Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Входяп1ее в эту формулу произведение ат зависит от формы обтекаемого контура, так, например, по предыдугцему (см. конец й 42) 1 для пластинки ат — с, н подъемная сила оказывается равной (87') Я = 2ярс ~ Ъ' [в жп и. В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается пропорциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего потока н синусу угла атаки. Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной 1 з силы 1г к скоростному напору набегающего потока — рР и длине 2 хорды. Обычно ось 077 направляют по скорости Ч, тогда подъемная сила будет направлена по оси Оу н может быть обозначена через У нли 1т .
Вот почему коэффициент подъемной силы з нашей литера- г См. ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского, й 43) твоввма жтковского о подъамной сила крыль 283 .уре принято обозначать через С„, а коэффициент сопротивлення— через С~. При этом обозначении будем иметь (д †хор): ат С = 1 Ь =8сс — яп а У -'-р!1„РЬ (88) или в частном случае пластинки (3 =2с): С, = 2сс яп а. (88') Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде (а1п а = а) С, = 6,28а, довольно хорошо отражает действительную закономерность: коэффи- циент подьемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитан- ному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропор- циональности 2сс = 6,28 оказывается несколько завышенным.
йа На рис. 90 представлены для с„ сравнения теоретическая прямая и экспериментальная кривая С„(а) для симметричного сг профиля с отношением максимальной толщины к хорде, равным 9е~е. Как видно нз рисунка, в интервале углов атаки — 13' ~ а ~ 13' (область отрицательных углов на рисунке не представлена, но она в силу симметричности профиля ничем не отличается от области положительных углов) расхождение между теоретическим коэффипиентом подъемной силы пластинки и экспериментальным йр ЕОО сх для тонкого профиля невелико.
Применять формулы ЖуковРис. ЯО. ского и Чаплыгина (86) и (87) к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае пластинки скорость обращается в бесконечность, что нарушает непреРссвность обтекания. Становится непонятным, как вообще на пластинке м~жет возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения. ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ 1гл. т Действительно, при отсутствии тре|пш нормальные к поверхности пластинки силы давления должны дать главный вектор, направленный также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости на бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом, наряду с подъемной силой, имелась бы н сила сопротивления.
Этот парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разрежение, приводящее к направленной против течения „подсасывающей" силе, уничтожающей сопротивление. ' 9 44.
Применение метода комплексных переменных к выводу теоремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора и момента сил давления потока на крыло Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А. Чаплы- гиным, з который по- У лучил общие формулы главного вектора и ' главного момента сил давления потока на л=-гега крыло. Рассмотрим крыло* вой контур С 1рис. 91) в безвихревом плоскоз параллельном потоке С г идеальной несжимаемой жидкости, набегающей на профиль со скоростью Ь" .
Составим выраже- ния главного Вектора Й и главного момента относительно перРис. 91. пенднкулярной к пло- скости течения оси, проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли г! ~'Р р = сопз1 —— 2 г Подробнее см.
цитированные сочинения Н. Е. Жуковского, а также В. В. Г о л у б е з, Теорял крыла аэроплана з плоскопарзллельном потоке. Гостехвздат, 1938, стр. 154. з С. д. Ч а и л ы г и н, О давлении плосколараллельвого потока ва пре. граждающие тела (к теории аэроплана). Метем. сб., т. ХХЧШ, 1910, 44) НРимвнвниа метОдА комплексных пвРвмвнных 285 К= — й рпа= р а! урибе 2 у' и главного момента: ~.=- — 4 р . [ Ачра =Ц~ ч у„~~~рь Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что (рис.
91): и = — гем, гЬ = Не ° е™, хпя — уп„= д. ч. (Агп); (д. ч. — Действительная часть) кроне того, на контуре С можно положить -+. ~ ~/'~ ем Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду: К К+яд р ~ )' ~агЬ г.е= — -г-д. ч. ~ Ь'~ве-ямлдж Заменим в этих формулах ~ К)=-+ Ь"е™= + Реп; тогда получим: — рг р~ Й=й~ — ~)т' = — ) Ъ"~~Ж= — г'еФ~, ув = — р д. ч. г'гл пг. 2 (89) Таковы известныв формулы Чаплыгина, выражающие сопряженный вектор силы н момент сял давления потока на тело. Вспоминая, что по предыдущему пХ В'=— лг ' перепишем формулы Чаплыгина еще в таком аиде: б дем иметь, как и в предыдущем параграфе, выражение главного вектора: 286 плОскОЙ ввзвнхрвяое дви2кйнне хищности [Гл.
лх Сопряженная скорость ~'= — является голоморфной функцие1 аг переменного» во внешней по отношению к контуру С насти фиан ческой плоскости». Следовательно, интегралы (90) можно вычислят~ по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по окруж аХ ности круга С'.
