Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так, например (рис. 53а), двусвязную „ю область вне кольца (тоРа) моткио сделать одиосвазной, если дополнительно „о провести поверхность а, закрывающую отверстие кольца. При наличии Рис. 52. Рис. 53. поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведения а двусвязной области была отлична от пуля, то значение потенциала скорости Т+ (Л4) на одной, скажем передней, стороне поверхности з будет отличаться от значения Р (М) на задней стороне поверхности е на величину циклической постоянной хотя значение потенциала взято в одной и той же точке М (рис.
53б. В атом случае говорят, что потенциал скоростей ч(М) при прохождении через поверхность а претерпевает конечный скачок 5 9ь — Т, а поверхность а называют поверхностью разо О Рыва потенциала. Рассматривая поверхность ч вместе м + ы с поверхностью я как гра- Р- нику области, можно считать потеяцпал Г непрерывным во асей области. Изложенные здесь уток- 371 Лг наина представлений об однозначности и многозначности потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют основнУю роль в поньманин важнейших представлений теорий обтекания тел идеальной жидкостью и, в частности, теории крыла бесконечного и конечного силы Размаха. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной крыла„ идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в вих огосвязиой области прн помощи ваедеш1я .присоединенной" изолированной Резон трубки гшн вихревой поверхности.
плоское веэвихгезое движение )кидчосги (гл. т й 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений беэвихревого движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства беавихревого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвяэной области ,> +йтаб( 2 +Ф+П)+то1Ч Х Ч=-0 (9) и положим в нем, согласно (4), Ч=йгаб>р, го1Ч=О. Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного иля д* локального дифференцирования по времени — * и пространственноп> „дт „йтаб": дЧ д й~т'~ — = — етаб <р= йтай( — ) будем иметь вместо (9) равенство: йгайЯ+ 2+1+11)=0, (10) когорое приводит к выражению первого ингеграла уравнений движения дт + )' + й + П р(Г) 111) где р (Г) — произвольная функция времени, определяемая из граничных условий.
Полученное соотношение (11) называют интегралом Лагранжа — Коти. Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую >ке роль, как теорема Бернулли при стационарном движении. В последнем случае — ~~ =О, Р(г)=сопз1, дт и равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли — + У+П = сапЫ, 1,т 2 (12) причем, как уже указывалось в 9 25 гл. Н1, лри безвихревом движении константа, стоящая в правой части, 6)>дет иметь одно и и)о же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механической энергии. В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указагь один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека (13) гл. Ш: й 36) интеГРАл лАГРАнжА — коши и теоремА веРнуллн 219 Вели жидкость может рассматриваться как несжимаемая и обьемных снл нет, то уравнение (12) принимает простой вид: р+ — = сопз1.
ррч 2 (12') В простейшем случае несжшяаемой жидкости при отсутствии объемных сил получим: дг+ 2 + р (г)' Дч ! Р (13) при наличии сил веса добавляется еще член П=дл! а~+ 2 1 + р+л~ др 1 (14) При безвихревом движении жидкости или газа три неиавестные величины — проекции скорости и, о, ш — выражаются через олпу неизвестную функцию †потенци скоростей в(х, у, а; Е). Принятое попущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о барогропности движения (р = р(П)) свод!Гг решение задачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин в и р. Йля этой цели достаточно двух уравнений.
В качестве первого уравнения воаьмем уравнение сохранении массы — Р+ йч(р7) =О, др д! которое по формуле йч(р7) = йч(ратай ч) = — РЧЪ+ араб р ° атад о, где символ ЧА означает оператор Лапласа Чз + + д» да д» ДА» ДУ» Д»! ' преобразуется к виду: — ~+ рЧзю + птад р ° угад Ч = О. (16) Совокупность уравнений (11) н (16) вместе с уравнением связи и~жду плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12), в случае безвихревого движения служит главным образом для выраже„на давления р через кинематнческие элементы Ч, 1' и координаты, от которых зависит П. Выражая р' через проекции дгаб Ч на оси декартовых координат, будем иметь: 220 ПЛОСКОЕ ВЕЗВНХРЕВОЕ ДВИЖЕНИИ ЖНДКОСГН )гл.
