Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою вихревую структуру. В действительности приходится постоянно наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически интересуюп«их нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в ,аэродинамическом следе" тела, т.
е. в жидкости, которая прошла сквозь область пограничного слоя и образовала течение за кормой обтекаемого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуегпса завихренное«пь жидкости Иногда в следе за телом завихренность быстро угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь безвихревым. В других случаях сошедший с поверхности тела слой завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые с««осятся уходящим потоком и сохраняются дюке на сравнительно больших расстояниях от тела.
Таковы, например, отдельные вихри, наблюлаемые в виде воронок в реках за мостовыми „быками", или пыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду. Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в своболной атмосфере вдалеке от твердых поверхносгей возникают непосрелственно в воздухе грандиозные вихри — циклоны и антициклоны. Причиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха от баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией, «"т количества водяных паров и других причин.
Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существоп ак ~е безвихревого движения схема безвихревого движения во многих Рактических случаях дает близкую к действительности картину. Эта схема об о ема и положена в основу настоящей главы. Итак сделаем долу«пеняя 1 основ о~уз«сп«вии завихреппосп«и потока и обратимся к рассмотрению возных свойств безвихревого потока. плоское Беззихгезое движение жид!гости (гл. ч 214 В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока сущес1вует некоторая функция координат о(х, у, з) — при стационарном движении или функция координат и времени ф (х, у, в; г) — при не стационарном движении — такая„что (4) яли в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат: дт (5) Функцию ф назовем потенциалом сноростей и будем предполагать, что она непрерывна вместе со своими первыми двумя производными по времени и координатам.
Г!отенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал скоросчного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется с точностью до аддитивной постояннзй, как это видно из равенств (4) или (5). Равным значениям потенциала скоростей в различных точках пространства соответствуют поверхности уровня потенциала или изопотенциольные поверхности. Уравнение семейства изопотенциальных поверхностей будет у (х, у, з; С) = сопя!, причем время Е рассматривается как параметр в случае нестационарного движения и отсутствует — при стационарном движении. Из опреРис.
5!. деления потенциала скоростей (4) следует, что линии, нормальные к изопотенцизльным поверхностям скоростного поли, являются линиями гока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответствуют нормальные поверхности — изопотенциальные поверхности. Имея заданным потенциальное скоростное поле, легко найти его потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах (4) или (5). В самом деле, рассмотрим в данный мол1ент времени в односвязной области' гечения кривую линию С (рис. 51), выходящую яз гочки Аво и окан ивающУюсЯ в некотоРой точке М. Умножив скалЯРио 1 О зляяиия,сзязвостн" облаетз будет сказаио в кояце настоял!его параграфа.
сохгьнанив нивкгляции. потвнцнал скогоствй 215 ~ю части равенства (4) на ориенгированный элеменг дуги Вг кривой С проинтегрировав по эгой кривой от точки Ма до М, будем нмегь м и м ~ Ч ° Зг = ~ йтаб ср ° Вг = —. ~ Ьр = — э(М) — ср(Ма), (6) м, .и„ (с)' (с) (с) о(куда сразу следует выражение для потенциала в любой гочке М через потенциал в некоторой начальной точке Мр и задзнные значе- ния вектора скорости Ч или его проекций и, ск ММ)=9(Ма)+ ~ Ч йг=~(Мз)+ ~ (ийх+ойу).
(7) ~% Хе, (с) (с) Если течение во всей области безвихревое, то, замкнув (на рисунке пунктиром) кривую С при помощи кривой С' так, чтобы точка М совпала с Мс, получим, согласно (7): м(М) =, (Ма), (8) м-ь так как циркуляция скорости по замкнутому контуру (С+ С'), рав- ная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок, в рассматриваемом скоросгном поле, где нет вихрей, обращается в нуль. Отсюда вытекают два важные следствия; 1'. Если в области течения нет вихрей (даже отдельных, изоли- рованных вихревых нитей), то, согласно (8), потенциал скоростей представляет однозначную функцию координат; 2 . Интеграл в выражении (7) не зависит от формы кривой инте- грирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по замкну- томУ контУРУ, состоЯщемУ (Рис.
51) из Участка МаСМ, пРедставлен- ного на рисунке спло1пной кривой, и МС'М, нанесенного пунктиром, следует: м м„ м м 1+ (= 0 или м, а) Ж (с) (с) (с)' (с") Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолиро- ванная вихревая трубка (рис. 51). Производя в этом случае ин- гегрирование по контуру С, вновь получим равенство (8); но другой Результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур С„ охватывающий вихревую трубку.
Интеграл, стоящий в правой "асги равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (С, + С)) (замыкание показано на рисунке пунктиром), как это следует из тео- Ремы Стокса я 13), будет равен интенсивности вихревой трубки Ч йг=Г (с,+ с() 216 плоскод вязвнкрвноз двюкение жидкости «гл. ч и, согласно «7), потенциал в точке М„после обхода вихревой трубки окажется равным ю(Мо) + Т. Выйдя из точки'Мо и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую «не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку Ме со значением потеншчала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности 1'. у(М,)+й Г.
Таким образом, если в области безнихреного движения жидкости имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), определяется, как многозначная функция точек поля. Значение потенциала скоростей в точке М будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование: ср(Мо)+ ) У бган:о(Ме)+ «У Ьг. Ж (о,) (о'1 К вопросу о многозначности потенциала в безвнхревом движении с изолированными трубками можно подойти и иначе. Выделим нз области течения жидкости чисто беэвихревую часть, рассматривая боковые поверхности изолированных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. (!ри таком рассмотрении движения в жидкости уже не будет изолированных вихревых трубок, ио зато сама область течения станет многосвязной.
Лействнтельно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца 5 12), вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются иа граничные поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый контур, опоясывающий пьрубку, оставаясь в области беэвихрсвого тсчснил, нв может быть непрерывным прсобраэоваписм сведен в точку (рнс.
Й); это и доказывает, что область чисто беэвихревого движения при наличия изолированных вихревых трубок не односвязиа. Дзи многосвязных областей в ранее проформулнрованную (й 13) теорему Стокса должно быль внесено исправление. Как видно иэ только что приведенного на примере вихревых трубок рассуждению, циркуляция скорости по замкнутому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность, нарушаюи(чю оояосвязяость обласпш течения, может быть отлична от нуля. Эта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур охватывает трубчатую поверхность, и ие завнсвт от формы контура интегрирования.
Значения циркуляций при однократном охвате поверхностей, нарушающих связность области, называют циклическими постоянными многосвязной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интенсивностями вихревых трубок. В общем случае прн наличии отдельных вихревых трубок в беэвнхревом потоке жидкости в многосвязной области теорема Стокса должна быть сформулирована так: Чиряуляпия скорости по валисяутому контуру, проведенному произвольным обриэом в м~огосвязяой области, отличавпься от суммы интенсивностей опоясанных халтурам вихревых трубок па сумму целых кратных циклических постоянных области. 35) сохРАнкние циР1(улиции. Потенцилл скОРОстей 217 П овода дополнительные огранишиающгге поверхности, можно превратить ми Рогосвязную область в односвязиую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
