Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Применять статическое отверстие Ю при намерении скоростей в сверхзвуковая потоке также нельзя; и в этом случае давление за головной волной может не совпадать с показаниями микроманометра, соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, сапяшиеся на участок поверхности трубки 77З, искажают поле давлений в газе и, кроме того, как в дальнейшем будет объяснено, изменяют движение в пограничном слое, что, в свою очередь, оказывает влияние на характер обтекания лобовой части трубки и распределения в ней давления.
70 1ВВ !В 14 Ч 10 В 4 г 0 1 Используя показание рщ динамического Рис. 46. отверстия,0 за скачком уплотнения (головной волной), показанным на рис. 45а пунктиром, и измеряя каким~шбудь другвм путем р„найдем их отношение р ~/р,. Это отношение в силу (75) и (79) связано с искомым числом М, набегающего потока формулой Релея: А (1+1 М9Г1 Рву Рта дш (51) лз лю Р1 Иа рнс.
46 приводится график функциональной связи (81) между лм у, "Ч, ° б~ (б-б,б). бббббб.бб. носик ика и аа нею могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоро „~стев. Последуюшее уменьшение скорости вызовет возникнове- на поверхности трубки перел статическим отверстием 8 скачков и отнения и местные искажения давления рв Значение числа М, < 1 у бегающего потока, при котором на поверхности обтекаемого тела (в данном случае измерительной трубки) возникают сверхзвуковые ны, называют мриьчичасмим числом М и обозначают Мщ,.1 Если число М, набегающего потока превосходит число М, то п льзование статическим отверстием становится ненадежным и необход ,що каким-нибудь независимым путем определять давление р, в движущемся газе, например, при движении газа по цилиндрической' трубе измерять '4 193 ОДБОМЕРНЫй ПОТОК ИДЕЬЛЬНОй ЖИДКОСТИ !гл. ш Определив величину р по показанию динамического отверстия измерительной трубки, а р„например, при помощи отверспгя в стенке канала, по которому движется газ, найдем отношение ртз/ры а по графику рис.
46 — и искомое значение М„. й 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения. Истечение нз резервуара большой емкости сквозь сходшцееся вопло (82) иА = сопя! = иеАе, где ир — средняя скорость в некотором начальном сечении (к=О) с площадью Ао; иными словами, средняя скорость движения жидкости в любом сечении трубы обратно пропорциональна площади этого сечения. Отсюда вытекает общеизвестное свойство движения несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения: в сузкаюи!ейси трубе жидкость движется ускоренно, в раегииреогаейся — замедленно.
Это очевишюе свойство олномерного движения теряет свою силу при движении аясимаемого газа со сверхзвуковыми скоростями, в чем легко убедиться, составив основные уравнения одномерного стационарного движения гааа: а) уравнение Эйлера: аи 1 йл. а — = йк р йк' (88) б) уравнение неразрывности: !84) риА = сопя!. Для приближенного расчета движения жидкости или газа по трубам можно отвлечься от весьма сложных деталей этого движения (об этом будет сказано в заключительных главах) и удовольствоваться следующей упрошенной схемой.
Примем поток за одномерный, т. е. будем пренебрегать изменением величины и направления скорости, а также изменениями других элементов потока (давления, плотности, температуры и др.) по сечению, перпендикулярному к оси потока; будем лишь учитывать изменение средних по сечениям величин и, р, р, Т и др. в аависимости от координаты х, определяющей положение сечения вдоль оси трубы. Площадь сечения А будем считать заданной функпией л. Отвлечемся от снл трения внутри жидкости и жидкости о стенку, а также от теплопроводности; иными словамн, как повсюду в настоящей главе, будем считать жидкость идеальной. ' Начнем с простейшего случая — движения несжимаемой жидкости.
В этом случае из уравнения неразрывности сразу следует движвнив гьзь по тррвв парвмвнного свчвния 199 Еспоминая определение местной скорости звука Нр а = Р перепишем уравнение Эйлера (83) в виде: 1 др .,ар иди= — — — ° др = — а- —. Р др ' Р Составляя логарифмический дифференциал от обеих частей равенств (84), получим: (86) ар ди ° дА — + — + — =О р и А Искшочая — из уравнений (85) и (86), найдем др Р аА ар аи иди ди Гиг )ди и. илн, вводя местное число М =-: и М' — 1 Из етого простого уравнення вытекают важные следствия: 1. Если М С 1, знак 0и противоположен знаку АА, т.
е. при дозвуковом движении газа сохраняется то же свойство движения, что и в случае неськнмаемой жидкости: с возрастанием площади сечения трубы скорость в одномерном движении уменьшается и, наоборот, при уменьшении сечения — скорость увеличивается. Я. Если М> 1, знак ди одинаков со знаком НА, т.