ч систему уравнений движения;. пользоваться непосредственно уравнениями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится. Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движени~ несжимаемой жидкости. В атом случае неизвестные функции разделяются: уравнение неразрывности (16) превращаетсн в уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей Чяф = — + — + — = О дар дар дэт дх дд дв в давление р найдется после этого нз равенства (14), которое можно переписать в виде: Р( (") дс Й [(дх) +(ду) +(дЛ~ ~ 1 Безвссхревос движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интерессгнмя свойствамн. Докажем следующую теорему Кельвинас есви на гранина некотороа односвязной области вихревое движение совтсдает с безвихревмм, то кинетическая энергии безвихревого двинсения в рассматриваемой области меиьте кинетической энергии соответствуощсго вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь лищь на том, что скорости в безвнхревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как двя безвихреаого, так и аля вихревого движения. В самом деле, условимся обозначать символом Ь разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения.
Тогда будем иметь следующее выражение для разницы кинетических энергий: ЬТ= —" ((Ч+ЬЧ)г — Ъ с) йс = р Ч ° ЬЧ йс+ — ~ (ЬЧ(г ссс. (19) 2,/ Первый интеграл справа равен 1 Ч ЬЧйч= Уйсайср ЬЧйт и по известной, неоднократно уже применявшейся формуле сйт (та) = р д)т а+ йгай т ° а может быть преобразован такс Ч ЬЧйт= ~ йгайср ° ЬЧйт ~ й)т(тЬЧ)дс — ~ чб!т(ЬЧ)йч= с = ~ ср(ЬЧ)„с(й — ~ чЬ(сйчЧ)йч.
с где с — поверхность, ограничивакяиая односвязный объем,а дивергенция разности двух векторных функций заменена на разность диаергенций этих функций. По условию теоремы, движения на поверхности в совиадаот, т. е. ~ Вп) ниткгРьл ллгввнжь кОши и теОРЛИА вивнулли 22( др — О на в, кроме того, из условия несжнмаемостн гйч ч'=О.
Таким образом. п риый интеграл в равенстве (19) оказывается равным пулю, и остается равенство ЬТ Р )ЬЧ)зь(ч~б, 2 1 Т = — ь Г'бч = — ) йгэб в. Игад в Лт. Г Р ( 23 23 Применим вновь только что использованную формулу дивергеиции произведения скаляра на вектор (20), тогда получим: Т = — ~ бгт (Н йтаб у) ьгс — — р б)т йтаб ь бе = РТ Р Г 2,~ 23 ь т = — — ~ Ч(йгабй)нд — 2 ) Чрэрбь 2.) В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной формуле Остроградского, иод п понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно иметь Т= — — р — дю РГ д, 23 дн (21) Из этой формулы сразу следует, что, если на ограничивающей односаяздв ный объем жидкости поверхности в скорость равна нулю то и У вЂ” О, ди откуда по (21) сразу будет следовать, что и Т=О. Таким образом.
вновь приходим к тому же результату, ноторый следовал из теоремы Кельвина. которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе егце теорему Кельвииа можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической внергии лри безвихревом движении (на „лрямом пути" ) ио сравнению с любым др1аим вихревым движением ( окольным иутем*), если только зти движения совпадают на границе области движения. Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным возможным безвнхревым движением несжимаемой жидкости внутри области является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревое11 сколь угодно медленное движение„ при котором на границах скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области.
К тому же ревультату можно придти и непосредственно, не пользуясь теоремой Йельвина. Для этого выведем общую формулу для кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей. Имеем 222 плоскоя ввзвихвявоя движвнив жидкости ьгл. т Невозможность существования безвнхревого двнжеиня с однозначныя потенциалом в односвязиой области, иа границе которой скорости равны нулю, производит нз первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальнейшем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются и происходят за счет создания внутри обаема некоторых „особенностей" вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков нли диполей, приводящих к нарушению конечности значений цотенцнала в точках внутри области течения и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
