Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. равенство 142). Чисто пиркуляплонный поток вокруг пластишш ГЬ=О, и =с) будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический цилиндр, для которого пластинка служит фокусным расстоянием. $40! огпьклмиь эллипсл, паж ып1ки и дьт ценная скорость будет равна Сопри — Р 1 Ь'= —— 2я ) еь — еа п верхности пластинки (у=О, — сС х (+с) сопряженная скорость ь действительна и равна: и+ — — (при Г > О, и, ( 0) 2з ~/ез — хт ,а еерлней поверхности и и = — (при Г>0, и > О) Р 2я 3~ ез — лх иа нинелей. Отвлечемся от того, что отрезок РР' представляет некоторую твердую стенку — обтекаемую пиркуляционным потоком пластинку— и представим себе всю плоскость лОу занятой жидкостью.
Тогда 9 линия РР представит линию разрыва скоростей в потоке. В самом деле по только что доказанному, 1 У при переходе череа линию РР (рис. 72) по перпендикулярному к этой линии бесконечно малому Р-г е отрезку М М, концы которого расположены по обе стороны от линии РР', скорость и претерпевает конечный скачок — Р л у'ет — лт Рис. 72.
В отличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности происходил в скорости, нормальной к поверхности разрыва, в настоящем случае разрыв происходит в ско- к+ рости, направленной вдоль линии е . разрыва. Рассмотрим ближе при- роду такого касательного скачка ле скорости. с, Р Окружим некоторую точку М (рис. 73) на линии раарыва РР' Рис. 73. бесконечно малым прямоугольным контуром, состоящим нз отрезков АВ= СО=йе, параллельных линии РР', и АЮ=ВС, перпендикулярных к ней. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуРу (и+ — и )не= — Рне з уст — хт 256 плос!тот БвтвнхРьвое движенив жидкости (гл о~лична от нуля„' следовательно, на отрезке йь линии разрыва ско ростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции.
Обоаначим через 7 плогпность распределения вихрей, г. е. интенсивность непрерывного ях распределения, приходящуюся на едвпщу длины отрезка РР'. Гогда получим тй =(и — и,)й' и, следовательно, Г 7=и — и и уса — х" (5В) Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии пря плоском движении (в пространстве этому соответствует распределение прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности) обрааует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (а частности — пластинки) эквивалентно потону, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса„ причем плотность распределения вихрей в слое определяется фор мулой (58). Суммарная интенсивность вихревого слов будет равна т =и в — тп )с'ва — ся + — атсатп —. г 2ч е (59) что и опредетиет физический смысл константы в формуле (57).
Таким образом, комплексный потенциал (57) яижется обобщением комплексного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя конечной длины, но той хте суммарной интенсивности, что и единичный вихрь. Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено обтекание круглого цилиндра с цнркуляциен, так же можно найти и обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для етого достаточно сложить комплексные потенциалы бесциркуляцнонного обтекания эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его обтекания.
Так„ например, в случае косого циркуляцнонного обтекания пластинки будем иметь комплексный потенциал Овтекьт1ив эллнисз« Пластинки и ду $40! Соситзляя производную по з, найдем сопряженную скорость — «1' 1 Ь = иаэс — Юсс — „— + у«« вЂ” с«2и у с« — «« г =- и — 1 г' «« — ее (60) Г= — 2ко с= — 2кс~ 1« ~з1пб (61) где 0 — угол атани. Соответствующая плавному обтеканию задней кромки сопряженная скорость будет по (60) н (61) равна: — /а — с 1«= и — 1 фг —. «+с' (60') При этом скорость на задней кромке Г пластины будет равна (и)„,=и =! У ~ сояб . Картина циркулационного обтекания пластннни с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис.
74. Сравнивая эту картину с соответствующим бесциркуляционным обтеканием пластинни на рис. 71, видим, что прн выбранном значении циркуляции (61) задняя критическая точка Ь' совместилась с задней кромкой г' Х пластинки; на передней кромке Р' Я 0 скорость остается равной бесконечности, что при действительном обтекании приведет к отрыву потока. с ! Как заметил впервые С. А.
Чаи нлыгин, задние острые кРОмки Рнс. 74. кРыловых профилей обтекаются, ьак правило, без отрыва, если только углы атаки не выходят за пределы неноторого интервала. Иными словами, нри действительном обтекании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая необходима для создания непрерывного обтенания задней кромки с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в Э 42. Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно; Обычно эту кромку закругляют, создавая плавный „носок" профиля.
