Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 43
Текст из файла (страница 43)
плоское ясззихгеное движгние если предположить, что Рис. 35. вектор А перпендикулярен плоскости движения. В самом деле, при А =Аз — — О, А, = .,' П)дем иметь в полном согласии с формулой (зб): дА„ а —— ду дА„ о= —" де ! (34) дАз се =— дл В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно опре«елять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потенциала; так н в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть ~пределено заданием либо скалярного потенииала ч, либо проекцией на ось з векторного потенциала А. Пользуясь представлением о векторном потенциале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (23).
зссмогрим секундный объемный расход жидкости () сквозь сечение потока в (Рнс оо). образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур АГвМгМгМм составленный яв двух одинаковых контуров М М и МзМ, распол сложенных в параллельных плоскостях, и нз отрезков перпендикувиров МОМ с--в 1бе Вели вместо функции у (2) рассмотреть функцию гу (з), го в новом ижении потенпиал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто при„однтся пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока ф(к, у) всегда играет сопряженную роль с функцией о(л, у) потенциала скоростей: каждая нз этик г функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собою е о в-~ безвихревых плоских У движениях идеальной и; жидкости. у Заметим, что фущо пию тока ф (к, у) в пло- д я.г ском движении можно яв= рассматривать как проекпию на яерпенднкуляр- мв ную к плоскости движе- о ння ось Ол векторною яотеняиала А, связанного с вектором скорости Ъ' равенством г гв Ч = го( А.
(33) плосков вкзвихзгвоз двнжтниз жидкощн и МгМ к плоскости хОУ, Разных по двине единице. БУдем иметь по (ЗЗ) и формуле Стокса: Я = ~ Ь яйе = ~ гой А ае = <~ А . аг, Ф ь где контурный интеграл берется по замкнутому контуру МьМгМгМ . Заметив, что криволинейные интегралы по отрезкам контура М Мг и МгМм по определению плоского двиЖении, взаимно сократягся и что по той же причине вдоль всего отрезка М Мз будет А = ф, а вдоль отрезка М,М, соответственно, А = фь получим по (35) при Н = 1: Ж згр згз ()= ~ Ахах+ ~А,З = ~ ф,а — ~ ф,т =ф,-фм м, гг н, о т. е. ту же самую формулу (23).
О своеобразной аналогии межау магнитными и гидродннзмическими явлениями будет сказано в гл. ЧП в связи с решением задачи о поле скоростей вокруг вихрей, где понятие векторного вотеициазз будет иметь особо существенное значение. функцию у(е), объединяющую, согласно (31), в один комплекс оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию векторного — функцию тока, называют колтлексным потенциалом нли характеристической функцией течения. Покажем как, зная комплексный потенциал у (е), определип вектор скорости Ч или его проекции и и еь Как известно, каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям итого комплексного числа.
Условимся при изложении плоского движении обозначать через ьг комплексную скорость ьг=- и+ )о, а для величины скорости сохранив~ обычное обозначение модуля комплексного числа: ! )'! =+ Уи +и . Наряду с комплексной скоростью )г, введем в рассмотрение сопряженную скорость Р, равную Р= и — г'о. Если 6 — угол, образованный вектором (комплексной скоростюо И с действительной осью, то будем иметь: (Зб) ьг =- и + Ы = ~ г ) (сов О + 1 юп 8) = ~ Ъ' ~ е з, Р' = и — )э = ~ )г1(соз б — (яп б) = ~ У)е ~з. а 33 331 поствовнив пгостгйших полай твчення 229 рассмотрим геперь производную — комплексного ««отенцнала по й/ камиле лексному аргументу. По основному свойству функции комплексной ой йд йх д(т+гф) дт .
де перемени +!в йг йх дх дх дк ' „„,уда, согласно (30), сразу следует: — ~ = и го — ~' = ~ ! '! с — «г (37) е. производная от комплексного ««отгнйиила (харак«перис«наческой функции) по колтлексной координап«е равна сопряженной скорости. Проекции скоРости и н и определятся, соответсгвенно, как действительная и с обратным знаком мнимая части производной ог характеристической функции по комплексной координате с и=д. ч. — о= — и. ч.—.
(38) ' йг ' Сопряженная скорость имеет ту же величину (модуль), что и комплексная скорость, Рвс. 56. но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56). Обратная величина — — фб Иг ! ! ! (38) ИГ 'г' и — «о ! р! имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная скорость.
