Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 56
Текст из файла (страница 56)
1941, стР. 252 — 203. Несколько подйобнее о „несобственных" аатеграаах будет сказано в гл. Ч11. 48) онтвклнпп произвольного кгыдового пропили 309 срхности крыла вихревою слоя, чтобы в результате наложения плоскоповс ~драллельного набегающего потока на течение, нндуцщюванное слоем. полу„,„сь обтекание заданного профиля. Последний путь крайне сложен, так „приводит к необходимости приближенного решения ннтегралы~ых уравненн й и тем самым — к большому числу трудоемких вычислений.
Наиболее „видавшим себя, без сомнення, является первый путь, основанный на исьзоваини коиформных отображеннй. У нас в Союзе широко используются а вю доведенные до практических вычислительных приемов методы Я. М. Сеу брийского,' С. Г. Нужина и Л. А. Симонова.з За границей принят метод Т одорсена и его модификации.л Отсылая за деталями отдельных методов к цитируемым работам, остановянсяздесь на основной идее применения метода коиформных отображений и общем характере вычислительного анализа, приводящего к решению поставленной задачи.
Начнем с метода Я. М. Серебрнйского. Как уже было выяснено в646. формула конформного отображения Жуковского — Чаплыгина(98) преобРазУет системУ софокУсных зллипсов, стЯгивающихсЯ к отРезкУ ггт (рис. 94) физической плоскости л, в систему кругов с общим центром в начале координат во вспомогательной плоскости С Далее было показано, что в плоскости з существуют такие крыловые профили с нулевым углом на задней кромке (профили Жуковского — Чаплыгина), которые при выполнении того же конформного отображения (98) преобразуются в плоскости 0 в круги со смещенными относителыю начала координат центрами (рис. 95). Если вместо отображения (98) взять обобщенное отображение (100), то аналогичному преобразованию в круг будут подвергаться н крыловые профили — обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, — заканчивающиеся острым углом, отличным от нуля (рнс.
96). Возьмем теперь крыловой профиль, произвольной" формы. Наметим среднюю линию (,скелет") зтого профиля и определим его относительную вогнутость н толщану; после зтого совместим, насколько зто окажется возможным, профиль произвольной формы с подходящим к нему по вогнутости н толщине обычным или обобщенным профилен Жуковского — Чаплыгина. Из непрерывности отображающей функции (98) или (100) следует, что профили, близкие друг к другу в физической плоскости з„окажутся близкими и во вспомогательной плоскости С Но один нз зтнх профилей— профиль Жуковского — Чаплыгина — отображается на круг со смещенным центром, следовательно, второй — профиль произвольной формы — отобразится на некоторый близкий к кругу контур, который в дальнейшем изложении будем называть почти-круголь Для того чтобы ,почти-круг" был по возможности близок к точному кругу, следует особо внимательно отнестись к вопросу о расположении передней и задней кромок относительно фокусов г' и гг зллипсов в плоскости и Так, прн польаованип обобщенным преобразованием (!00), если за взят угол на задней кромке исследуемого профиля, то заднюю кромку профиля следует помещать точно в один из фокусов.
При использоваини обычного преобразования (98) зто можно делать только в том случае, когда угол и» г Я. 64. Се р е б р н йс к н й, Обтекание крыловых профилейпроизвольной формы. Инженерный сб., т. Ш, вып. 1, 1946, стр. 105. С. Г. Н у ж н н, Построение потшщиального потока несжимаемой жидкости около крыловых профилей произвольной формы. Прикл. матам, н механ., т. Х1, вып. 1, 1947, стр. 55. з Л. А. С и моно в, Расчет обтекания крыловых профилей н построение "Рофнля по распределению скоростей на его поверхности. Прнкл.
матем. и нехан' т Х1, вып. 1, 1947. стр. 69. Т!геобогзей Т. лепеха! Рогеп11а! Тйеогу о! Агйггагу %шй 5ес1!опз 1'АСА Йерагс уй 452 (1ЙЗ). З)0 плоское Везвихревое дВижение жидкости (гл. ч задней кромке очень близок к нулю, в противном случае следует угол иа задней кромке исследуемого профиля закруглить и помещать фокус на половине расстояния от закругленной кромки до центра ее кривизны. Что касается расположения передней закругленной кромки (носка про. филя), то при пользовании преобразованием (981 можно сохранить ту ае рекомендацию, что и для задней кромки.
Основанием для этой рекомендации служит известное геометрическое свойство носка достаточно тонкого эллипса. фонте эпакоео эллипса близок и середине радиуса кривизны носка. При использовании обобщенного преобразования (100) фокус рекомендуется раамещать между только что указанной точкой и носком профиля. При выполнении этих требований ,почти круг" будет представлять кри. вую, весьма близкую к кругу. Произведя указанное размещение исследуемого профиля по отношению к точкаи Р н Й вЂ” особым точкам преобразований 98) и (100), перейдем к самим преобразованиям. Будем для общности пользоваться преобразова. иием (100) е — ас 1'~ — с 1' е+ас Д+сl ' а=2 —— Э и (100) кооРдинаты соответствУющих точек Мо „почти-кРУга' Кав плоскости 0 н че.
