Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Стоячая ударная волна или скачок уплотнения. Ударная адиабата уже указывалось в монце предыдущего параграфа, ударная волн лна является некоторым предельным образованием, соответствующим Разрыву непрерышюсти основных физических величин, характери- у цшх двюкущийся газ, и обращению в бесконечность производных 174 <шиомявный пот ок ццвлльной жидкостй 1 л. 10 ог этих величин. По втой причине исследовать явления распростра.
пения ударной волны при помощи дифференциальных уравнений дина мики газа нельзя, приходится искать обходные пути и в первую очередь пытаться использовать общие теоремы динамики газа в нх интегральном представлении. Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу бесконечной дзюбы, яцоль которой может перемешаться поршень. Пусть вначале газ неподвшкен, а затем внезапно поршень получает мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости Ь; продолжает днигаться равномерно с этой скоростью. Возникает вопрос, как произойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу, 6 Созданное непосредственно перед поршнем возму- У щение — сжатие газа— начнет распространяться влево, причем, в силу внезапности перехода поршз 0 ~ и=У ня от покоя к движению со скоростью Р; протяженность начального учаРис.
40. стка возмущения по оси трубы будет очень мала. В результате известного уже нам явления обгона проходящими через участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее плотном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40 пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу (иа рис. 40 влево) с некоторой скоростью 0, оставляя за собою (на рис. 40 справа) возмущенный газ, выведенный из состояния покоя и приведенный к скорости и = Ъ', одинаковой со скоростью поршня. Замечая, что бегущая по газу ударная волна встречает перед собой газ с одними и теми же значениями давления, плотности и температуры и, точно так же, оставляет аа собою газ с новыми, но также все время одними и теми же термодинамическими параметрами воамущенного состояния гзаа, можем утверждать, что скорость распростра.
пения ударной волны 6 будет величиной постоянной. Из приведенного ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение поршня, т. е. всегда Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, как прн прохождении ударной волны скорости н основные термоди панические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего рас чета удобнее иметь дело со стационарнь|м явлением.
Поэтому абра рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целом вместе с движущимся в ней гааом, поступательное движение еле стоячая кдлэпав волна или скачок уплотнвнйв (75 раве со скоростью О. Иначе говоря, будем рассматривать происиаправо ходжце ее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы координат, ат, движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной „аной.
Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а движени ение газа — стационарным. Такую, стоячую" ударную волну по пред , едыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку упло плотнения слева направо (рис. 41) со скоростью $; = О, а за скачком ижется со скоростью 1гя= 0 — К Давление, плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения; Рвс. 41. условимся обозначать индексом,1" величины перед скачком, индексом „2" †пос скачка. Чтобы найти связь между Кы Рп ры Т, и И, Р, рв, Т„, воспользуемся стационариостью потока и применим к нему теоремы сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно соображениям, приведенным в конце 0 23, эйлеровы формы этих теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке поверхностей раарыва (например, скачка уплотнения).
Следует только выбрать .контрольную поверхность" так, чтобы те ее части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва. Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади пормальных сечений о, и ов (Рис.
41). ПовеРхность РазРыва пеРесекает только ту часть контрольной поверхности, где г'„ = О. В силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях а, я чя поля скорости и других величин однородны. Закон сохранения массы, согласно (32) гл. 111, дает после сокращения на е =ч: 1 2 рГ =рв1' ° (39) Теорема об изменении количеств движении в форме (42) гл. В! приз р""одвт, аналогично, к равенству (40) Ра-1 РР~ =Рв+РМ 176 од!юмевпый ВОтбк идеьльной жидкОсти (гл. щ и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл.
1П позволяет написать третье соотношение: 7 + — -=!в+ —, (41 1 2 в 2 К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равенство (17) гл. 1П, можно написать: угэ Р1 л Р1 1, = Ус Т1 = — — = —— 71 Р1 Л-1 Р1 н, аналогично, Р2 12 =— (42) 1 Р1 — Рв = Рз ~- — 21 121 = Р1 1'1 (!'2 — 1') н умножив обе части этого равенства справа на выражение 2'2+ 21 Р1 Р2 а слева на равную ему величину Р 1 1 $'2 1 1 22~1 Р1 Р! Р212 л г2 тогда получим /! 11 2 2 (Р— Р )! — + — 1=- Г:,— ~;-. 'Ь, ~)=- С другой стороны, из уравнения энергии (42) сл лу ТР1 Р2' л-1Ь1 Р,)— так что приравнивая лев 1е части двух по едних равенств найдем после чего равенство (41) заменяется следующим: Р1 !'1 л Р2 А — 1 Р1+2 А — 1 Р2+2 Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40) и (42) с тремя неизвестными величинами Р'з, рз, р~.
Найдем сначала связь между давлениями н плотностями до н за скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости $'1 н В'~. Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств двн1кения (40) в виде 177 стоячая тлю нля волна или скачок гплотнвння — ~=( — ), (44) андии, что уравнение Гюгонио (43) предо гавляет адиабату, отличную от изэнтропическои; эту алиабагу 16 обычно называют ударной или еще адиабатой Гюгокио в отличие от изэнтропической адиабаты Пуассона (44). Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабатического лвижения илеального газа.
Не следует, однако, забывать, что, в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока движеняя, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение с "оиечиым скачком всех величин в некотором сечении трубки тока. Отсюла следует только сделать естественное заключение, что прохоекдение идеальною газа сквачь скачок уплотнения не еляется изеитропическим процессом, а сопровсокдается переходом механи~скод энергии в тепловую.
При этом должна возрастагь отнесенная к е ~липине массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если "~винить, что по формуле (23) гл. Ш: - "-=~ ~ ) — ( —.)) — ' ~"-' )е)") ( ) а Рис 42 показаны для сравнения графики двух алнабат: изэнтропиче "того г ической и неизэнтропической ударной алиабаты. Как винно ич > Рафика прн р~р,) 1 ударная адиабата располагается вьппе 12 3 кп игл,,„,„ Р 1 2 3 ь 5 6 г1~ф Рнс. 42. п,шруя в этом равенстве члены с р, и р, будем иметь: Группир — — — (43) р, (Л+»В1-(Л вЂ” »Зг и+1 — (З вЂ” »Ывч Вто важное соогношение, установленное впервые Гюгонио, опрелеляет яет связь межлу давлением и плотностью в газе после проховдленвя нм с ~качка уплотнения и язвлением и плотностью Ло скачка.
Вспо- „ная связь между лавлением и плотностью в непрерывном алиабатнческом движении илеального газа, опре- 1Р делаемую изэнтропической адиабатой 178 одномягпый поток идеальной жидкости (гл.,„ ивэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в ква. дратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больвя, единицы, логарифм положителен, так что, действительно: Яв> Яг Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения били не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, пожив было бы получить те же самые формулы и при р, <Р„р,< ря.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