е. лри сверхввуяжом движении газа в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе — ускоряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что прн расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА в Равенстве (84), несмотря на увеличение плошади А, все же уменьшается и приводит к возрастанию скорости и. 3.
Если М=1, гРА= О. Сечение трубы, в котором число М достигает значения единицы, называется критическим сечением, так как в нем скорость движения и равна местной скорости звука а. Из Равенства (87) следует, что критическое сечение может быть кая максимальным, тая и минилшльным по сравнению со смеж"и-ни сечениями. Легко сообразить, что критическое сечение будет иинимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может пРивести к течению со скоростью звука в критическом сечении. 4 Если аА =О и сечение эксгремально (максимально или минимально).
то по (87) либо М = 1 и, следовательно, зто сечение— Одномвзный по1Ок идвальнОй жидкости [гл. 1т л!и ли ла М и а' (88) получаемое логарифмическим дифференцированием равенства М=— и Ф а и уравнение Бернулли в форме (47): ит аь -+ — = сопя!, 2 в — 1 которое после дифференцирования дает и 1!и+ — а с!а = О, 2 или, после деления обеих частей на аа и замены а = — , и — — — Ма —. ла л — 1 аи а 2 и Подставляя это значение — в (88), получим ла "М'=(1+ — ', ' М)"— „". Сравнивая это уравнение с уравнением (87), будем иметь: л — ! ™ ИА' ( 2 ) критическое, либо М ф ! и ди = О. В последнем случае, каково бы ни было движение — дозвуковое илн сверхзвуковое — скорость в экстремальном сечении врннимает также экстремальное значение: прн дозвуковом течении газа — минимальное в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном — минимальна.
Переходя к более !детальному изучению одномерного адиабатичесиоео и изэнтроличесиого движения газа, заметим, что к нему применимы все ранее выведенные соотношении, связывающие между собою термодинамические параметры газа и скорость движения илн число М. Необходимо только установить связь между одним каким- нибудь иа этих параметров и сечением трубы А. Примем за основную, например, связь между М и А. Чтобы вывести уравнение этой свямт возьмем уравнение 88) движение гьзь по твхве пазмвнного сечения 201 уравнение это нетрудно проинтегрировать и получить искомое авнение связи между числом М и площадью сечения А: а+1 А и ( г ) (89) Ф вЂ” 1 з(з — 1) А 1 + 2 Аа М а+1 2 (90) На рис. 47 приведен график этой важной зависимости для воздуха (к = 1,4).
График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозвуковом потоке М < 1 для ( ) увеличеши числа М сечение А следует уменьшать, ~ 14 в сверхзвуковом потоке (М > 1), наоборот, увеличиватгй вместе с тем гра- фик показывает количественное соотношение между изменениями чисел М и А.
Так, например, из рнс. 47 следует, что для повышения числа М от 0,2 до 0,8 газ должен пройти через участок суживающейся трубы — кокфузора — с сече- 0 3 Ф пнем, уменьшающимся в три 4 Раза1 чтобы увеличить число М ат значения 1 в крити— «-и веском сечении до 3,2, неРнс. 47. обхадямо построить расшищу ся трубу — диффузор — с площадью на выходе, в пять раз "ревышающей площадь критического сечениь ПРисоединим к формуле (90) известные уже по предыдущему формУлы (69), (70), (66) изэнтропической связи давления, плотности температуры с числом М, которые, в силу (51) и (52) полезно де А,— произвольное начальное сечение трубы и М,— число М в этом сечении.
Предположим, что роль начального сечения играет критическое сечение А, =Аз, т. е. такое сечение, в котором М, =-1, тогда равенство (89) приводится к более простому виду: В+1 ОднОмеРный поток идеАльнОЙ жидкости (ГЛ. 1Ч 202 переписать в виде: + — ''М)~ ' ', 1 + — "' МаЯ + 2 71 (91) где величина Рп Ри Рп 6= — = — = тпь Репа '~ЯрФ~Ф предс1авляет огношепне массового расхода газа через единицу площади сечения трубы к его критическому значению. Этот безразмерный массовый расход данного газа является функцией только числа М н, согласно (90)„равен: Г +1 (93) График зависимости 6 от М для воздуха (в= 1,4) приведен на том же рис 47.
В качестве первого примера приложения выведенных формул рассмотрим классическую задачу об язэнтропическом истечении газа из резервуара (котла) очень большой вместимости. Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истечение, имеет внд конфузора, т. е. канала с уменьшающимся вниз по потокУ сечением. Обозначим чеРез Рр, Ра, То теРмодинамические паР»- метры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может рассмагриваться как покоящийся (и= О, М=0), через р, р, Т, М соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого Совокупность равенств (90) и (91) представляет полное решение задачи об одномерном стационарном адиабатическом и иззнтропическом движении газа по трубе переменного сечения; решение вто представлено в удобном параметрическом виде„причем роль параметра играет число М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
