Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 48
Текст из файла (страница 48)
между ш~астииками (с(хс"2а — с) действительные части сопряженных скоростей (65) первого и второго потоков обРащшотса в см чгч скоРости напРавлены пеРпеидикУлЯРио оси Ох. Накладывая рассмотренные потоки а, б, в друг на друга. можио получить различные обтекания решетки. Так, соединяя комплексные потенциалы (62) и (64) получим бесциркулнциоииый поток (рис. 76).
аналогичный ранее рассмотренному обтеканию единичной пластиики (рис. 7!). Складывая чисто циркуляциониый поток (ЬЗ! с параллельным оси Ох потоком (64), можно получить исток, показапкый иа рис. 79. плоскок вкзвпхт квак двнжкник жидкости (гл. ч Если слонята все трн потока, то моною так подобрать скорость а ='+~у чисто циркуляционного потока, чтобы на задней (по направлению течения) кромке пластинки скорость была конечной. Лля этого, согласно (65), доста. тачка унионе~варить условию нс , лс прн л=с ((саз — =а зш —, 2а ' 2а' Прн выполнении этого равенства, т. с. при гс 18 2а обтекание будет иметь внл, представленный на рнс.
80. О силовом воздействнн потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку, будет сказано далее в связн с применением теоремы Жуковского. В 41. Плоское движенне с отрывом струй. Разрывное обтекание пластинки н протекпнне жндкостн сквозь отверстые В предыдущем параграфе уже указывалась, что жндкость не может обтекать острые ьромки тел. Образующиеся в этих точках бесконечные скорости вызывают физически невозможные бесконечные отрицательные давления; на самом деле жидкие струн отрываются с острых кромок.
создавая сложные вихревые движения. Простейшая схема безвнхревого описания такого рода движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерывностн поля скоростей н введения в рассмотрение линий разрыва скоростей, котарымн служат сорвавшиеся с острых крамол линии тока. Идея этой схемы, предложенной впервые Гельмгольцем в классической монографии „О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г., заключается. в допущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока— так называемые свободные линии тока — ухоЗаа~,";,. ' ь дат на бесконечность, ограничивая за телом самс Р=Р У="' "; б бесконечнУю жеРшвУю л . сллзабння л ю — — Е зону покоящейся жидко- — =- = сти.
Если отвлечься от У ===и — — влияния объемных снл, то я (д " =-" ~~~~~= — давление знушри „мерт- вой зоны' будет повсюду — — — одинаковым. Как легко == сообразить, оно будет ,, юлгззж - =ГОООюдвад — л- = одинаковым и па грани- ~" Гэатт тр à —:".(З-б цаХ ЗОНЫ, На „СзабадНЫХ" '''юз ""'' ' ' . ° теореме бернулли, при- мененной к своболным Рис.
81. линиям тока со сгороны движущейся жндкостп следует, что вдоль свободных линий шока скорость сохраняет постоянную величину. Нулевая лнннн тока (рис. 81) приходит в критическую ~очку О, где разветвляется на две линии тока, расположенные на поверхностн обтекаемого тела. В точках А н В, соответствующих острым кромкам, линии тока (ф=о) сходят с тела и образуют дне свободные линии така АК' я ВК", ндоль которых давление равна давлению в „мертвой зоне", а скорости постоянны. В этом отличие свободной лшшн тока от твердой стенки, которая также мажет рассматриваться как линия тона, но с пе)эененпммп, Клб правило, давлением и скоростью, пдоскок движннин с отрывом стркй 363 8 4!! !'ельмгольц указал на простой класс примеров построения таких отрывных ,ых обтеканий со .свободными линиямн тока и .мертвыми зонами". рассмотрим следуюп1ую дифференциальную связь между комплексией 1юордннатой х и комплексным потенциалом Х: дх —,= (Х)- Ф~~'~Х)— пХ (67) ,.~с Р(Х) — пока пРоизвольнаЯ фУикциа комплексного потенциала Х.
Пользуясь независимостью производной от направления дифференцирования, можем написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = сопз1) в виде: ,—.-~ — -~м*гягл — х дх ду дч (68) По предыдущему (равенство (39) 6 37): Фх дх .ду 1 — = — + ю' — ==, бХ дч дф опгуда На саободяод лщаи тока, где скорость постоянна, должно выполняться условие (69) ~ — ) +Я =сопя! Предположим теперь, что функция г'(Х) при некоторых значениях ф=сопзй иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительиыс значения. Тогда в области зиачщшй ф, при которых Р~(Т) ь1, правая часть равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68) приведется к системе: д» дч= — = ) (Т) — г"Рз(Т) — 1, ду — = О. др (76) Из второго уравнения втой системы следует, что рассматриваемый участок линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ох(у=сопя!).
Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетворяет условию (69), следовательно, зти отрезки линий тока не являются „свободами". Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой сч(ч) с. 1. По (63) будем иметь: — = р(р), дх дв ф= — гт:яы. ~ (71) Эта ча"ть линий тока удовлетворяет условию (69) и, следовательно, является свободной линней тока. различные функции Г(Х), удовлетворяющие толыго что указанным условиям. будут давать примеры отрывных обтеканий. Среди них можно выделить некоторые, представляющие практический интерес.
Конечно, такой метод Решения задач нельзя назвать,прямым", так как он не дает Возможнортн 264 плоское везнихнепое движение жидкости (гл. т непосредственного получения обче~анин наперед ззданных контуров. Прямой метод требует применения метода конформных преобразовании.т Положим, например, 1 Р(Х) = —. )х' Эта функция действительна толыго при ф= о и в~0; кроме того' Рт(Ч!"=- ! пРи 0==~1==.
