Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Второе граничное условие, очевидно, также выполняется. Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи: (19') а используя (14), находим искомые проекпия скорости: (21) дф' -!$/т — и" у о'= — — — '=- 1! е7соз7к е дк Как видно из зтих решений, при удалении от волнистой стенки (У-+ <к) дополнительные скорости к' и о' быстро, по показательному закону, убывают до нуля, т.
е. движение вдалеке от стенки перехолит в невозмущенный однородный поток со скоростью Ь' (рис. 103). Сравнивая полученное дозвуковое движение гааа с соответствующим движением несжижпекой жидкости со скоростью около той же волнистой стенки (М, =О): ц = 1г„а1я1п 7к.е ж~ о = Р„е7созтк е '" Рис. 103. которое можно получить из (21), полагая в нем М =О, заметим су!дественный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом потоке с ростом числа М область возмущающего влияния стенки увеличивается, лннеагнзитованний газовый поток й 51! (23) В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из формул (21), иметь 2 т ° -т$'г — и' в р= — жптх-е ) 1 — М„' Давление на волнистую стенку получич, если, следуя принятому приближению, положим в последней формуле у=О; будем иметь (р)г а = — з(п тх.
3/1 —.и„" Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом гаае при данном М и несжимаемом (М = 0)„получим — важное соотношение, покааывающее, что в прннягом приближении коэффициент давления по поверхности обтекаемой стенки растет с числом М по закону ре»а = ° (24) )~7 — м Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено. Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока (М > 1). Вводя в этом случае обозначение а е» = Мо» 1» перепишем урзннение (15) в внле: д~ф' 1 отф' — — — — = О. (15') йха ,»»т лут Это волновое уравнение имеет, как известно„ общее решение Уг и уз †симво произвольных функций) Ф'=,гг (т — мт)+Уя(х+ .у), в чем легко убедиться простой подстановкой. Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому Ъ1-А1( — Ф Подставляя это значение р' в формулу (22), найдем общее выражение коэффициента давления р в линеаризированной теории 2л» р= р ЗЗ2 плоское ввзвих ввоз движение сжимаемого газа [гл.
тг Полагая х — ву= Сы убедимся, что вдоль прямых этого семейства (С) величины ф', и' Р Р э, р и т. д. принимают постоянные значения ф (С,), и'(С,) и т. д. Вспоминая сказанное з й 28 гл. 1Ч, видим, что семейство прямых (С,) представляет одно из двух семейств характеристик волнового уравнения (15'). Аналогично, семейство прямых (Св) к+ау= Св представляет второе семейство характеристик того же волнового уравнения. Уравнение (15') — линейное уравнение с постоянными коэффициентами; в силу этого характеристики (С,) и (Св), в отличие от рассмотренной в э 28 гл.
!ч нелинейной системы (27), определяются в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, вная распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным значениям ф', и', э', р' и т. д. вдоль некогорой линии, не принадлежащей к семействам характеристик, найти значения этих величии во всей плоскости: и'(х — счу) =- и' (С,), э'(х — ау) = э' (С,), и'(х+ыу)=и'(С), э'(х+ку)=э'(Ся) и т. д.
Принимая во внимание необходимость выполнения граничных условий: ы / 2г.1 при у=О ф = — [г„еып [х, ~Т= — ) при у-+ со 4,'-з-к конечной величине, будем искать функпию б' в виде г =Аз[и [Т(х — ау)[. Тогда из первого граничного условия будет вытекать А = — К~е, что приведет (25) к следующим окончательным результатам: — Ь' еы'а [т(х — вг)[, 1 дф' Ь е — соз [т [х — ву)[, — Ум„' — 1 Д[/ — — = Ъ' етсоз [т(х — оу)[, йн соз [т (х — иу)[. Ум„' — 1 333 лиивАРизигоиАииый гАзовый поток $51) На поверхности волнистой стенки в выбранном (у =О) будем иметь: (р) „. соз тх.
— 21 у' и„' — ! приближении (25). Прежде всего отме- Проаиализируем получеииые результаты тим следующее специфическое свойство сверхзвуковых потоков: аозз5уираюи8ее влияние стенки но поток не исчезае5п при удалении о5п с5пенки, как зто имело место в дозвуковых потоках. Наоборот, возму- и!ения, создаваемые стенкой, сохраняют свою величину вдоль наклонных к стенке прямых линий (рис.
104): х — му = сопя!. 8=- 1+сел51 Ь5 м„! Рве. !04. угловой коэффициент етого семейства хириктерисл5ик волнового уравнения (15') равен пу 1 ! . ! — =!за= — =- —, а=асса!и —. м РЪР— 1 !%~~ По З 27 гл. 1У заключаем, что характеристики играют роль линий еолиузяения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Чем больше число М„, тем меньше „у5оп возмущения" а, образуемый линиями возмущений с осью Ох.
