Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 30
Текст из файла (страница 30)
гв скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному пространству, в котором среда совершает свое движение. Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому поступательному и равномерному движению, соответствуют одни н те же теРмодинамические хаРактеРнстикн Ро, Ро н То, то скоРостн РаспРостранения звука по отношению к газу в том и другом случае будут одинаковыми.
Если же жидкость или газ движутся не квазнтвердым образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные термодинамические состояния и разные скорости звука, которые в этом случае придется рассматривать, как некоторые местные скорости звука, представляющие функции координат н времени. Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой волны в среде не следует смешивать со скоростью двизхения самой среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью порядка 330 м/сен), в то время как сам газ при этом остается почти неподвижным.
Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения скорости й в форме волны", бегущей в положительном направлении оси Ох; и'= г (х — ао1), получим уравнение — роаогт(х — аое) = — а' ,— з дР' дх где точкой над буквой у, обозначена производная по всему аргументу (х — а г). Интегрируя это уравнение по х, получим: 1 Ях — аФ=и'= Р а„ (8) Ро или в дифференциальной форме еще такое соотношение: аи =ао — Р. Ро (8') Из условия баротропности процесса распространения малых возмущеипй (звуковых колебаний) легко вывести соотношение ° о Р =пор ° вместе с (8), приводящее к следующему вырюкенню скорости и'.
и г Ро.Р Роео Ро или в дифференциальной форме: а"и Ро ВР Роев Ро одномввиов тячвния сжимаимой жидкости 157 ь1э равенств (8) и (9) можно заключить, что при данных значефизических величин в невозмущенном газе изменения скорости пкения газа по отношению к неподвижной системе координат Ох после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше отноительное уплотнение газа Р Р Рь Ре Рь или относительное его сжатие Р Р Рь Рь Рь т„е. чем больше интенсивность волиуиРения. Если звуковая волна несет с собой сжатие (уплотнение) газа, то Р')0 н и' > 0; следовательно, проходящая сквозь газ звуковая волна сжатия увлекает (с очень малой скоростью() газ за собой, звуковая волна разрежения (Р' ( О), наоборот, дает дополнительную малую скорость и' ч.,О, направленную в сторону, противоположную распространению звуковой волны, т, е. звуковая еолна разрежения еызыеает встречное малое движение газа.
Это явление легко себе представить, если вообразить поршень, имеющий возможность двигаться вдоль открытой в обе стороны длинной цилиндрической трубы, заполненной газом. Приведем поршень в слабое движение, например, слева направо. Газ сожмется справа от поршня, и вправо побежит звуковая волна, несколько уплотняющая газ. При этом образуется слабое движение газа вместе с поршнем слева направо. Наоборот, влево от поршня появится некоторое разрежение, которое будет распространяться со скоростью звука влево от поршня, увлекая гзз за поршнем вправо. Конечно, описанное только что явление, так же как и формулы (8), (8'), (9) н (9'), относится лишь к случаю распространения слабых возмущений в газе.
Однако для дальнейшего не столько существенны изложенные факты или формулы, как сама тенденция возрастания абсолютной скорости потока газа при прохождении вниз по его течению звуковой волны сжатия или вверх по течению волны Разрежения и, наоборот, убыеания той же скорости при прохождении вверх по течению волны сжатия или ение по течению волны разрежения. Тек, при колебаниях звучащего тела в воздухе образуются попеРеменно то сжатия, то разрежения, вследствие чего в пространство у"опят как волны сжатия, так и разрежения. Распространяясь сквозь окружающий источник звука воздух, эти волны не только создают колебания плотности и давления в воздухе, но и приводят в состоя""е малых перемещений н сами частицы воздуха. Обратим внимание на еще одну, представляющую интерес для даль"е"шего тенденцию.
Пусть после прохождения звуковой волны вместо БВ одномв ный поток идеальной жйдкостн [гл. ~Ф равновесных значения давления н плотности ро и ре установились значения ро+р' и рв+р', тогда изменится и скорость распространения звука, которая станет равной Отседа следует, что приращение скорости распространения звука в газе за счет прохождения сквозь него звуковой волны представляет малую величину того же порядка, что и относительное уплотнение газа в волне р', а имение: Бслн предположить, что в рассматриваемом баротропном процессе, вместе с ранее сделанным естественным допущением — ) О, выполар пз няется еще неравенство — „=О (зто имеет место, нзпричер, для а-р изотермического н адиабатического процессов), то можно придти к существенному для дальнейшего выводу о наличии тенденции к возрастанию скорости распространения звука после уплотнения среды звуковоа волной сжатия в, наоборот, убыванию скорости распространения звука после прохолсденин волны разрежения.
