Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 59
Текст из файла (страница 59)
л( 2Г' (123) На рис. 101 приведены графию1 зависимости коэффициента я от атно- 1 сительиого шага решетки пластинок прн различных углах установки 9 (рис. 99) пластинок з решетке. Соотношениям (122) и (123) на графике соответствуют крайняя верхняя и крайняя нижняя крнвые. Интересно отметнтгь что прн углах 9, меньших 50е„н прн любых относительных шагах коэффициент д меньше единицы, т. е.
подъемная сила пластинки д в решетке меньше, чем у одиночной пластинки. Наоборот, при углах установки, приближающихся к р = 90, и не очень малых относительных шагах коз эффициент д становится значительно 0 я превосходящим единицу. При болыанх О) относительных шагах 1( . Оо)ковФфи г г ~1 Рпс, 101. циент я, естественно, независимо от угла устано1)ди 9, стремитсн к единице. Разыскание комплексного потенциала обтекаияя решетки профилей представляет задачу, значительно более трудную, чем соответствующий вопрос теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет становиться иа изложении даже простейшей задачи об обтекании решетк'1.
ставленной из пластин. Отсылаем интересующихся к недавно вышедшеи 491 тВОРВМА жуковбкого длн плОскОЙ РвшВтки 323 В свет монографии Н. Е. Кочина.т В втой краткой, но весьма содержатель„й монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных „ш, из пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной олщины. В настоящее время созданы различные методы расчета обтекания щеток, составленных из профилей произвольной формы,з однако этн вгоды еще только начинают получать практическое применение. Точно так <е, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения потенциала обтекания и распределенив скоростей н давлений по поверхности 3й оая1ля в решетке оказывает метод электро-гндродинамических аналогий ( ГЛА) з ~ Н. Е.
К о ч и н„ГКцродинамнческая теория решеток. Серия,Современные проблемы механики', Гостехиздат, 1949. э Н. Е К о ч и н, Влияние шага решетки на ее гидродинамические характеристики. Прнкл. матем. и механ,. т. Ч, вып. 2, !941; Л, А. С и м о н о в, Построение профилей по годографу скоростай. Приял. матем. и механ., т. Ч, вып. 2, 1941; Э. Л. Б ло х, Исследование плоской решетки, составленной из теоретических профилей конечной толщины. Труды НАГИ, вып. 611, 1947; з Уйелающим углубить своп знанияв области теории плоского движения рекомендуем монографию Л. И. Седова, Плоские задачи гидродинамнки.
Гостехиздат, 1950. ГЛАВА Ч1 ~!ЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА а 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого движения сжимаемого газа. Линеаризированиые уравнения 1 уравнению изэнтропы: а = совы„ у Ф Р" г этим уравнениям присоединяетса еще уравнение отсутствия вихри: дп до — — — =О. ду д,к Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде: да др др до Р— +и — +о — +Р— =0 дх дх ду ' ду г проиаведем в этом равенстве замену: др др Ф р 1 дл Р аЭ' дх др дк лз р дх аз дх' др др дд Р 1 дд Р д$' ду ду ду аз р ду аз ду ' ~ли по (1): (2н Общие уравнения нзэнтропического плоского стационарного без- зихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объем- зых сил и отвода тепла, согласно изложенному в гл.
111, можно свести с интегралу Бернулли — + др = — + — - = — + — = сои з1, уз рз й у 'г'а ат 2 2 й — 1 р 2 Й вЂ” 1 (1) Рравнению неразрывности: — + — =О, д(р 1 д(ро) дх ду У (2) хо 56) основныс гвлвнвниа ввзвихгввого движвниа 325 Тогда уравнение (2') после простых преобразований сведется к такому: ди гдо дот до (ая — и') — — ао ~ — + — ~+ (ая — о~ — = О.
дх '1дх ду~ ду В этом уравнении две неизвестных функции и и о могут быть сведены к одной — потенциалу скоростей о(х, у), так как, согласно (4), будем, очевидно, иметь: и= —, о= —. де дт дх' ду (6) Что касается величины ав, то связь ее со скоростью газа Ь" в данном месте определяется интегралом Бернулли Г' ат — + — = сопз1, 2 А — 1 так что й — 1 ая= сопз1 — — (ия+оя) = сопз1 — ~~ — ) +~ — ) ~. 2 Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции р(х, у), вопрос об интегрируемостн которого при заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудносги.
Как это уже было сделано в гл. 1Ч при рассмотрении одномерного несгационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5), сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого одноРодного движения со скоростью Ъ', плотностью р , давлением р и т. д, Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем имат ге и= У' +и', о=о', Р=р +р', р =р +р', а=а +а', где величины и', о', р', р' и а', так же как и их производные по координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать их квадратами и произведениями. В этом предположении будем иметь вместо (5) следующее линейное уравнение: з з ди', до' (а — К ) у-+ив сО ду которое, после введения числа М = —, перепишется так: а з ди' до' (1 — М„-) — + — О.