На рис. 104 показано взаимное расположение линий тока и „ливий возмущения"— характеристик сверхзвукового потока. + 0 Сравним между собою распределения давлевия по поверхности стенки в дозвуковом (23') и сверхзвуко- О 0 вом (26) потоках. Распределения + зти сдвинуты по фазе друг отвосир=р о ,, р р , р р'0 8'0 8<О .. тельно друга иа -л,. (рис. 105), чго 8=0 приводит к принципиально отличРвс. 105. иым распределениям давлений в дои сверхзвуковом потоках. В дозвуковом потоке, в полном согласии с обычными представлениями о сгущеиии линий тока при обтекании выступов и, наоборот, Разрежении линий тока при омываиии впадин, р достигает своего максимального и мииимальиого значений во впадине и ва гребне волны (рис. 103). В сверхзвуковом потоке, как видно из (26), иа гребке волны, так же как и во впадине, козффициевт давления р О-.р 334 йлоског йвзйицгзвоз Мйижвнив сжимавмого газа 1гл, о, равен нулю, т.
е. р = р ; давление достигает своего максимального значения (рис. 10б) по середине восходящей ветви синусоиды (х = О), в точке перегиба синусоиды, и минимального в по середине склона (=)- Формулы (23') И (26) можно переписать в виде: (27) 2 йй (р),,==- — „„, <М„>1), 2а где функция Ь(х)=аз1п — „х=авпух определяет ординату волнистой стенки. Как видно из выражений (27), распределение давлений при дозвуковом потоке находится в протиеофазе с профилем волнистой станки, т.
е. следует за изменением ординаты, но в противоположном направлении. Распределение давления в сеерхэзукоеом потоке оказывается пропорциональным угловому коэффициенту профиля стенки, т. е. тангенсу угла наклона профиля стенки к оси Ох, илн, в силу малости углов, пропорциональным самому углу наклона. Назовем угол между направлением скорости в данной точке н осью Ох лестным углом атаки. Тогда из второй формулы системы (27) следует, что коэффициент давления на поверхности стенки е линеаризлрозанном сеерхзвукоеол потоке пропорционален лестному углу атаки; (28) (р)а=а=.— Полученные на простом и наглядном примере волнистой стенки результаты обобщаются и на общий случай лннеаризированного потока †задачу об обтекании тонкого крыла. й б2.
Тонкое крыло в линеврнзировннном до- и сверхзвуковом потоках. Влияние сжнмвемости виза нв коэффициент подъемной силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной силы и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке Линеаризнрованные уравнения движения сжимаемого газа могут быть использованы длз приближенного исследования обтекания дои сверхзвуковым потоком тонкого, мало изогнутого крыла при малых углах атаки. Начнем с дозвукового обтекания.
Обратим прежде всего внимание на следующее свойство уравнений (10) и (15): если в этих уравнениях от аргументов х и у перейти к новым переменным: ~= . у-М7 — аьр, (29) 52) тонков квыло в лийвавизнвойанном пОтОке М5 го уравнения (10) и (15) во вспомогательной плоскости Ь~ примут (20) Ф„.„,,6 т1)=Ф„, (х у) дави, дФноа д'Гав дфиов д1 дх ' дй ду (зц Таким образом, согласно (14), (29) и (31), получим для сравниваемых обтеканий: ничем не отличавшийся от соответствующих уравнений для потенциала скоростей и функции тока несжимаемой жидкости.
В результате преобразования (29) отрезки, параллельные осн Ох, оц анутся в плоскости Ц неизменными, отрезки же, параллельные ! оси Оу, — сократятся в раз. )/1 — М'„ Такая,анаморфоза" физической плоскости ху во вспомогательную плоскость Ь1 приведет к изменению граничных условий обтекания: во.первых, преобразованный профиль будет иметь измененную форму, 1 так как все его ординаты в плоскости Ь; сократвтся в Р'1 — и', раз, а абсциссы останутся неизменными; во-вторых, угол атаки набегающего потока на бесконечности в пгюскости ~~ по той же причине 1 уменьшится в раз.
ФГ1 — М" Если с самого начала взять в плоскости ху вспомогательный 1 тонкий крыловой профиль, у которого ординаты в раз 1/'1 — Иа больше, чем у исследуемого профиля, а угол атаки в то же число раз превосходит заданный угол атаки, то после проведения преобразования (29) задача об определении обтекании заданного профиля сжимаемым потоком сведется к задаче обтекании того же профиля с теми же условиями на бесконечности, но уже во вспомогательной плоскости Ь~, т. е., согласно уравнениям (ЗО)„в некотором „фиктивном" несжимаемом потоке. Замечая, что при М = 0 плоскости Ь1 н ху совпадают, и обозначая индексами „сж" и „нсж" соответствующие величины в сравниваемых между собою сжимаемом (М ф О) и г~есжимаемом (М„= О).потоках, будем иметь: 336 плоскоя йкзйихгвйов двнжвнна сжимьвмого газа (гл. ш Вспоминая выражение (23) для коэффициента давления, составим выражения: СЖ Рсм = — -~р-'- (33) — йи„,м Рссм ак 1 и, разделив первое на второе, согласно (32), получим основное з теории дозвукового линеаризированного потока соотношение Рааса Рсс = (34) $1 М2 представляющее обобщение формулы (24') на случай любого слабо изогнутого тонкого крылового профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