17 а . ииь л. г. л«ы а. Пользуясь произволом в выборе „наложенной циркуляции Г, можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению обтекания) кромке пластинки Р стала конечной. Для этого, очевидно, достаточно положить 258 плоскок нкзинхгквок днныкиив щидкости (гл. в рассмотренная только что задача об обтекании пластинки воюет быть обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины 2 (рис. 75), расположеивыт вдоль оси х на равных друг от друга рассгоя.
иняз 2и. Рис. 75. Х т(я) = -о юп ~-г(а 1 зшз — — ящт— кс кя 2И 2о б) чисто циркуляциовного потока вокруг пластинок (рнс. 75): соз оя 2и кс ~/ з1пт — — янР— 2я Зт (63) в) плоскопараллельного потока вдаль действительной оси: ул(я)=п а. (ба) слшкение которых приводит к общему косому циркуляциониому обтеканию указанной решетки пластин, т Н. Е. Ж у к о иск и й, Вихревая теория гребного винта. Статья вторив Иабр. соч., т. 11, стр.
257. Н. В. Жуковский т указывает следующие интегральные выракения для комплексных потенциалов: а) обтекания решетки пластин потоком, направленным в бесконечности в полшкительвую сторону мнимой оси (рис. 75): ОНТККАНИК ВЛЛИПСА~ ПЛАСТИНКИ И ДР Применение символов неопределенных интегралов предсгааляс2 го удоб,но, что позволяет сразу найти скорости потоков: ла о з3п = 2а э гс . ка зй22 ' з,.пт 2а 2я вз о соз— 2о (ббу Из / 21с аа 2а 2а .+. 1 з(пз — — згнт— Перед корнями поставлены знаки +.,чтобы напомнить известную особенность коряя квадратного как функции комплексного переменного.
Точки А и В с координатами з =:"с, в которых подкоренные величины обращаются в нуль (а скорости в бесконечность), являются жеанами рпззствленнн Рис, 76. в плоскости комплексного аргумента. При обходе этих точек по окружностям бесконечно малого радиуса (рнс. 77) значения корня меняют свой знак, так что двум бесконечно близким точкам м и м, находящимся с ратных сторон лействнтельиой оси на отРезке АВ, будут соотзетспювать одинаковые по г - Ы абсолютной величине, но / л ъ Разные по знаку дейстзи- ! ! тельные значения корня. ',, АТ' Отсюда следует, что на отРезке АВ рассматриваемые коРни являются двузначны-". ми функциями, а сам отрезок †лннл разрыва функции Чтобы избегнуть этой двузначности, можно представить отрс шк АВ, как ° Разрез" в плоскости з.
Тогда точки М и М' окажутся Расположенными по обе стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой ставет возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (па рис. 77 показанным пунктирами). Такое рассмотрение физической плоскости л, как Цч 260 ПЛОСКОЕ ВЕЗЕИХРЕИОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСЯ (гл. р плоскости с бесконечной системой .разрезов" АВ„А'В' и т. д., позволяет считать корень квадратный, входяший в выражение скоростей, однозиачиой функцией, во при атом сама плоскость л ставовится многосвязной, вернее сказать, бесконечно связиои.
Исследуемое обтекание решетки пластин дает пример плоского безвихревого движения в многосвязной области. Формулы (65) позволяют составить полиое впечатлевие о картине обтекаиия рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что при запеве а на л= 2ла, где и= 1, 2... формулы (65) не измеияютос. Это говорит о пгуподичяосшп картины обтекаивя, причем периодом служит величина 2а, называемая исагом решетки. При л = Гу цзигонометрические функции перейдут в гиперболические ог действительного аргумента, так что для точек оси Оу будем иметь: 2 1т Р 2а пг=О, ох= Мпт л,-+ зйз— вс як 2и (66) Осе†2я т ' э 2п 2я ги аша — + зйх— яс гу из=к, па=О.
При у = — сс. согласно сделанному замечанию о знаках перед корнезс и =О, о, о и =я . оа =О; при у =+ со и, =О, о а =+7, в =О, 9 Г!ри а =О в гочлш О первый поток имеет скорость. равную пулю безотво- сительно к тому, с какой стороны разреза взята точка О! таким образом, точки О, О', О",... бул)т служить хрптичесхггмп дли первого потока. Критическими зочклми второго потоке будут гочки, абсциссы ковзрых являлися корнями ураввснин гх соз — = О. 2а т, с. точки С, У) и др. на отрезке АВ действительной оси ( — сч'хк,+с), как можно иепосредственно заключить по формулам (65), в первом и втором потоках скороспс будут направлены вдоль пластинки, ио они будут иметь разное направление сверху и снизу пластинки (рис. 75 и 76!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