Вместе с тем функция 1'(»)= — может быть н; ая этом контуре С' и во всей внешней по отношению к нему облает~ разложена з ряд по отрицательным степеням»: (г=~ = е+ — + — '+- ау аг аг — лг — е г ат (91 в котором свободный член представляет, очешщно, сопряженнук скорость на бесконечности: ао=Ю = (91' Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощь контурного интегрирования по формулам: 1о — 1 эФ а = —.
Р»"-' гЫ»= — — Х»а-' Ф». 2яг~~~ 2я1~ Ж Значения этих коэффициентов зависят от вида функции — „, т. е. аХ от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычнсляетсг коэффициент аг, он оказывается равным 1 Р ИХ 1 Р 1 г 1' б» ~ ~ у ~ Ь 2яг'~ Лг 2г$$ 2ягф ' 2я1 ' (91'') лз / 2яг, при и = 1, l О, при лФ1, будем иметь: е-Цу( +~-ь" ) уе= — д.'"(". + + ")» = р г аг+ 2геаг = — яр д. ч. (г(аг+2оеаг)).
т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля. Покажем, что сила и момент при обтекании произаоланого профиля зависят лишь от первых трех коэффициентов разложении (91): ао, а, и ая. Для этого подставим в выражение (90) разложение (91), причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые дают отличные от нуля значения; вспоминая, что 44) пзиивнвннв метода комплексных папвмвнных 287 И~пользуя выражения (91') н (91") первых двух коэффициентов ао „ ен получим- 1с= — фЪ' Г, Ео= — 2яр д.
ч. (1Р аа). 8 первой из этих формул нетрудно уанать формулу Жуковского. Величина подьемной силы равна )й~=р! К !Г; множитель ( — 1) показывает, что направление комплексного вектора Й можно получить поворотом комплексного вектора И на 90' в сторону„ противоположную „положительному направлению циркуляции . Используя полученное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь: )Т=4яР~ и! И 11е з1п(ее —" )= =2иргл а~ У ~~$е йю — е 'е1. (93) Что касается выражения момента 7ч„то для его вычисления необходимо знать величину коэффициента а в разложении сопряженной скорости (91). Подчеркнем еше раз, что для вычисления силы и момента не нужно знать полностью обтекание крыла, т.
е все коэффициенты разложения (91), — достаточно располагать лишь первыми тремя коэффициентами ае, а, и а . Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (9 40), представленное формулой сопряженной скорости (60'). Составим разложение скорости в ряд по отрицательным степеням ас lа — е сей 1сее| 'г"(л)=и — ю ~г' — =и — 1о + — — — — + а+с а 2 ае Сравнивая это разложение с рядом (91), получим: аз=и — 1о = Г, а = с(о =ею'~ И ~з1па, 1 1 аз — — — — са1о = — — сз1~ И ~з1па. 2 " 2 Находим по (92): Йе+ 7У4э = — ф (и + гз ) Г = ро à — фи, Г, или по (61): Йе= — 2ирст~, 71и —— 2ярсгь и . Момент Хе по второй из формул (92) будет равен: е= — 2ир д. ч.
~ — — сЧи .1(и;о )~ = — арсаев д. ч. (и, — 1е ) = — ваези и . 288 плоская яезвихгввос движение жидкости 1гл, т Переходя от проекций скорости и, о к их выражениям чере модуль скорости и угол атаки а = 6 , окончательно получим: Р„= — 2арс~ И ~вз1паа, йв —— 2ярс~ Гг 1аяпасоза, Го = — врсв~ $г 1еяпасоза. Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действии равнодействукнлей, Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет хггв у1~и = Г'о или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокращения: 1 хвп а сов а+уз1пза = — — сз1п а сова. 2 Точка Ц (рис.
92) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы давления потока на пластинку к одной силе Й, то эта сила будет приложена в центре давления Ц. Г1олагая в последнем уравнении у = О, найдем абсциссу положения центра давления Ц на пластинке: с х= — —. 2' Центр давления потока на пласт кку находится на четверРис. 92. ти ее длины от перед" ней кромки, причем, <ак показывает последняя формула, положение центра давления не ~заисит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки. Вводя в рассмотрение коэффициент момента С Ар т рва 1удем иметь при малых углах атаки 1з1па='а, сова =1): глАВный момент сил дАВления й 45) СРавниваа с фоРмУлой коэффициента подъемной силы св=2еа, видим, что с,„: св — — 1: 4.
Ннтересно отметить, что это соогношение, обычно выражаемое йсю йея „рез коэффициенты — и — „в виде йс„, йс,„ йса 1 йсв й йе 4' оказывается справедливым не только для косого обтекания пластинки, но довольно хорошо соогвегствует опытным данным и для тонких с симметричных профилей. Если принять точку ЕЕ~ — —,0) за точку, 2' относительно которой берется главный момент снл давлений, го момент Е. будет равен нулю. В 4б. Выражение главного момента снл давления потока через коэффициенты конформного отображения. фокус крыла. Независимость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола устойчивости формулы Жуковского н Чаплыгина позволяют сделагь некоторые общие выводы, относящиеся к задаче об обтекании плоскопараллельным потоком крылового профиля произвольной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
