Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 32
Текст из файла (страница 32)
й( (29) РАспРОстРАнение конечных Возмтщений 167 8 28) действигельный вил этих кривых опрецелигся только после реше- „на системы (1), так как справа стой неизвестные функции и (х, 1) г) существенно, однако, что в каждой точке плоскости н а(х, 1) известно направление касательных к этим кривым, если за- (х, даны значения и и р в этой точке.
Из уравнений (27) слелует, что: 1) на кривых семейства (С,) У+ и=сопв1, 2) на кривых семейства (С) 1в — и = сопзй (31) Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих семействам (С,) и (Ся), существуюгп определенные соотношения (30) и (31) между функцияии и и й', а при заданном характере баротропного процесса, и между основныли неизвесгпнылги функциями и и р.
Семейства (С,) и (С~), обравующие в основной плоскости аргументов (х, г) сетку кривых, обладающих тем вамечательным свойством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений (в нашем частном случае уже проинтегрированным конечнылг соотношениям (30) и (31)), называются характеристиками системы уравнений в частных произволиых; угловые коэффициенты этих кривых, определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические направления.
Примером характеристик в простейшем случае линеаривированных уравнений распространения звуковых волн (Б) служат семейства прямых: х — а1 = сопв1 и х+ аг= сопв1, вдоль которых сохраняют оцннаковое значение скорости возмущений н остальные физические величины, 1'авенства (30) н (31), при заданном уравнении баротропного про«есса р=р(Р), образуют и плоскости (и, Р) также два семейства кривых, которые можно рассматривать, как „ивображения" характе(Сг) в (Св) в плоскости (и, Р) или как характеристики в плоскости (и, Р). Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1) как сУществование характеристик позволяет свести задачу разыскания инте нтеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего зкчанным начальным условиям, к простым графо-аналитическим приемам м, основанным на использовании системы дифференциальных уравне"ий (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (30) и (31).
ск Прелположим, что нам задано начальное условие в зиле значений совп прости и плотности и(в) и р(в) вдоль некоторой кривой (3), Не алакчцей ин целиком, ии частью с кривыми характеристической 168 Одномерный ИОтОк идеальной жидкОсти [гл. 1т сетки (рис. 37). В частном счучае могут быть авданы значения этих величин в функции от х при г= О, т. е. Начальное возмущение при(=О, и=ив(х), р=ро(к).
Определив по (23) и (29) угловые коэффициенты кривой (С1) в точке А и кривой (Ся) в точке В по формулам: ( —.)— ах'1 /алх А а ) =НА+аА — — иА+а(рА); ( а ( =ив — он=ив — аььв) "г в проведем соответствующие характеристические направления и построим треугольник АА|В. Рнс. 37. На отрезке АА, характеристики (С,) выполняется, сцгласно (ЗО), равенство О(РА)+ НА —— Й(РА)+ и; с другой стороны, на отрезке А,В характеристики (Ся), согласно (31), будет: (рА,) А, ~ (В) В Нз полученной сложением и вычитанием системы равенств: В(р ) — (а (р )+ и +Ф(р )— 1 а =- —,(у(рА)+и — йр(рв)+ив~, легко находятся значения р„и и „, 1 61 281 клспгостглняние конечных возмущвний 169 Нояторяя точно такое же рассуждение о треугольнике ВВ,С, построенн янном по значениям угловых Коэффициентов характеристики (С,) в точке очке В и характеристики (Ся) в точке С, найдем значения ив и в точке В,.
Но по полученным значениям ил, рл и ив, Рв легко Рв намет . ~етить дальнейшие направления характеристик, построить, таким б),агом, треугольник А,А1В, и по предыдущему определить значе„и н Р в точке А~, Аналогичным приемом можно было найти зна„ния и и р в точках Ая, Вя и т. д. Задаваясь достаточно густым делением кривой (5) в точках А, В, С и т. д., найдем указанным только что графа-аналитическим приемом значения неизвестных функ, кй и и р в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, г), что и решает поставленную задачу. В втой возможности при помощи характеристик построить полное решение системы уравнений, удовлетворяющее некоторому заданному начальному распределению неизвестных функций, и заключается важное принципиальное аначение идеи применения характеристик.' В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа, согласно уравнениям (1) или (27), характерисгикн (С„) н (С ) в пространственно-временной плоскости (х, г) имеют простой физический смысл.
Это — движущиеся вдоль оси Ох со скоростью и+а или и — и и перпендикулярные к втой оси плоскости, причем в плоскости, двюкущейся вниа гю течению со скоростью и+а, сохрашет свое значегше сумма О+и, а в плоскости, движущейся вверх по течению со скоростью и — а, сохраняется разность У вЂ” и. Если вместо абсолютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения относительно газа, то эти движении представятся как распространение в противоположные стороны двух волн со скоростями ~а, равными по абсолютной величине местной скорости звука.
Чтобы составить себе общее впечатление о характере рассматриваемого движения газа, обратимся к научению одного простого частного решения системы (27). Куцем предполагать движение газа баротропным и закон связи -" - *-~=~и -: - ° --зя И Несколько подробнее метод характеристик в прнложенкях к сверхзвуковым задачам будет изложен в гл. М1.
едввственг ~тРогое изложение теории характернсткх н доказательство теоремы вых х 'тленности решения урзввеияй характеристик можво найти в специаль"урсзх лифферегщязльяых урзвяеявй в частных производных. См., на1я1'"ер Р. Курант н Д. Гнльберт, Ме~оды математической физики, В ял т. 11. Гостехпздат, 1945, стр, 66 Ряложевне метода характеристик х нелинейным газодинамическим достаточно подробно я полно наложено во втором томе курса Н евретяческой гвлроиехзнвкя" И.