Совокупность комплексных координат частиц жидкости х образует область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим называют физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений комплексной скорости !«образует плоскость годограЯа скорости или просто плоа«ость годогра«да; в этой ила~~ости Расположатся годографы скорости, т.
е. геометрические месга проведенных из начала О (рнс. 88) концов векторов скорости частиц жидкости. % 88. Построение полей течения по заданяой характеристической Функции. Простейшие плоские потоки и их наложение пулем задаваться некоторыми простейшими выражениями для комплек ского потенциала и посмотрим каким цлоскнм безвихревым движе иженням такое задание будет соответствовать. !ь ° Линейная функпия у(л)=аз+ 6, где а н д — комплексные по постоя постоянные, причем, как уже ранее упоминалось аддитнвная \ ос сапная Ь без ущерба для дела может быть просто опущена, 230 плоскоя вгзвихвквов движения жидкости (гл.
т Сосгавляя сопряженную скорость л/ 'г'= — = п = сопв1 = ао — 1по = ! Ъо! (сов Оо — 1в1п йо), внаим, что комплексная константа представляет одинаковую по яеличине и направлению яо всем потоке сопряженную скорость. Опора. ковой буде~ н комплексная скорость и„ 1'= ~'о=ао+1оо —— !1'о!е ". Следовательно, линейная функпия однородного потока со скоросгюо определяег комплексный потенциал !'го!, наклоненного к действительной оси физической плоскосги под углом Оо = а (рнс. 07): у=( — ) =! Я =! 1'о!(сова — тяпа)«.
(40) 4, Отделяя денс гвительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей 9 — аох+ оу— = ! Ро!(хсова+ув1п а) и функцию тока Ф= пол+иву= = ! (го!( — хв1па+усова). Рнс. 57. В частных случаях а=О и а= — получим: 2 й при а = О о = ! 1/о ! х, ф = ! Ъ'о !у, г. г|ри а= 2 9=!1го!у, Ф= — ! 1го!х. Эго будуг потенциалы скоростей и функции тока однородных потоков, направленных вдоль осей х и у. 2'.
Степенная функция у(«) =а«" (и — действительная величина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость Ъ'= — = иа«г-г "~Х Иг будет стремиться к бесконечности при «-+со, если и ) 1, и к нулю при и ч.. 1; случай и = 1 уже рассмотрен в 1; Рведем полярные координаты, положив 0=ге" ! постяошгне п!'осг! Йшнх пол!.Й Гы!ения гогда: у(в) = аг" (соз ле-~ !а1п пв), о (г, в) = пг" соа пв, гугг, е) =--. пг"'з!и пе.
Линни гока будут представляться ссмейсгвом гч я!и пв == С. Полагая здесь |=-0, в,-+--=а, видим, и !то яри этом С=- О, г. е. роль нулевой ливни тока играет совокупность лучей, выхогяших ив начала коврдинат. Областью ге!енна являюгся части !лоскости, заключенвые в углах а = — . Рассмотрим простейшие случаи. При п=-1, 2, 3 потони будут иметь вид, изображенный на рис. 58. При дальнейшем возрастании и угол т будет уменьшаться, количество ячеек воз!встать. Изопотенциальные !инин имеют уравнегнем Гч сов !ге = С гли„что все равно, тв впг(п-+ в 2г Это уравнение— 'ого же семейства кри- Ряс. 58. !ых, что и линии тока 'о повернутого на угол — = —,' .
Изопогенциальные линии показаны и гп' 'а том же рис. 58 пунктиром, при л=1 оба севгейства — прямые> !Ри и 2 — гиперболы, плоское ввзвнхгевое движение жидкости (гл. т Ьбльшнй интерес для дальнейшего представляет случай и = — 1. Уравнение линий тока будет г — = С. мп а Это, как легко сообразить, семейство окружностей, проходяпгих через начало координат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке с осью Ох. Физический смысл кон. станты а в выражении комплексного потенциала н более глубокое представление о самом движении будет дано в следующем х пункте. Скорость течения обращается в бесконечность в начале координат н в нуль при в -ь оо.