5 27. Изотермическая и ндиабатичесная скорости звука..Конус возмущений" яри сверхзвуковом движении источника возмущения. Число М и его связь с углом конуса возмущений Скорость звука, согласно формуле (9), зависит от характера баротропности процесса. Если предположить, что жидкость несжимаема> т. е. р = сопз$, то йо (7) ар — — со. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости, с которой в дальнейшем придется неоднократно иметь дело, возмущения давления должны были бы распространяться с бесконечной скоростью, т. е. всякое изменение в данном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев, такое отличающееся от действительности предположение может с достаточным для практики приближением приниматься для расчетов, в других, как далее будет показано, от него приходится отказываться в пользоваться скотосгь звукь, чйсло М схем мн с конечной скоростью распространения малых возмущений что все равно, с конечноа скоростью распространенна звука.
И4Ж Прннцмая процесс распространения звука нзотермнческим и вспоя, что при изотермнческом процессе (опускаем значок „нуль") Р=Ср, — =С=-, ар У аг 1 полу шм скорость звука, соответствующую нзотермическочу процессу, нлн, короче, изотермическую скорость звука а=)/ — "'. (10) отекла следует, что скорость распространения звука в совершенном газе зависит лишь от абсолютной температуры и Физических свойств еаза. Замечая, что газовая постоянная гс может быть выражена "врез молекулярный вес газа т и ускорение силн тяжести б по формуле получнм Г Иид а =- ф — Т м/сек. (18) Для воздуха й = 1,4, т = 28,86; а = 9,81 м/сек и, следовательно, .корость Распространении звука в воздухе равна а = 20,1 у' Т м/сек, (14) Есин предположнгь, что процесс распространенна звука происходиг без отвода тепла, т.
е. адиабатнческн, то будем яметьс Р=Срь, У =йб~~-~ =й'-', э а р следовательно, адиабатическал скорость звука равна а= 1/Г ко. (11) Формула (10) была впервые выведена Ньютоном, а формула (11)— Лапласом. Многочисленные экспернменты подтвердили правильность формулы Лапласа (11). Фнзическн это означает, что слабое сжатие газа звуковой волной происходит очень быстро в образовавшееся прн этом тепло не успевает перейти в соседние части газа, что н приводят к алнабатнчности пропесса распространения звука. В настоящее время пользуются именно этой аднабатнческой скоростью звука, в дальнейшем для краткости называемой просто скоростью звука. Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (11) в анде: а = г'кесТ; (12) ~30 одномзвный поток идньльной жидкост~ (гл.
ж в частности, при Т= 273 (О'С) скорость звука достигает величинь 332 м/сек. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотос над уровнем моря. Применяя „стандартную атмосферу", получив, табл. 4 „стандартных" скоростей звука, в зависимости от высоты нас уровнем моря. Таблица с а м/сек~ а м/сек уок Н км а м/сек Н км ' См„например, Г. Л а м б, Гвлродниамика.
Гостехнздат, вь 1947, стр. б~й Для газов с высоким молекулярным весом скорость звука сравнительно с воздухом принимает весьма малые значения. гсаряду с только что рассмотренным случаем одномерного, параллельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных оси течения, л1ожно было бы разобрать и случай одномерного радиального распространения круговых в плоскости или сферических в пространстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения несколько усложняются, но так же легко решаются.' Существенно, что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость распространения их будет определяться той же формулой (9), что и в случае распространения плоской звуковой волны.
Предположим, что в неподвижной ся~имаемой среде движется прямолинейно и равномерно со скоростью и некоторый точечный источник малых возмущений (в частности источник звука) А. Примем прямолинейную траекторию движения источника звука за ось х, выберем на ней начало координат О (рис. 33 а и 6) и будем считать, что точка А вышла из начала координат в момент времени г=б. Пусть в некоторый момент времени /=8 точка А займет положение А; определим в этот иомент границы области газа, возмущенного движущимся источником, вышедшим из точки О при с=О.
° Если источник возмущений движется со скоростью и, меньшей скорости а распространения звука в данном газе при заданных термодинамических его характеристиках, или, короче, с йозвуковой ско ростью, то сферическая звуковая волна, вышедшая нз начала координат вместе с источником возмущений А, обгонит его и к моменту 8 — г скояость зйукА» число М 131 бластью возмУщенного газа бУдет Явлатьса, очевидно, вса внУтРеннЯЯ областью '=" ( . 33,) рассмотрим теперь случай соорхзоукозого движения источника возм1 щений (и > п). При движении со сверхзвуковой скоростью „„чка А сразу же обгонит образованную ею звуковую волну (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