! и Р."(ч)==1 пРи Ч=1. ПРи ~1(0 фУнкЦна Р(7) принимает чисто мнимые значения. Имеем по (68) при ф = 0 и з (О: дх ду 1 1 — +1, д7 дз 1 — 7 что дает х = гонт!„нли, в силу произвольности выбора начала отсчета, х = О, зто — положительная часть осн Оу, в чем легко убедиться, проинтегрировав второе уравнение прн — со(у(0. Далее.
иа той же линии тока прп О (~! ~ 1, согласно (68), будем иметь: дх 1 Г ! дг +- 1 =О. д, ), Из втой системы равенств следует: х = 2 ) 7~+ асс з!и ()РЧ) + у'~! )' ! — ч, у = О, (72') где константы интегрирования выбраны таю чтобы в яачале координат былсс х=О,у=-О, ч=О. Равенство (72') показывает„что участок линии тона 0 ~ ~р==1, ф=О представляет отрезок АВ (рнс.
82л) оси Ох мезкду точками А и В с абсцис- самн, соответствующими двум значениям корня )Р7 при В = 1: я1 х = ч (2+ згс з1п 1) = + 2+ — ) . 2) Наконец, в области значений 2 их 1 будем иметь дифферегщнальные урав- нения свободных линий тока АК' и ВКл: дх 1 ду 1 дг )Р7 дч которые интегрируются в конечном виде и дают х=2ф 7, 1 у = ~ у 1 — Фу = — аг сй '// р+ Р 7 )Рч — 1. Уравнение свободной линии то~а будет х х Гхч У = — аг сд —,+ — 1тг — — 1. 2 2т' 4 г По зтому поводу см., например, Н.
В. Кочин, И. А. К и бель и Н, В. Р о з е, Теоретическая механика, ч. 1. Гостехнздат, 1И8. стр. 312 — Зчб, а также монографию Л. И. Седова „Плоские задачи гидро- динамики и азродинамнкн . 1остехнздат, 196!у, стр. 200 — 230, где приводятсз Л схемы отрывного обтекания, отличные от наложенных, 265 плоскок движкник с отвывом стнтй с з41( При т-и-+ос, так же как и при в-ь — сз, имеем Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход пластинка свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как это имело место пРн безотРывном обтеканин.
полученное решенне определлет разрывное обтекание пластинки шири„й 4-(-м набегающим на нее нормальным потоком, имеющим шюрость на Рис. 82. бесконечности, равную единице (рис. 82а). Легко найти полную силу давлений жидкосгн на пластинку. Со стороны набегающей жидкостн на участке пластинки АВ действует давление р, которое по теореме Бернуллн равно (примем р = 1): з! )'(т 1 ! ~'Р Р= сопл( — — =Р + —— 2 со стОРоны .меРтвой эоны" давление РавнО Рз, пРнчем 1 1 1!з~ Р =~Рсч+ ! Р 1У(=1 разность давлений. действующих ва злеыент ггх с обеих сторон пластинки, будет,озгласно (72)» 1 (У!3 1 2 2 2 Р— Р, Элемент длины пластинки Фх по (72) равен 266 плоское вкзвихгквок двнжзннк жидкости (гл.
т так что злементарная результирующая сила давлений будет: Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно оси Оу„найдем пол. ную силу давления в аиде т 12 =- 2 ~ ~~ аз = я е Предо~явим силу сопротивления в плоском дзижепии в общей форме: рФ Р=С.—.Ь.1, где С вЂ” коэффициент сопротивления, р — плотность жидкости, Ко — величина скорости на бесконечности, Ь вЂ” характерный размер обтекаемого тела в плоскости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае); единица, стоящая з конце формулы сопротивления, напоминает, что сила сонротизлевия рассчитывается иа единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости течения. Сравнивая между собою последние две формулы, полу. чим уравнение для определения С: А'= и = С вЂ” * (4+ и), 1 ° 1 2 * откуда найдем С= — 'ь 0,68, 2 4+и так что в общем случае обтекания пластинки ширины Ь жидкостью с плотностью р прн скорости набегающего потока Ке будем иметь формулу сокротивления ярр Ь Заметим, что полученная теоретическая формула лает значение сопротивления, в дза раза меньшее действительного, хотя распределение давления по передйей части пластишси близко к опытному.
Объяснение етого факта лежит в неучеге вихревых явлений в .мертвой зоне' (рис. 82в), уменьшающих среднее давление на тыльную часть пластинки и тем самым увеличивающих сопротизлеюие. Если сравнить тольио что разобранное разрывное обтекание пластинки с непрерывным (бб), имеющим комплексный потенциал т(з) =Ьз )Гзт — сз, то можно заключить, что симметричное относительно обеих осей коорди~~~ непрерывное обтекание с бесконечиымн скоростями ва острых краях пла атнккн (рис.
826) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределенвс ф 41) ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ еиий, резко отличающееся от экспериментального. Простое сравнение карт зртвн обтекания (Рис. 82 а и 6) со схемой действительного обтекания 1 „с. 02е) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает более правильную Форму течения, чем теория непрерывного потенциала. Следует подчеркнуть, что Разрывные картины обтекания с кпнематичееяол стороны ближе подходят к опыту, чем с дииалгнчеекоа. Общий вид люцу тока и распределение скоростеи' вне „мертвой зоны" обычно полу„аются зесьиа схожими с Реальным обтеканием, силовые же характеристики, зависящие от структуры потока в мертвой зоне и наличия сил трения, получаются, как правило, Резко ззннженяыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
