Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Особенности формы крылового профиля можно охарактеризовать коэффициентами разложения функции г'(ь), преобразующей (рис. 87) контур профиля С в круг С" 5 42, формула (74)), в ряд оо отрицательным степеням комплексной переменной ь во вспомогательной плоскости. Как сейчас будет показано„ здесь вновь обнаруживается замечательный факт зависимости силы и момента лишь от первых трех коэффициентов Разложения, аналогичный гому, как это имело место при использовании Разложения комплексной скорости.
Разложим голоморфную в области вне круга Сч отображающую функцию Л=Щ в ряд Лорана =Ж=т-й+то+ — '+ ь-+ "- СИ4) где гл, т<„т,... — некоторые комплексные коэффициенты. Тогда для сопряженной скорости Ь" будем иметь выражение: ат Г 1 йт йт* йа в ' ' 'ОР+2гЫ Т й» йь ' йс гл1 2гле ао ге гз =. ~" + — — +' — ' Р;.— аа~.'1.~-+ " 2ЕГгл С ~ ж Е А ан. Л Г. Лава к Ь 299 плоское везвихгввов движение жидкости (гл.
т Недостающее лля вычисления момента значение коэффициента р можно найти контурным интегрированием в плоскости л: Ю~ ><~ ,~+ + , + ;+ ...)(л та 2 Л ...)Н, Раскрывая в падинтегральном выражении скобки и сохраняя лищь член с ь-', так как остальные слагаемые после интегрированна обратятся в нуль, получиац пв~-"' ~ ~ * +~ +тттдрКч — трап Ка/ +,,~ся а а 11 /с =* —,„+тат у — т а'р, жег — а после чего выражение момента (92) примет вид: г те~~~ г = — 2яр д. ч.~ о +,Гт т Ъ~~ Гт~ ааК К+ или, замечая еще, что т, а и ЪЫ =~ К ~а действительны, Гто~ а 1 Ц= — 2- -ч(0 +Гт=У-3- 2% Подставим сюда выражение (80) циркуляции Г, соответствующее безотрывному обтеланию задней кромки, тогда выражение момента приведется к виду: уо=- — 2яр д.
ч.(2ат то) К,)К з$п(ео — 6, )+йвата,Р), или, производя замену: К =( у (. е аа ', ып(а — й )= 1 (еаа — а ~ — е ц;а,,1) З и собирая вместе члены, содержащие е Ер —— — 2ярт, 1К [а д. ч. а((та — ат е'ч)е ма '+от е ь~. (95) Таково общее выражение главного момента сил относительно произвольно выбранного начала координат. Возьмем за центр моментов другую какую-нибудь точку О' плоскости а с комплексной координатой ло, н посмотрим, как буду г связаны мемщу собою величины Ае и Ьо,. По известной формуле статики будем иметь: ~ъ =уо +ко'~я — уоА $ 461 используя комплексные величины: ~е = ~о'+ д' ".
('зоЮ Подставляя сюда выражения 1.е по (96) и й по (98), получим, производя простые преобразования: 7. — д. ч.(рз Я)= о= е — 2ярт» У»Я д. ч. Г((т — ат е~)е +атее '+ + из (ей% зара) о~а)» — 2ярт» У»а д. ч.4Цт — а(т — зо,)е'"»е + + а(т — ~~,)~~~». (96) Выберем за центр моментов такую точку О', чтобы выполнялось равенство т,— и( . — „,) е '=6 с или ао' =те (97) тогда момент Ео, относительно этой точки будет равен ь„- — 2 рт»У»'д.
7(те — з„)е "= = — 2ирт» У»Я д. ч. Гт1е (96') 2яри » У »з д. . ии„ а выражение подъемной силы (93) приведется к виду й 2ярт и» У» (е — 1) т. е. окюкется независимым от узза иа6егаиаи иотоиа 6, а следовательно, и от угла атаки а, Связанная с крыловым профилем и характерная для него точка О'„ обладающая тем свойством, что вычисленный относительно нее главный момент сял давления потока не зависит от угла атаки, называется Фокусом ирылового профили; координаты фокуса определяются комплексным равенством (97).
Повернем ось Ои так, чтобы ее направление совпало с навравлением беспнркуляциоиного обтекания или, что все равно, с направлением нулевой подземна сизы; тогда угол нулевой подъемной силы ее обратится в нуль, угол набегания потока е станет равным углу ~~~хи и и выражение момента относительно фокуса станет равным 292 Нлоское вевннхгевое двнженне жидкОсти 1гл. где х, у — координаты текущей точки на линии действия равнодей. ствующей, а Яа, Йи имеют значения: 77п=2крги а!1" ~ д.
