представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма обширна и разнообразна. ГЛАВА У БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ф йб. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной жидкости.
Теорема Кельвина н Лагранжа. Безвихревое движение. Потенциал скоростей Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности классам движений †дв- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее пространственное движение. Исследование этих случаев представляет, по сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности. Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику конкретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упрощающие допущения об общем характере движения. В обосновании выбора этих допущений основную роль играют следующие две общие теоремы динамики идеальной жидкости. Теорема Кельвнна о сохранении циркуляции скорости т и: при баротропнол движении идеального заза под деаствиел потенциального поля обэеиных сил циркуляция скорости по любозсу заяннутолу жидкому контпуру сохраняет свое значение.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце 5 13 кинематнческой теоремы Кельвнна об изменении во времени циркуляции с~~рости. Согласно этой теореме, индивидуальния производная по врелени от циркуляции скорости ровна циркуляции ускорения: — „~ ~(7 эг) =~(Ч Зг). Подставим в правую часть выражение ускорения по основному У авненню Эйлера (б) гл. Ш, которое в случае потенциальных объемных снл н баротропности движения может быть переписано в виде 7= — рад (В+У); тогда получим се ~(7 ° йг) = — ~дгаб(П+У) ° Зг= — ~ 3(П+6), 212 плоское Безвихгевое дВнженне жидкости 1гл. т аг ~ (Ч ° чг) = О (Ч ° Зг) = сопз1, и, следовательио, что и доказывает теорему Кельвина.
Вспоминая, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвена заключить, что при принятых оговорках о баротропностн движения и потенциальности объемных сил сохраннютсн и интенсиености еихрееых трубок: ~ (и й Ч)„йа = сон з1. (1) а Предположим теперь, что в данный момент времени во всех точках некоторого жидкого объема отсутствует завихренпость (го1 Ч = 0), т. е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь поступательное и деформацнонное движение; тогда, согласно (1), и в любой другой момент времени ) (го1Ч)чдо= О. (2) В силу произвольности выбора величины и ориентации поверхности о из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет выполняться условие отсутствия вавихренности го1Ч=О.
Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвина приводит ко второй теореме — т е о р е м е Л а г р а н ж а о с о х р а н е н и и б е звихревого движения: если ео всех точках некоторой баротропно девлеуисейсн лод действием объемных сил с однозначным потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости е данный момент равен нулю, то и е любой другой момент движение будет без. вихревым. Предположим, например, что твердое тело совершает движение сквозь неподвшкную идеальную жидкую или газообразную среду. так как скалярное произведение градиента от некоторой Функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги КРИВОЙ. При однозначности функций П и У контурный интеграл по за. минутому контуру от полного дифференциала равен нулю, так что бб«сохвлнвннв нигкуля««««и потенциьл скогостей 213 что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том или, „ другом случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле скорой однородно (жидкость покоятся илн движется как одно целое со ««Ростью, равной скорости движения тела по отношению к непод «жной среде).
При этом владеке от тела вихрь скорости равен нулю следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения „ потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной ипшкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания тела. Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение повсюду будет безвихревым. Из теоремы Лагранжа следует, что в идеальной жидкости, находящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий для их образования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
