Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 46
Текст из файла (страница 46)
68а) будут двигаться вспять, а линии тока будут замкнутыми кривыми вокруг цилиндра. При (рис. 686 и в) Г Г ~ — =2Ь' и — <2К 2ка 6 критические точки будут находиться на контуре цилиндра. Как видно из рис. 68, при циркуляционном обтекании круглого цилиндра сохраняется симметрия относительно оси Оу, но нарушается симметрия Относительно оси Ох. В связи с этим главный вектор сил да- вленая жидкости на поверх- ность цилиндра будет отличен Рнс.
68. от нуля и направлен вдоль оси Оу. Заметим, что в сжах жидкости над цилиндром скорости есциркуляцнонного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра виладываютвл, а снизу от цилнщра— На контуре круга, согласно (49): г И= И ~1 — е-®) + — и-и= ре-м ~ 2$/ о4по+ — ), 2~ ~ 2~ 'ч +2аа) Замечав, что интеграл по замкнутому контуру от постсминой составляющей давления С, как архимедова сила в однородном поле давлений, равен нулю, получим: Йд,= 2 ~ ~ T~ созе~В= 2 ~ (2К,) о о Й = — ! 1 2 Кю $1п о+ — ) Ып о до.
2,) ~ 2аа) о' Интегралы легко вычисляются; имеем: й, ="2а ° 4Р ~ ЖРесозойо+Рй ° 4У о Г чо мп о+ — ) созо~й, йеа) — ) Мпесозоао+ Г о оа + — ° — ~ соко ао, ра Гт 2 4атао 3 гсв = $ ° 4 $ ~~ ~ Ыпо о во + Р ° 4 И ° — ( АР о аз + о о + — ' — ~ з3поао ра |е Р 2 4яоао,~ о 248 плоское ввзвихрввов движвниз жидкости 1 вычарлаютсв. Отсюда следует, что над цилиндром скорости больше ~ чем снизу; это видно и по плотности линий тока — над цилиндром линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются.
При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине цилиндра меньше, на нижней — больше, еле швательно, главный вектор сил давления должен быть направлен по оси Оу вверх. Найдем величину этой, перпендикулярной к направлению ввижения силы и. Имеем и= — ~ригов, гг = — $рсозогрв, йо= — ~ря1погй, где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу окружности. По теореме Бернулли р=С вЂ” —. р~ ~'Р 2 овтвклнив эллипсл, пластинки и дж й 40) х интегралов отличен от нуля лишь второй в выражении Дю так что: Д„=О, ек ,1„Г р Д„= = ~ ыпв е бе = рК Р. е (50) $40. Применение криволинейных координат.
Бесциркулициоииое и циркуляционное обтеиаиия эллиптического цилиндра и пластинки. Задача Жуковского об обтекании решетки пластин. В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих паРаграфах, случаях задача об определении комплексного потенциала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости к+Му, а в плоскости другого вспомогательного переменного - =- ч + п1, связанного с л некоторой аналитической зависимостью с=л(ч).
(51) Геометрически это можно трактовать как решение задачи обтекан"я в криволинейной системе координат ($, т1), т. е. Разыскание комплексного потенциала в виде х=х(Ф (52) Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь между Х и в в параметрическом виде, причем роль параметра играет комплексная переменная Г„Поясним это примером, Как н в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при цир„„ляционном обтекании сопротивления нет (гс .= О), но зато появилась поперечная сила тгв, равная, по (50), произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию.
формула (50) Явлаетса частным слУчавж общей теоРемы ЖУковского, относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы булет дано ниже. Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще в середине ХЧШ в. Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндрические башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии набегающего ветра перпендикулярную к направлению ветра силу, движущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях. Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляционном обтекании круглого цилиндра имеет основное значение.
