Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 55
Текст из файла (страница 55)
96. у обобщенных профилей несколько больше, чем у обычных профилей Жуковского — Чаплыгина, т. е. 2к, а именно АРся 2з — — = 2к ~1 + -) . рга т ~ 2п) ' 2я Отношение моментов относительно фокуса для обобщенного профиля и обычного равно 1 — —. Зв 2 47 Задача об обтекании слабо изогнутой дужки произвольной формы (теории тонкого крыла) Для оценочных расчетов крыловых профилей авиационного типа, имеющих, как правило, сравнительно малую относительную толщину и вогнутость, допустимо заменять зги профили дужкой, уравнение которой у= 1-"(х) можно, например, получить, строя полусумму ординат уг гр1 (х) и Уа=р.з(х) верхней и нижней поверхностей заданного крылоного профиля у= — (уг+у) =-у(1'т(х)+)з(х))- 1 1 Задача об обтекании дужки малой вогнутости потоком, набегаю"шм на дужку под неболыпим углом атаки, может быть сравнительно легко разрешена для любой заданной формы дужки. Рассмотрим обтекание дужки К, опирающейся своими концами на р~ АВ 2 о, Р р',рро ~р ,рр р р р рорр ~рррр, стр йз-йа.
302 плоское вязвнюввов движения жидкости (гл. т причем на самой пластинке (у=О, — с~х=а+с) сопряженная скорость будет иметь проекцми: се †и-и -+-и у — о=О где верхний знак относится к верхней поверхности пластинки, а нижний — к нижней. Разобьем, как уже это делалось ранее, вектор скорости Ч на вектор скорости плоскопараллельного потока Ч и вектор скорости возмущений Ч'". Тогда в случае обтекания пластюгки будем иметь: (101) Рассматривая обтекание дужки К, можно утверждать, что проекпия (г„полной скорости У на нормаль к дужке должна быть равна нулю вдоль дужки, так как дужка является линией тока; таким образом, получим 0 Ч +Ч„, илн, вводя угол 0 между касателыюй к дужке и осью х, К,= — Ч „= — (и соз(п, х)+с соз(п„у)) = = — ( — я з$пб+о созб)=и мпб — о сояб. будем предползгать, что угол 0 вдоль всей дужки весьма мзл, так что зш 0 = 1к 0 = Р'(х), соз 0 = 1; кроме того, в силу малости ордянат дужки, будем считать граничное условие Ч„=О выполненным не на дужке, а на хорде АВ.
Тогда предыдущее выражение нормальной к дужке компоненты скорости приведется к следующему граничному условию: при — с=ах~+с, у О, ее = и Р' (х) — о . (102) с осью Ох угол б Сравним поставленную задачу с ранее раз решенной в 1$40 задачей об аналогичном обтекании пластинки АВ (рнс. 92), причем и в том и в другом случае будем предполагать, что задняя кромка В с координатой с=с обтекается безотрывно. В случае пластинки, согласно формуле (60'), такого рода обтекание будет происходить с сопряженной скоростью l» — с Г= а — 1и с+с' у А) зьдьчь Ов овтвкьвии сльво изогвътой дтжкй З0З узким образом, задача об обтекании слабо изогнутой дужки приится к задаче разыскания возмущенной скорости У'" по граничному ошно (102) для проекции ее нз ось Оу и к очевидному условию 11ь + 0 при х-+ со и у-+ со или, в комплексном виде, к разыскао голоморфной, исчезающей на бесконечности функции Р"(л), ниязи часть которой на отрезке действительной оси 1 — е~ х ~е) довлетворяет заданному условию м.
