Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В слгратоефере (л .ь 11 км) температура считается одинаковой и рав« ной — бб,бе С. » формулы расчета для тропосферы получаются нз следуюп»ей системы уравнений: йр — --. й — =Кт т= те— р где газовая постоянная Й для сухого воздуха равна 29,27л лР~еекаград, Т~ = 273'+ 16' = 288', е = — ' = 0,0065 град/л. Интегрирование втой системы уравнений не составляет труда. Имеем: ВТ г~р ййе — йр — я,' е(л р ' р 11(уе — ег) ' р й! йе я 7 е 1п — = — ! — = — (п ~~1 — — л).
— йт.! 7е ж (, т, Отсюда следует (р„— атмосферное давление на уровне моря, принимаемое равным 760 егег Рт. ст.), что -"=~' — +.)" илв, подставляя числа, глге — 800) 4ля стратосферы начальная температура принимается равной 56,5 С и интегрирование проводится так же, иак и для иао- термического случая. и табкянн МсжДУНаРОДНОй атнсефЕРЫ МОЖНО Найтн ВСПЕЦНаЛЬНЫХКУРСаХ справочниках. 112 Осгювныс твавняння движения в РьвиОВесня (гл. и Не составляет груда получение барометрической формулы и для адлабатического равновесия. В этом случае, обозначая через ра и р„ †давлен н плотность на уровне моря (х = О), по (68) и (70) легко найден 1/ар ь — г ь 1 ~'а а-1 йа после чего по (71) получим барометрическую формулу: в-а ГР~ а а — 1йа 1 — ( — ~ = — — ф'л.
~ра а ра В рассмотренном одноразмерном случае (безграничная атмосфера, изменяющаяся вдоль оси л) тепловое условие равновесия в предположении стацнонарносгн температурного поля примет вид сРТ вЂ” =О что приводит к линейному распределению температуры, в частности, к постоянству ее по высоте. Это условие выполняется как при изотермическом разнонесии, так и в случае „стандартной" атмосферы. Прн адиабатнчностн процесса условие теплового равновесия не выполняется.
Нетрудно построить барометрическую формулу ичотермического равновесия н с учетом поля тяготения, если заметить, что в этом случае погенциал массовых сил может быть принят равным П= азаа( — — — ), 1 1 где и — радиус Земли, д — ускоренпе на уровне моря. По (71) будем иметь — 1п — + азу( — — — )= О. ря р ' 1 1 (76) аа р„(,а+ ая а+ а 5 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности раздела Равновесие вращающейся жидкости Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости (р = сопз1) в поген» циальном поле объемных сил.
Уравнение равновесия по (67) будет — рятадП= йтаб р или р+рП=сопз1. (77) Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности р, и ря находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела Рьвновясиа нзсжимьвмОй жидкОсти ф 18) тих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давление р и потенциал Б непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения независимо ОФ того, со стороны какой жидкоетн подойтИ К данНОй точке павЕРхноети Разлела. Производная от левой чаСти Равенства (77) по любому направлению з, лежащему в касательной плоскости к поверхности раздела, допжиа удОвлетвОрятЬ ОдноврЕМЕННО СЛедуюшим двум равенствам: йр йи дв +Рь П откуда вычитанием получим ЫП (Р,— Р,) — = О; дз последнее равенство при принятом условии р, ф ря приводит к постоянству потенциала объемных снл Б на поверхности раздела.
По (77) при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела. Отсюда вывод: при равновесии двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потенциальном иоле обземных сил еранипа раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой. Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось в направить по вертикали вниз, равенство (77) дает р — ркв = сон а1 нли, заменяя произведение Рк на удельный вес 7, р — Тв = сопз1. Обозначим давление над свободной поверхносп ю жидкости (обычно, атмосферное), через р; тогда, помещая начало координат в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем р=рч+К' =рч+Тв.