К этой задаче будут сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и, в частности, задача об обтекании крыла. плоское везвихгевое движение жидкости (гл. т 250 Уравнение (с в действительная постоянная) г= се'пг. (61) даст переход от декартовых координат х, у к аллилтачгсхгсн координатам 1, ч1. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную и мнимую части, будем иметь: х+ су=ссй~+1т)=ссй$сове+(свй1з1птн х = с сп с сов л, у = с зп с в)п т1.
(61") Полагая здесь $ = а = сопз1, получим семейство эллипсов (рис. 69) хт уй с'спал с'зпев — + — =1 с полуосями а=сепо, Ь=сай е н фокусным расстоянием с=ф' ав — бв," полагая т) = р' = сопж, получим семейство ят 1 с'соз" р с'$$я'р софокусных с предыдущими эллипсами гипербол, имеющих полуоси с соз р и с яп р. Рассмотрим теперь комплексный потен- циал Х = А сЬ (( — т)„(69') Рис. 69.
где А и у = а+ 1Р— действительная и комплексная постоянныг. Переписывая этот комплексный потенпиал в форме е+ а) = А сй ((1 — е) + 1(6 — Щ сразу видим, что ф=б, если 6=а или ъ)=р, т. с. нулевая линия тока состоит из эллипса 1 = а и гиперболы ч1 = Р (на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение по- стоянной А, составим выражение сопряженной скорости — Иу Ну . Хг А зМС вЂ” т) 7= — = —: — = ля ль к6 сзпч и вячислим ее на бесконечном удалении ог эллипса 1 = а.
Будем иметь (6 — угол между вектором В' и осью Ох): А зй(С вЂ” т) А, ~е~ г А <»=1 К 1е = — Ищ Цщ, — — е1, с с.г зп,1, с с. сс с овтеклнив эллипсл, пластинки и дж ь 40) откуда получаем ! у !е е '= — е- ° е-гз. — е А е Из последнего равенства вытекает: 0 !), А=с! И !е', причем постоянная а может быть, по прел,ыдущему, выражена через полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул: а а Ь Ь Ь сЬа=-=, яЬа=-=, гйа с тгиз — Ья с у а~ — Ьг а так что е' = сЬ а+ вЬ а = —, А = (а+ Ь) ! И Итак, совокупность равенств у-(а+Ь)! Ь !сЬ(0 — (), е=ссЬГ, где, напоминаем, а+гр=аггЬ вЂ” +гб, с=ф ав Ьз Ь а дает параметрическое выражение комплексного потенциала у(е) обтекания эллиптического цилиндра с полуосями а и Ь е плоским безвихревым потоком несжимаемой жидкости, имеющим скорость на бесконечности, равную по величи- Ь не ! Ъ' !инаправленную под углом 6., к большой оси эллипса; угол !~ Л принято Ф называть углом атака Картина линий тока показана на рис.
70. Для построения линий Рнс. 70. тока и изопотенциальных линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей, которые получатся исключением $ и ц из системы уравнений: ~р = (а+ Ь) ! $l ! сЬ (с — и) соя(л — !)), ф=(а+Ь)! Ь' !зЬ(Š— а)ып(ъ~ — Д), к =- с сЬ с соз тЬ у=салмин, плоскОе вкзвихгьаов движьник жидкости (гл. ч Можно также иа<лючнть ч непосредственно из уравнений (53). Для этого перепишем первое из уравнений (53) в виде Х = (а+ Ь)! 1~ ! (сй т сй ь — зй т аИ), а из второго найдем е Гее ~й(,= —, ~и~= ~, с ' тогда будем иметь lе г .=-(+Ь)1~ 1/-,.