ч.(е — 1)= — 4прт а~ К ~вя1пза, Йи= — 2ерт а~К ~ и. ч. (е ' — 1)=4крт д1Ъ" ~ е1пасоза. Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вяд: ~гть1 хз1пасоз а+уя1пза — д. ч.~-2.д. При выборе начала координат в фокусе 0' и направления оси 0'х по бесциркуляпионному направленлю, будем, согласно (97), иметь: в =О=т —— /Вт О' а ' так что уравнение линии действия перепишется окончательно таьс 1 хапасоза+УЕ1пза= — — д. ч.(ипо)=о.
2 Найдем огибающую линий действия равнодействующей. Лля этого по общему правилу исключим а из совокупности предыдущею равенства и полученного из него дифференцированием по а равенства хсоз2а+уз1п2а = О. Будем иметь систему равенств: х ейп 2а — у сое 2а = 2 — у, х сов 2а+у е1п 2а = О, откуда следует '+у'= (29 — у)' хе= 43(е — у). нли Огибающая линий действия равнодействующей, соответствуюшнх разным углам атаки, представляет параболу, названную С.
А. Чаплыгиным параболой устойчивости или параболой метииептров. х С. А. Ч аллы гни, К общей теории крыла моноплана. Собр, соч т. 11 Гостехиздат, 1948, стр. 246 — 299. Найдем уравнение линии действии равнодействующей снл давле. ния; для этого, поместив начало координат в фокус 0', напишем очевидное соотношение: х߄— у1г' = 7. „ 293 ГлАВный момВнт сил ЛАВлвння й 46! Расположение параболы устойчивости относвтельно профиля показано „а рис, 93.
Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее проходит параллельно оси О'х иа расстоянии У= 26= — д. ч. (Уте) = м. ч. Гчо. На директриссе находится точка О", с комплексной координатой =т„; эта характерная точка профиля, называемая кояформкььи о" цалВГролг, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла, особенно в теории нестационарного движения. Для построения линии действия равнодействующей нет необходимости строить параболу устойчивости.
Известно, что всякую параболу можно построить как огибающую перпендикуляров„восстановленных к лучам, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директриссой. Поэтому, если известно положение фокуса и конформного центра, то построение линии действия равнодействующей производится без труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельнуюбеспиркуляционному направлению, — зто будет директрисса параболы устойчивости; затем из фокуса проводим луч, параллельный направлепию набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец, перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой. Этот перпендикуляр н представит линию действия равнодействующей сил лавления потока на крыло.
Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена к одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе. Э у аиу мои о переноси Вдоль л пщ действия в любую точку ~рыла, например в точку пересечения линии действия равнодействующей с линией хорды, называемую центром давления. Е\ентр давлеквя кРыла при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды. чрыловые профили, у которых положение центра давления не зависит ог изменения угла атаки, †т называемые профили с постоянным центром давления в представляют ряд конструктивных преииуществ.
Примерами могут служить рассмогренная ранее пластинка или близкие 294 плесков веавихгавов движанив жидкости 1гл. т к ней симметричные профили, постоянный центр давления у которых лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом случае фокус совпадает с центром давления, а парабола превращаетса в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен нулю, то фокус совпадает с постоянным центром давления. 9 46. Частные случаи коиформного отображения крылового профиля на круг. Преобравование Жуковского — Чаплыгина.
Теоретические крыловые профили Среди многообравия функций (94), отображающих физическую пло. скость течения л на вспомогательную плоскость ч, рассмотрим некоторые простейшие, преобрааующие в круг С* такие эамкнутые контуры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям, предъявляемым к крыловым профиляч. Рпс.
94. Первое такого рода преобрааовавме было укааано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. и имеет внд: = ' (~+ Я (9З) Окружность Се радиуса с в плоскости г преобраауется в плоскости л в отреаок РР' (рис. 94) на оси Ох с концами в точках ( — с, О) н (+ с, О). В самом деле, полагая ~=се", с 2 (ем+ е-о) = савве, так что полному обходу окружности (О.=а е за 2к) соответствуеЯ двойной обход отрезка ГР', справа налево н слева направо. Окруж и а 46[ ЧАСТНЫВ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОГОЭРАЖЗНИЯ 298 „ стям С„ С, в плоскости ч будут соответствовать в плоскости я фокусные эллипсы С„ Сэ с фокусами Р и г."; действительно, полагая, например* в (98) Ьс~', (Ь ) с), получим 1г сс =-1'Ь + —,.-''1 откуда следует 1г сзт =-~'+ — )-'- 1г сач у=-~Ь вЂ” — )з[пе 2~ Ь) хя ут 1. Н +)"(-с) Составляя коэффициент конформного Отображения сс 1/ сэ~ т= — = — (1 — — ) пь 2 ~ ьа)' видим, что точки г'е н г." с координатами ч = -+ с являются особзьии, так кзк в этих точках т= О, и конформность преобразования нарушается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