ч. 7ь =з„— и Г'(х), (103) илн, что все равно, условию (102). условия (101) на пластинке соответствуют налиюпо на отрезке АВ вихревого слоя с интенсивностью 6 40) 1(х) й (х) — и+ (х) = — 2в ~/ е причем по основному свойству вихревого слоя: и+(.)= — и (х), +(х)= (х)=й(х)= — и Задача об обтекании дужки К является обобщением аадачи об обтекании пластинки АВ. В случае обтекания дужки можно представить себе на отрезке АВ вновь некоторый вихревой слой, но уже с неизвестной интенсивностью 1(х) н нормальной составляющей скорости, ааданной равенством (102), превращающимся во второе равенство (101) при Р'(х) = О. Рассматривая отрезок АВ как вихревой слой, будем иметь, как и в случае пластинки, следующие соотношения между касательными и нормальными компонентами скорости возмущения жндкостк вихревым слоем сверху и снизу слоя: й+ (х) = — й(х)„п+(х) =и (х) =и (х).
(104) В настоящее время существует несколько методов решения поставленной аадзчи. Можно бьшо бы составить общее выражение сопряженной скорости потока, индуцнрованиой вихревым слоем неизвестной интенсивности т(х): +ь т (х') дх' 2ег совершив предельный переход х — х в некоторую точку М(х) слоя, написать условие равенства мнимой части зтого предельного значения скорости заданной Функции пь(х), согласно (102). Такой путь решения аадачи привел бы к необходимости решать относительно неизвестной интенсивности т(х) сингулярное интегральное 304 нлосков ввзвихтивок движвнив жидкости (гл. „ уравнение первого рода +е — ) дх'=и Р (х) — и .
1 1 т(н') / 2 3 Уравнение зто будет иметь единственное решение, если потребе„ вать дополнительно, чтобы Т(с) =О, т. е. чтобы задняя кромка пла стинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростыа. Решение укаэанного сингулярного уравнения может быть представлено несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея в виду, что после разыскания функции Т(х) необходимо производить еще дополнительные н довольно сложные расчеты скорости, естественно обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить ско.
рость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после этого при желании легко найдена как разность касательных скоро стей на нижней и верхней границах слоя). Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан Л. И. Седовым.' Представим искомую сопряженную скорость воамущенного дви- жения как проиаведение У*=Ф Г+,'У().
(108) где у(а) — ограниченная голоморфная вне отрезка АВ н исчезающая на бесконечности функпня; при таком выборе вида функции Гч будут выполняться условия Р" (с) О, 17(с) = и безогирыаноао обтекания задней кромки (з = с). На перел ней кромке (с = — с) скорость в общем случае обрап1ается в бесконечность. По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное представление функции у(л) через ее значения на контуре; у(з) =- — — Ж, 1 Р У(11 (106) где е.— контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми кружками, выделяющими точки разветвления А и В подннтегральной функпиа ~'()=У ь — с причем в верхней части разреаа АВ у корня следует брать знак плюс и считать ~(С) ф/ — 1й+ (с) — 1о+ (с)1 — 1 Рà — (й+ (Е) — 1о+ (с)1, т См. Л.
И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкостю Обороигнз, 1939, стр. 37 — 40; подробный анализ Решения Л. И. Седова пР" велев также в курсе К и б е л ь. К о ч и я и Р о з е„Теоретическая гидРо' механика, ч. 1. Гостехкахат, !948, стр. 288 — 298. задача ьв Овтакании слАво и вогнутой дужки 808 яа л аалсд половине разреза ур= — ~/ — (и (Е) — 1о" (Е)) =1)/ — (а (Е) — 1о (Е)); „да, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем привести равенство (105) к Виду: -е представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной скорости. Возвращаясь к полной скорости Ег и замечая, что в силу малости угла 8 можно положитал и =11г ~, о = — 1)г ( ° 8, окончательно получим: Ца)=7 + Гч(а) = (108) Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить главный вектор и главный момент снл давления потока иа дужку.