Давление в данной точке на глубине .е, за вычетом дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление Р =р — р„, будем называть давлением жидкости. Тогда, для Расчетов дввлейия жидкости на тело можно, опуская штрих, пользоваться формулой (78') понимая под р превышение давления в жидкости над атно фе~ давлением на свободной поверхности. П ОвеРхностью раздела — свободной иоверхностью жндкости— тужит горизонтальная плоскость в = сопз1; на всей этой плоскости р = сопз$. 8 з .мп.л г.лам ь, основныг тплвнения движения н плвновасия [гл. и Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной угловой скоростью в вокруг некоторой оси, сохраняющей в пространстве постоянное направление.
Чтобы написать условие относительного равновесия вршцаюгцейся жидкости, как известно, следует к непосредственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще отнесенную к единице массы центробежную силу ГЮ1, равную (79) Ртч1 = веге и нмшондую потенциал П<ч1 = — — вег (79') где г" — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине этому расстоянию; этот вектор г' не следует смешивать с вектор- радиусом точки г относительно начала координат.
Если ось » совпадает с осью врашения, то гя = )Гхя+ уя, в то время как вектор-радиус г по величине равен г = )~ хя+уя+»я. Ураиненне относительного равновесия вращавшейся жидкости будет иметь по (77) вид р+ рП вЂ” — рмаг"' = сопа1. (80) 2' Уравнение свободной поверхности (р = сопа1) будет рП вЂ” — реРгэ = сопя1. (81) 1 2 Рис. 27.
Так, например, свободная поверхность тяжелой жидкости, вращаю- шейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси 0», направленной вверх, будет иметь уравнение р໠— — р~~~(~+уз) =совы„ 1 или, обозначая через»„координату точки пересечения поверхности с осью О»,(х=0, у=0), яя 2 ( +Л о 2АФ Это †параболо вращениа с параметром АР, зависяп1нм от углоВой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости й 181 Рав>юигсие несжимаемой жидкОсти вращения параметр убывает и ветви параболы в меридионачьном сечении параболоида сбли>каютси. ПЕГКО НайтИ СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫСОтОй ВОДЫ Ье В СОСУДЕ ПРИ ОтСУттвии вращения н величинами Ь и Ь „ при вращении с угловой коростью м. Простое определение Объемов дает (а †ради цилиндрического сосуда) атат й„, =йе —, 48 ' Таким обрааом, измеряя по шкале, помещенной на внешней поверхности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в иотдкости неат й — й.! =— 2я ' можно определить угловую скорость вращении цилиндра, т.
е. использовать прибор, как тахометр. В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия равновесна, рассмотрим вопрос о фигуре равновесия вращаю>цен>ся обвела однородной жидкости, тяготеющей к неподвижному центру силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра. Примем (рнс. 28) ось е за ось вращении и начало координат О эа центр притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости, С> >с ( — — )...с — Р . =>я:~-'гтг — р г!' стояние частнцы лп>дкости М в от це>прв тяготения — начала координат О.
Потенциал центробежных снл„отнесенных к еаяннце массы лп>дкостн, будет по предыдущему Равен I ! > — — нтг" ~, где т — угловая скорость вращения жидкого объема, г" = Ггкз+уз — расстояние жидкой частицы от 3 оси вращения Ов. Условие Равновесияя вращающейся жидкости. если отвлечься от сил взаимного тяготения между частицвмн. будет по (80) Ог Р— — „— — Редев~ = сопя!,(82) з уРавнение свободной поверх- Рис. 28.
наст, >ещнй объ ти, ограничивающей враща- ло (81) щ' бъ жидкости от окружающ й его ср лы другой пло с ь будет С «>в~ вв — + — = сопя!. г 2 (83) 116 ОснОВные ЕРАВнения дВиженив и РАВнОВВсия (гл. и Это уравнение и дает искомую форму поверхности фигуры равновесия, тяготеющей к центру жидкости прн вращении ее вокруг неподвижной оси, Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяготеюЩУю к ЦснтРУ, зададим УскоРение Аго таготениа масс на полюсе, находЯ- щемся на расстоянии го от центра Земли, тогда будем иметь: с — =Ао С=габ( и уравнение поверхности фигуры равновесия будет — + — = сопл!, 2 причем сопя! определяется из условия, что на полюсе: г = го, гт = О, откуда следует ййго = соне!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