— l — . „), (54) или, заменяя: ейт= 1 ( + Ф) = 2 ( '"+' "-") 1 яй у= зй (а+ ф) = — (е +сз — е-«-сз), 1 а+Ь е~ =— Э с с е-' = —, а+Ь' получим еще такое выражение для у: у = —, (а+ ЬН Ь'- ) ~ —, "( — Ф'л' — ') + + ~, ~-~(~+ ~'~=")~=-,' Г (<+М" — ~')+ + 2 1~ (е — У ее — сг). (55) 1 (а 4- Ь)г е — фее:сг ~ 1 1с о тогда (55) даст 1— 1 з ! аг у= — 1/ -2е+ — (2а)з1г ° — = Ь' е+ 1г,г —. 2 2 2е е' Если положить в (55) Ь=О, а=с, то получим потенциал обтекания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегающему потоку под углом атаки р 0 : 1 1 '( 2 ~( г ся)+2 '"'( +~ 1 1 =-,(Ь"-+ Р-) — —,(1~- — 1'-) у' ' — '= =а е — гп )/гг а— е', (55') где и, Π— проекции Р на оси координат. Из последнего выражения легко вновь получить комплексный потешшал обтекания круга (46). Для этого достаточно заметить, что в случае крута а=б и с=О и что, кроме того, ф 401 ОВТЗКАНИЗ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
МЗ По составу выражении комплексного потенциала (55') можно заклсочить, что косое обтекание пластинки складывается из двух тече„„й 1) вдоль пластинки, по направлению действительной оси со ско„стью и; комплексный потенциал этого обтекания равен 11с(л)=" е н а) перпендикулярно к пластинке со скоростью са, направленной вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен у,(е)=-и )/ез — ез, (55") в чем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линни тока по этой простой формуле.
Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набе. гающего на пластинку потока; будем иметь Р= — =и — са (55) ае )/ ее Приравняв правую часть нулю, найдем координаты критических точек А и В (рис. 71): си е = х = -+ — =-:+- с соз р, !!с 1 где, напоминаем, е — половина Длины пластинки; ПРИ Р =-р. абе кРН- тические точки сходятся в начале координат. При е=='с, т. е.
На передней и задней кромках пластинки, скорость, согласно (56), абращаеси ля в бесконечность, что видно и по сгущению линий тока в в в Г на концах пластинки. На са- -с р, Х иом деле инертная жидкость не может безотрывно обтекать острые кромки пластинки, так как при образусасцихся бесконечно больших скоростях должны (со гласно теореме Бернулли) появляться бесконечно боль- 1"ис.
7!. щие разрежения, что физически невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях можно теоретически получить обтекание с отрывал с!вруб. При этом скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обтекания уже не будет непрерывным во всей физической плоскости. !гл. т чапеков язланхаьяоь дяижашп жидк(н.! н Покаяьем, как построить обтекание пластинки с бесконечной ско ростью лишь на одной, например, передней острой кромке и с ко. нечной скоростью ни задней кромке.
Этот прием является общим приемом теории крыла и будет в дальнейшем подробно изложен !по стулат Чаплыгина, э 42). Рассььотриьь комплексный потенциал чисто цирнуляционногодаижения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем равенство «сз!пу=сжпф+гф)=с(ив~рейф+!созоайф). Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (б1), легко заключить, что софокусные эллипсы ) = сова! будут линиями тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса.
Такое движение и будет чисто циркуляционным движением вокруг эллипса или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы семейства эллипсов (рис. 72). Заладим комплексный потенциал чисто циркуляционного движения вокруг эллипса функцией 7 — агс з!и —, Г е (57) где постоянная Г пока не определена. Выражение это совпадает с выражением комплексного потенциала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние 2с устремить к нулю.
Действительно, по известным формулам теории гиперболических функций от комплексного аргумента будем иметь: Г е Г /гг'1 Г Ле Г «а т 7 . агсжп- — агам~ — )= — !и ~ — + ас 1 — — ) Ы с 2я! !,с)=2я! 1,с ьг' ст ~' нли, испольауя свободу в выборе алднтивной постоянной в выраже- нии комплексного потенциала, г )сс' — еь — е) х= — — ! ! с Г!ереходя в этом выражении к пределу при с-ь О, получим, применяя обычное правило раскрытия неопределенностей: 1' ~()сс — с" — !г) ~ Г ~(2 г'ст — аа) Г 1 Г = — — !и — = — !п «+ сов ж' 2е! 2Ф 2ег + т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