Изопотенцязльные линии, по предыдущему, представятся той же сеткой окруипюстей (на рнс. б9 показанных пунктиром), но повернутой по предыдущему на —. Оба 2' семейства окружностей взаимно ортогональны. 1 О гнетем еще случай л = — с характеристической функцией 2 у='г'л н углом а=-2п. Чтобы найти линии тока, в этом случае лучше всего поступить так. Перепишем уравнение, определяющее характеристическую функцию, в виде з = х+ 1у = уз = св — фз+ арф; тогда, сравнивая действительные и мнимые части н полагая в полученных прн этом равенствах ф= с, найдем уравнение семейства линий тока в параметрическом зиле х= фа — ся, у= 2счк рис.
60. Исключая параметр чк получим семейство парабол 1 х= — у — с я э чст с вершинамн на отрицательной части оси х, являющейся для парабол осью симметрия (рис. 60), постговниз пгоствйшнх полей тсчвння 233 По общемУ свойствУ степенных комплексных потенциалов изопотен„„льные линии получатся поворотом линий тока на — 1=к1 2 °вЂ” „„н что в данном случае все равно, зеркальным отображением нлн, в ося Оу. Рассматривая положительную часть оси Ох как некоторую ердую стенку, получим картину перетекания жидкости нз верхней части полуплоскости в нижнюю при наличии огибания стенки Ох.
3з„стим, что скорость течения в точке в=О равна бесконечности: — ! ! — '.! = ! а а ла ~а а 2)Га 1а а вблизи этой точки наблюдается резкое сгущение линий тока. 3'. Логарифмическая функция у =А 1пж Предположим сначала, что А — действительная величина. Полы'ая а= ге", получим Х = 9+ ~Ф = А!п г+ 1Ае, откуда: <~=А1п г, ф= Аа. Линнямн тока служат лучи е=сопз1, выходящие из начала координат; нзопотенциальными линиями — ортогональные к ннм окружности г=сопз1 (рнс. 61а). Картина линий тока соответствует плоскому а) лпвачлъл 9 Саах Рнс. 61.
истечению жидкости нз точечного источника, находящегося в на. челе е кООРдинат ~на самом же деле — из источников, непрерывно рас"Ределенных по оси Оз). Чтобы найти гидродинамическое значение козф озффициента А, введен в рассмотрение мощность нлн интенсиа"осгль источника д, определив эту величину как секундный объемный 234 плоское ввзвихвввов движения жидкости 1гл.
т' расход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпендикулярном к плоскости течения направлении. Имеем: д =- 2яг~ 1г~ = 2яг ° ~ — ~ = 2ягА ° ~- ~ = 2ягА ° — = 2гА, !йе~ 1в~ ' г откуда следует А = — —. 2ч ' Условимся наряду с источником рассматривать сток, отличающийся лишь направлением стрелок на линиях тока (рнс. 616). Тогда в общем случае буден имегь характеристическую функцию для расположенного в начале координат источника нли т стока мощности д в виде (41) 11 (с) = ~: — 1и в, 2и причем верхний знак относится к источнику, нижний — к стоку; при желании знак можнО включать в определение величины |у, считая д положительным в случае источника н отрицательным — в случае стоят Пусть теперь А — чисто мнимая величина, равная Вг', где  †у действительная величина. Комплекс! ному потенциалу ! у = В11пв, как уже ранее было указано, будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и в случае источника !'стока), но линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами (рис.
62). Картина линий тока соответствует так называемому циркуляииоялому движению жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити, совпадающей с осью Ов. Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим циркуляцию Г скорости по некоторой окружности радиуса г. Будем иметь: Г=РУ,ав=ь='! '= ~(В-- ."= -, =3!ив! =3 г ' е откулч вытекает Г 6=в 2п ' посгвоьнив пгосгьйших полей гзчы1ия В зависимости от направления движения частиц будем имеггп Гт Г у= + — 1па=~ — !пг, 2я 2ш „ричем верхний знак, как легко сообразить, будет соогве1сгвовагь вр' ;пцению по часовой сгрелке, нижний — обратному врагценню. Можно знак включить в определение величины Р и считагь циркуляцию гюлозгигельной тогда, когда при обходе частицей жидкости окруж- ности площадь круга осгаегся слева; этому соогветствует комплексный отенциал циркуляционного потока Г1 Г у= — 1па= 1пз, 2я 2ьт (42) 3амегим, что как в случае источника (с~ока), так и в случае вихря распределение скоростей по абсолютной величине отвечаег формуле ~ Ц=я — или ) Р]= —, !ч! !Г! 2чг 2гг ' ди до — + — =о, дх ду в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