х ду 32В плосков вазвихтзвоа движение сжимлвмого газа ~гл. т~ Из уравнения нераарывности (2) следует, что сушествует такая функция Нх, у), по аналогии с несжимаемым потоком называемая функцией тока, что р Дт Р ДФ и 'и 4 р, Ду' р„дх' С11) В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа разобьем функцию тока ф, аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока ф' еозмуи1ений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного„по- ложив тогда, согласно 111), будем нметьч Р +Р ДФ' (Ъ' + и ) = Ь' +— Р +Р', ДФ' о ю:й р Дх' или, откидывая малые второго порядка: и'+ — Ь' = —, р др Р., Ду* Дфю Дх 11й) Освободимся в первом из этих равенств от р', выразив его через добавочную скорость и', согласно формуле Бернулли, переписанной, в силу уравнения изэнтропы, в виде: $/т а е ут й и — + — — = — + — —"— й й — 1 р 3 а-1'р„~р.й/ и 1Р1 = — + — ~ — ~ = сопя1, Р й — 1~р„~ Разбивая потенциал скоростей э на потенциал однородного попжа и малый потенциал ф' еоз.иуи1ений, будем иметь: <р Ь' х+~р', "=У '=% 1 Р) после чего уравнение (8) приведется к виду: Дйтч ДУРА 11 — М.,) —,-~- —, — О.
(10) линвлгнзиговлиный глаовый поток 2 5П Будем имеггч задавая константу на бесконечности, 2 Ь' и' + — Р' = О. Р<о Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем: Р Рсо ! дб' 1 и 1 — Ы',. ду * дх (14) Если последние выражения и' и о' подсгавить в условие отсутствия завихренности (4), то получим уравнение относительно ф'. дг )/ ! д~ф~ дле 1 — Ы' дуг =0 (15) И. Лннеаривированный до- н сверхзвуковой газовый поток вдоль волнистой стенки В качестве первого примера решений линеаризированных уравнений рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис. 102) в виде синусоиды с амплитудой е, весьма малой по сравнению с длиной волны Х. уравнение такой стенки будет .
2 .у=выл-х. л Определим возмущении и', о', р', р', вносимые твердой стенкой в однородный поток со скоростью Ъ', направленный вдоль оси Ох. Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором М С1, Обозначим через иа величину: Я еа =- 1 — М~; аналогиччюе уравнению (10) относительно добавочного потенциала Р'. Уравнения (10) и (15) представляют линеаризированнме уравнении плоеного безвихревого движении сжимаемого газа; их следует решать прн обычных граничных условиях для скорости на бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости).
Покажем ход решения линеаризированных уравнений на простейших примерах. 328 плоское всзвихи вол квнжьннс сжнмлсмого тизл ~гл. у1 будем искать решение уравнения (15) при слеауюшвх граничньпс условиях: ф=о, 2х при у= ее)ив Л нли, согласно (12): 2гх 2гх при у=ея1п — ' ф'= — 1' ея1п— 1, '"' Л (17) прн у-+ со ф' -+ к конечной величине. ) Попытаемся составить искомое решение„удовлетворяющее граничным у=гз1я ух Ртю. 102. условиям (17), в форме произведении двух функций от отдельных аргументов Х(х) и «'(у)- „' = Х(х) ° У (У); (18) подставив это выражение в (15), получим Х (х) г (у) + —, Х (х) у (у) = б, Х" (х) 1"' (у) 7 Х(х) ееу(Г) где 7я — некоторая постоянная. Отсюаа находим систему частных решений из которых ыожно составить комбинацию, удовлетворяющую гранич- ным условиям (17), 6' = А я)п7х - е- ~«'я, (1 9) 2е если положить 7=- —.
Л Действительно, на стенке ~у=ее)п — ) должно по (17) выное2ел л л ) няться равенство 7"=Ажп7х*е ™л =Ампул(1 ревя)в7х+...)=- — Ъ',,ея1п7х 329 линеагизнгованный газовый ноток й 5И Вто граничное условие будет выполнено приближенно, если положить А= — Ь" е (20) „отбросить в предыдущем равенстве, согласно принятой линеаривапнн„члены с аа и высшими степенями а.
Можно еще поступить иначе: выполнить первое граничное условие (17) шочно, но не на поверхности стенки, а на оси Ок, положив при у=О, Ф'= — Ь' аяптх. Подобный прием, характерный для всех методов рассмотрения движении, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного, применялся уже в предыдущей главе при рассмотрении задачи об обтекании тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости, набегающей на лужку под малым углом атаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
