Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 26
Текст из файла (страница 26)
газа количества тепла д к приращению температуры при сохранении постоянного давления ди ди — 1- и— дт дх до до — 1- и— дг дх дго дв — +и— дг дх ди ди Ф-о — +ш— ду дх до до +о — +сов ду дз да~ дв -Х- о — +сов до дх 132 !гл. п| диньмвкл идвальной жидкости в гизы если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала 1 термодинамики совершенного газа (о = — — удельный объем) Р гй7 = Хе, г(Т+ р гГо, по формуле 1дТ) "+~ 1,сТ), и применить уравнение Клапейрона »о=1гТ, согласно которому Тогда будем ииетга Ус„= Ус„+ р ° вЂ”, И (17') Г1осле этого уравнение (16) может быть записано в виде чг ~ Р~Р+ — )сРч= ~ рг ° Чг(т — ~ бгч(»1Р)бт+ 'С + ~ р — агре+ ~ р'лГЖ. Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе н, в силу уравнения непрерывности (18) гл.
11, оказываются в сумме равны Д вЂ” 61 (рр)+р — „',(»)~ 7 -Я вЂ” б1 (»р)+"» — '-'"— '-1б = = ~ ~ — бЬ(»р)+у+У ° афтаб»+»61тУ)бт ~ фгГт. ч откуда и следует формула (17), Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице массы внутреннюю энерппо 1с,Т газа через так называемое глеллосодержание (энтальпню) или, как еще иногда говорят, глеллоеую функИиго 7= ус„Т гю (17) так: Мс„7=ус Т вЂ” ггТ=)срТ вЂ” » =1 — ~— . Р Р ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохранения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе: у~Р(г+ 2 ) ггт = ~ Рр ' Ус1т+ ~ д)- от+ ~ Р Мат. (18) иэ которой обычным приемом получим и дифференциальную форму того же закона г1г~ + 2)=Е У+ +уР (19) Предположим теперь, что объемные силы отсутствуют и движение стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т.
е. будем считать движение газа адиабагпичеснилс 'Тогда закон сохранения энергии приведется к равенствам: (18') Из (19') сразу следует, что вдоль траектории нли линии тока (для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться равенство 1+ — = ~ыв1, ~/ч (20) выражающее известную теорему Бернулли дла сжимаемого газа (см. э 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального со- вершенного гала при отсутствиа айелснмх сил сугьла отнесенных к единице лсассн теплосодержания и кинетической энергии сохраняет гюстоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы.
Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно уравнению Эйлера, 1 р — + — атаб р, щ то можно получить равенство "~+У.с" У.в'г+ ( р+У ° йтабр)+Ау аЖ вли, после сокращения слева и справа на член У ° — „, следующее е зависящее от характере, поля объемных сил выражение того же закона сохранения энергии иг 1 ар = — — + Уд. р сг (гл.
и! динамика идеальной жидкости и газа Если движение баротропно, то по предыдущему 1 ар рл! ж' после чего уравнение баланса энергии приобретает вид — (! — У) = уд. я! (21) справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом поле дейсгвующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из курса термодинамики адиабаты р=сра с показателем й, равным отношению теплоемкосгей с,~с„и постоянной С, определяемой ло заданным значениям". р=-р, р=рз — в некоторой точке адиабагы.
Действительно, переписывая (22) в виде а ус, 1с, я !' лр Лс,Т=- — ' ° КТ= — Я- — = ~ — +сопя! !7 з зО') (22') У. и замечая, что 'по (17), 77 а — 1' будем иметь, дифференцируя (22') по давлению р! Й в !'р') а ! а рНр 1 А — 1 Лр(а/ Ф вЂ” ! Г а — ! ГЯЛр а' откуда следует дифференциальное равенство вр лз Р Р которое после интегрирования и приводит к (23). Наряду с функцияии состояния ! и зГ введем в рассмотрение еще одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа зюиропию Ю, определяемую известным дифференциальным соотношением !!8 =./— (24) Из равенства (21) вытекает, что в случае баротропного движения, а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в настоящем курсе движений, приток тепла определяет изменение разности тепловой функции и функции давлений, Прн адиабатическом движении у= 0 и уравнение (21) приводи~ к соотношению ! = У+ сопя!, (22) 136 1гл.