Лля этого следует лишь произвести разложения в ряд по отрипательным степеням выражений: 1 1 1 я(1 — Щ и, подставив нх в (108), сравнить реаультат подстановки с разложением сопряженной скорости (91) $44. Таким образом, найдем значения основных коэффициентов разложения: по= 1' +е ~ъ' ~ р Гг+Е = — 3 1"'(Е) — '-) $/ —,"1Е* -с ля= — —. ~ 1Р" (Е) — 8 11' ся — ЕайЕ, 2О з к ниь л г. л вч юань ВОО плоская везвихяявов двнжяние жйдкббти $гл, и а следовательно, и общие выражения главного вектора и главного момента Р ° = 2ярс! Г !" Оа )- 2р!$1 !ЯО, ~ Р ($)~ ~~~01, — е +е Й„ч=2крс! 1' )аΠ— 29! Ъ'" !Я ~ Р'~) $/ — '.д$, — е У,о — — — арса! Ь' !ЯО +2р! $г !Я 1 Р'(1))Усз — 1ад1.
(109) 1=.-ссозе, О=а==-я, с+1 2* Заметим, что интегральные члены в правых частях выражений (109) для Дя и Ее определяют влияние ногнутости дужки. Так, например, для дужки параболы Г(х) =9. ~1 ф, где 8 †стрел прогиба, будем иметгн й„=2крс! Р' !а(Е + — ), Уз= — р~! Р„!аб„. Как видно нз этих формул, в принятом приближении огиносителеч нанвогнутостау=,— увеличивает подземную силу, но не влияею 2с на .момент относигнельно начала ноординшп О, расположенного на середине отрезка АВ.
Найдем положение фокуса О; для этого вспомним, что 1.,= Г,,+хй„, В случае пластинки Р'Д= — О, и равенства (109) приводят к известным уже формулам (с точностью до О в первой степени): йч= О, гсв= 2ярс! к !ЯО, Ео= — крса! ь' !аз Замечая, что, согласно основным допущениям теории тонкой дужки, в общем случае функция Р'(ч) представляет малую величину того же порядка, что и О, видим, что 1т' является величиной второго порядка малости. При заданной форме дужки у= Р(х) величины йя и Еч могут быть вычислены по (109); при этом удобно пользоваться заменой переменной: 4Я )ь)1ю«а об бвтгкьйий блайо изогнттой дтж«1и ."1()7 о«куда г, 1 х)«« — прса) )г ~Я0 х. 2прс[ 1, ~ (О + ) о' г)риравнивая нулю часть момента, зависящую от угла атаки, получим как и ранее для пластинки; Ф с Х ° — — ' 2 « момент относительно фокуса будет равен 3 Е,, = яр ~ 1" 1з 0 ° с = кр ~ Ь' ~г сз —.
Выражения Я н Ь, для параболической дужки ничем не отлиз О' чаются от аналогичных формул для слабо изогнутой дужки круга. Это и не удивительно, так как с выбранной степенью «очности уравнение дужки круга совпадает с уравнением параболической дужки. Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнение дуги круга (2 46) ха+ (у + с с1К 2Яз = сз сзсз 2р в виде: ««, у= )'сзсзсз2р — хз — сс1п 2р=ссзс2р~ 1 — ( — ) япз2Ц вЂ” сс1~2ф= «,с 1(х з 2~с =-ссзс2р — сс122р — — 1 — ) сяп2р-«-...
= ='с ° АР— ~ — ) сз1п~соз~ ' 0~1 — (~) ~. Согласно формуле для 1сз, направление бесциркуляпионного обтеч« кения ~0 = — †) совпадает с направлением прямой, проведенной "срез вершину дужки и заднюю кромку. Это свойство у круговой дужки сохраняется прн любых вогнутостях. Распределение скоростей по поверхности дужки можно вычислить по формуле (108). Следует только иметь в виду, что при г-+х( — с~х~с) интеграл, стоящий в правой части, становится "есобстзенным и должен вычисляться в смысле своего глазного зна"ении и что, кроме того, предельный переход к точкам отрезка Ас« должен производиться по известным формулам анализа для предельных значений интеграла Коши.' 'с.,«р ремис чр*й аестехвздат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