Д. Кабеля, Н. Е. Кочина и 17О ОднОмеРный поток идеальной жидкости (ГЛ 1Ч и (23), функция Ю определигся как функция р из соотношения у е'7(р)= ~ и — Р, (32) Р м где по (22) и является также заданной функцией р. Примем, например, рассматриваемое одномерное движение за адиабилгическов и игзнтро- лическое; тогда будем иметь а следовательно, оо (22) получим: а-1 ,, „г-1 ' р'""(') "( ) (33) а по (28) (34) Построим частное решение системы (27), положив во всей плоскости (л, Ф) з» = ~1 1(т) ' - 1 =" (Зб) Это уравнение можно, по предыдущему, трактовать, как условие сохранения скоросги и, а по (33), следовательно, и плотности р в перпендикуларной к оси Ох плоскости, движущейся с абсолютной скоростью и+ а, а цо отношению к газу — с местной скоростью звука л.
По (33) и (35) местная скорость звука равна  — 1 7 я~.з (87) где аз и рз — значения скорости звука и плотности в покоящемса невозмущеином газе. При р)ре будем иметь сжатие газа и возмущенное движение вдоль положительного направления оси х, при рс., рз †разрежен гааа и движение в противоположном направлении. Второе уравнение системы (27) н силу (35) тождественно удовлетворяется, а первое переходит в следующее: ~+(и+ и),— = О.
ди ди (Зб) 171 РьспРостРАнвнив конечных Возмущений й 281 Полученное решение будем называть простой волной. Скорость и +а а распространения простой волны в неподвижном пространстве, рую напоминаем, не слелует смешивать с абсолютной скоростью и их частиц газа, будет равна по (37): и+а=аз+ — и. в 4-! (38) как относительная скорость распространения простой волны по отношению к газу (37), так и абсолютная скорость распространения простой волны (38) в неподвижном пространстве растут с увеличением сжатия газа (р ) рв) и убывают при его разрежении (р <рь).
Таким образом, подтверждается указанное ранее из качественных соображений важное свойство нелинейных (конечных) возмущений в одномерно текущем газе: если в покоящемся (или в квазитвердо поступательно движущемся газе) создать в начальный момент вдоль оси трубы некоторое непрерывное конечное неравномерное распределение возмущений опрелеленной формы, то возмущения бдлыисй интенсивности будут перемещаться быстрее, а менее интенсивные —.медленнее.
Отсюда вытекает основное отличие нелинейного распространения конечных по величине возмущений от линейного: при Распространении конечных возмущений форма их начального распределения изменяется. Если, например, неподвижный вначале поргпень (рис. 38) прилет в движение и с некоторого момента времени будет двигаться Равномерно со скоростью и, то передача этого движения покоящемуся газу, ааполняющему цилиндрическую трубу, в которой движется поршень, произойлет не мгновенна. Вызванные поршнем давление р и плотность р будут распространиться в невозмущенном газе, имеющем давление Ра и плотность Р.
ПРОцесс этого РаспРостРанениЯ показан на Рис 38, Скорость поршня равна и, скорость точки С равна скоРости звука ив в невозмущенном покоящемся газе, точка В имеет скорость а+а, превышающую скорость авука ав, и нагоняет точку С. На~ион кривой ВС при перемещении возмущения увеличивается (Рнс. 38б). При приближении этого уклона к вертикали производные и, Р, и по х становятся бесконечно больплщи, и прелыдущне формулы'теряют свою силу. Можно, однако, утверждать, что тенденция к увеличению крутизны склона кривой возмущений имеет месса, а это приводит к образованию (рис. 38 в) малой по протяженносщ сгн движущейса области, на границах которой значения Р, р и и буд т: ева — р, р, и, справа — Р, рш и Эта область стремится ний пл ~~ать бесконечно тонкой и превратиться в плоскость Разрыва давлеРвзры ~ знатности и скорости.
Такая движущаяся поверхность (плоскость) Рыза физических величин в газе называется, как уже упоминалось, арщ'й волной или, иногда, движуцпгмся сначном уплотнения. 172 Одномегный поток идеАльнОЙ жидкости )гл. ~т Последнее наименование станек понятным, если вместо збсолкц ного возмущенного движения газа рассмотреть его движение относи. 1ельно распространяющейся ударной волны. Из графиков на рис.
38 легко сделать заключение, что газ, проходя сквозь ударную волну, уплотняегся. Лействительно (рис. 38з), невозмущенный, менее плотный газ (рв, рз) входит сквозь ударную Рис. 38. волну В"С' в область возмущенного ~р, р), более плотного гава; вот почему ударная волна называется движущимся скачком уплотнения. Предположим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слева направо с некоторой скоростью а и гнавший перед собой гав с давлением р и плотностью Р, мгновенно уменьшил свою скоросгь илн остановилси.
Тогда перед поршнем образовалось бы раарежение, которое также стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко сообразить, что в этом случае разрыв непрерывности элементов не может осуществиться и ударной волны разрежения не образуется. В самом деле, в непосредственной близости от поршня фис.
39) стоячая ядлэнля волил или склчок яплотнвниа 173 й 291 ть газа меньше, чем впереди от него, поэтому фронт области ™ущення (точка,0) будет опереясать распространение волны роения соответствующей участку кривой АО. При этом склон ВА 99 б в) будет становиться все более и более пологим. Область 1рнс. ода газа от ббльших плотностей к меньшим будет растягиваться, переход расплы заться разрыва непрерывности — „ударной волны разрежени~"— Рис. 39. "Р» этом не образуется. Невозможность образовании ударной волны Рз~режения будет далее подтверждена общими термодинамнческими ~оображеняями. Перейдем к более детальному изучению явления рзспростраиения ударной волны сжатии. Ф 29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