ш динАмикА идвАльной жидкости и ГАВА найдем искомое выражение для бесконечно малого прирагцения энтропии (25) откуда интегрированием получим 5 =- — 1п( — )+ сопяц Л' Грл ( рь) (26) Значение константы злесь не существенно, так как прнхолится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями. Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтропическим. Соотношение (23) можно было бы назвать извнтроиичесной адиибатой или, короче„извнтроиой й 22.
Эйлерово представление коивектпвного изменения объемного интеграла. Перенос величины сквозь контрольную поверхность Рассмотрим движение некоторого инливилуального жидкого объема ч с поверхностью а. К такому объему, представляющему систему материальных жидких частиц, можно применять общие законы сохранения массы н энергии, теоремы об изменении количеств движения, моментов колнчесгв движения, кинетической энергии и др.
При составлении выражений изменения со временем соответствующих величин приходится вычислять индивидуальную производную от объемного интеграла, представляющего эту величину. По предыдущему, индивидуальная производная может быть прелставлена как сумма локальной производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемои величины, и конвекчнвной производной, характеризующей неоднородност ь поля. Эйлеру принадлежиг общепринятый в настоящее время ирисы выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже упоминалось в й 11). Условимся в дальнейшем называть „контрольной поверхностью", соответствукицей некоторому дввкушемуся индивидуальному жидкому объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени.
Кон- ~ рольная поверхность предсгавляет зафиксированную мгновенную форму поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в пространстве, деформирующнйся жилкий обьем в каждый данный момент времени ирогнениет сквозь собственную контрольную поверхность, соотвегсгвующую рассматриваемому моменту времени. эйлагово изманвнна интал ьль й 22) цведем понятие о переносе физической величины сквозь замкнутую нли ра ожкнутую поверхность о. Возьмем в пространстве, заполненном д ,.„„нжущейся средой, элементарную площадку аа с ортом нормали и, направ --ленным в положительную сторону площадки.
Произведение Ф1г йо физической величины Ф, безразлично скалярной, векторной н тензорной, на секунлный расход среды сквозь площадку ао опредедяет перенос величины Ф сквозь площадку сЬ, а интеграл ( Ф рийо— б Фас — ~ Ф ай лооп' апов (21) отв Разность интегралов, в силу непрерывности Ф, ноже~ быть с точ- "Остью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух величин: Фя ° об.ьем СС'О'Π— Ф, объем АА'В'В, (28) так как при вычислении конвектнвного изменения следует отвлечься от несташвнарности и сократить интеграл по общему для уменьшаемого я вычитаемого в разности 12у) объема А'ОСЗ'. Искомое секундное канве онвективное изменение интеграла, распространенного по объему элементарной трубки, будет равно. Фя Ия сЬ вЂ” Фг1/т ° дог —— ФяЬ' боя+ Фг1'1 йеп перенос той же величины скозь поверхность а.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема вектору количества движения РУ, получим вектор переноса количества движении сквоаь поверхность о, равный интегралу ~ Р7Ъ'„йс. а Протекающую сквозь поверхность а секундную массу среды ~ р$~ ае б можно рассматривать как перенос плотности р через поверхность о," величину ) р — У„ао — как перенос кинетической энергии н т.
и. е Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от некопюрой величины, взнпюго по движугиемусн объему, равно переносу пюй оке величины сквозь „контрольную" поверхность, ограничиваюи1ую зпют объем в данный момент времени. Для доказательства поступим так же, как в ч 11 при выводе формулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный объем на большое число элементарных трубок тока н для каждой из них (см. Рнс. 9) подсчитаем секундное конвективное изменение объемного интеграла от рассматриваемой величины Ф. для этого, отвлекаясь ог локального д1 изменения — ) Ф йт, составим разность интегралов по смещенному дг.! к моменту г+аг и первоначальному в момент г объемам: 138 диньмикь идеальной жидкости и глзь (гл. ш Суммируя эги секундные конвективные изменения по всему объему т с поверхностью ч, получим полное секундное конаективное изменение обвсмного интегра,ю в виде (29) что и доказывает предложение.
Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только что проведенном доказагельстве определялась индивидуальная конвективная производная ог объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение во времени интеграла, распространенного на конкрегный движущийся объем, сосгоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или гага. Это означаег, чго внугри объема не могло быть источников притока (стока) новьцс мисс жидкости или газа. Если же такие— „особые" — точки в погохе (источники или стоки) существуют, то их следует дополнительно выделять контрольными поверхностями„ например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер в общую совокупность поверхностей, ограничивающих обьем интегрирования; таким приемом приходится постоянно пользовагься при рассмотрении движения жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