рез а — радиус близкого к „почти-кругу" точного круга 7. в плоскости ач на рис. 97, совмещенной с плоскостью '. Наиболее трудоемкимн в смысле вычислений операциями являются: опредеэение уравнения .почти-круга в полярных координатах и представление логарифма отношЕния радиуса-век ТОРа Рэга) к РадиУсУ кРУга а в виде Рада ФУРье 1п — а = ае + '~~ (а„соз па + Ьв эЫ иа) О (Пб) и~а имея в виду, что при т= 0 преобразование (100) переходит в обычное преобразование Жуковского — ь1аплыгина (99'). Я.
М Серебрнйский использует более простое преобразование (99'), однако с точки зрения выгодного для дальнейлих расчетов максимального приближения „почти-круга к кругу можно рекомендовать для профилей с конечным углом иа задней кромке применение преобразования (100), учитывающего наличие этого угла. Обозначим (рис. 97) через ла, уа декартовы координаты точек й(а иа профиле К в плоскости е, Через .-'е, ти †декарто и через ры а — полярные 8 43) овткканив произвольного крылового провиля 311 а1/а ~1 а (я+ »с)1/а+ (г — ас)1/' 4с + ) +(,»с ) (л+ ас)1/' — (е — »е) /' г л «»с / '1»с и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в частях длины»с„а радиус-вектор р — в частях длины с. Сохраняя обозначение Г, р, я, х, у для этих безразл«ериых величия, будем имет«к «» (л+ !) + (е !) » «а !/а' (е+ 1)'/' — ( — 1)«м ПО««ШК««М.
(я ! !)0» — !прг 1 1»г ( !)1/» ! г + л 1 1 =- «'е««, е — 1 = г»е' ~ тогда б)дем иметь расчетные формулы: 1 (!п~ +1пр ) +(е +а )т 2 (1п рг — 1п р»)т + (໠— еа)т ' »а+ а» Е» — 6» »=асс«8, „— ыс«8 !п р' + !и р» !и р' — !П ра ' где: »1 1в р' = (г')1/' соа ~-), » а'=(гг) / а!п«1 — ), 1а 1»)' г»а 1п " = (г»)1/' Я [, е)' »» (,.»)1/а -„Г1 ). г' = ф' (х+1)1+уз, г" =. 1/(х — 1)т+ут, та= агс«д —, 1»= агс«8 —.
у» у х+1' х — 1' С. А. Г е р ш г о р и н, Ме/«аннам для построения функции комплексного 1« «1« переменного ь= — (е+ — /!. Изв. Ленингр. технолог. ин-та, т. П (ХХЧ!), 2(, юбилейный, 1928; О механическом построении профилей аэропланных крь«льев т"па проф. Мизеса. Вести. механ. и прикл. матем., т. 1, 1929. Л. Г, Лойця некий, О некоторых общих типах конформных трансфор- маторов движения. Иав. Ленингр.
политехн. ин-та, 1925; 11риближеяное кон- формное преобразование и его применение в теории механизмов. Журнал прикладн. физики, т. Ч, вьп«. 8 — 4, 1928; Основания синтетической теории ковформных трансформаторов движения. Журнал прикладн. физики, т. Ч, 1928. для атой цели следовало бы применять математические механизмы: кон,),ормный трансформатор для преобрааования ааданного профиля в .почти„ уг* и гармонический анализатор для определения коэффициентов Фурье а„, !,„. Механизмы, осуществляющие конформные преобразовьння (99») и (100), уже даш«о иаобретены советскими учеными,' но еще не внедрены в аэродинамическую практику.
Аналитическое установление связи (110) между р„ и а не цредставляст каких-либо трудностей, ио требует кропотливых вычислений, Г!ерепншем соотношение (100) в виде (опускаем индекс нуль) плоскОе еезпихрепое движение жидкости (гл. т (= реге, юз =1аеп, (111) где р, е являются полярными координатами точек плоскости С а величины Ха и 6 соответственно полярными координатами точек плоскости ьз в последнем случае радиус-вектор выражен как произведение рздиуса круга а на переменный коэффициент Х, причем окружности Е соответствует значение Х = 1.
Следуя Я. М. Серебрнйскому, будем искать функцию, отображающую внешнюю по отношению к „почти-кругу" К~ часть плоскости ь на внешнюю по отношеншо к кругу е. часть плоскости еь в виде р ч„ Св (112) я О где при п ъ 0 коэффициенты С„явлюотся комплекспымн величинами, а Са представляет действительную величину. Тогда„согласно (111), найдем 1п(г)=8 ®+г(е — 6)=ч.,с„- — зй-л. (112') или, полагая Сяа е = аз+ 1Ь, Сэ = аз, н сравнивая в (112') действительные н мнимые части, будем иметь: 1п ~(Р-) = аз+ ~~~' (а„соз из+ Ь„з)п пз) Э л 1 (112") 6 — е ~че,'. [а„зш п6 — Ь„сва п8) Х е 1 Как уже ранее указывалось, при достаточно тщательном расположешю преобразуемого крылоного контура К относительно точек г и г' и удачном Задаваясь парами значений координат профиля (л, у), последовательно вычисляем г', ге, т', Те, а затем р', рл, е', е" и р, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
