Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 20
Текст из файла (страница 20)
и будем иметь: ~(Х.) - — ~[Х( — + — + — )~ + а + ~ (()ХР )+0ХР„)+(1сХР,))дт. (391 Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение моментов (37) в виде: ( г лт' йр„йр„зЫ гХ~р — — чг — — — —" — — )дс ~ лг бл йу аз) = ~ Н1 Х Р )+() Х Ря)+(й Х р,)) 4с. (40) т Интеграл, сгоящий слева, равен пулю, так как по (28) равно нулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда, в силу произвольности объеча интегрирования в правой части, получим: (1 Х р ) + (1 Х р ) + (к Х р,) после чего проектированием на оси координат нетрудно вновь получить равенства (14), выражающие симметричность тензора напряженности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только что изложенное доказательство является не зависящим от приведенного в предыдуп1ем параграфе и основанного на использовании частного вида объема — влементарного тетраэдра.
Если же принять предыдущее доказательство н считагь теорему о взаимности касательных напряжений уже доказанной, то применение теоремы моментов к конечному объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения динамики не дает. $16, Тепловые явления в жидкостях н газах. Закон сохранения внергни и урдвнеиие баланса виергии Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную связь меящу изменениями плотности н скорости, с одной стороны, и приложенными к жидкости нлн газу поверхностными н массовымн силами — с другой.
Для решения вопросов движения жидкости илн газа зтих динамических уравнений оказьаается недостаточно, так как рассматриваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными язатпнныьщ превращениями механической внергии в тепловую. Так, например, Р 161 ЭРАВНВНИЕ БАЛАНСА ЭНСРГИИ хорошо извесгно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разогревается, при расширении, наоборот, остывает.
В первом случае механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа расширения происходит за счет тепла газа Аналогичные, только гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидкостях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разогревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутреннего трения. Снаряд, легящий с большой скоростью в воздушноп атмосфере, сильно Разогревается, значительно повышается при этом и температура воздуха вблизи поверхности снаряда Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо присоединить егде уразнение баланса энергии в потоке.
Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости или газе, вспомним общий закон сохранения энергии, который н применении к движущемуся индивидуальному объему можно формулировать так: изменение полной энергии объема жадкости или газа за бесконечно малый промежуток времени разно сумме элементарных работ внешних массоных и поверхностных сил, приложенных к выделенному объему и его позерхкостпи, сложенной с элементарным количеством тепла, подведенным извне к объему за тот же промежуток времени.
В дальнейшем будем считать движущиеся жидкость или газ совершенными, т. е. будем предполагать„ что внутреннее молекулярное движение в них сводится к свободному соударенню абсолютно упругих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил н столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом . предположении можно считать внутреннюю энергию равной произведению абсолютной температуры Т на коэффициент теплоемкости прн постоянном объеме с„— для сжимаемого газа или на коэффициент теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости.
Уравнению баланса энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме г с поверхностью о мох>но придать следующую интегральную форму: — ~ р(.Гс„Т+г~м~бг = ~ РР ° Чде+ ~ р„° ЧсЬ+,М>. (41) '> > > Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по вречени от суммы внутренней и кинетическоя энергий объема, справа— сумма мощностей массовых сил, приложенных к объему (первый интеграл)> поверхностных сил (второй интеграл) и выралсенное в механичес ских единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу или л ч времени к индивидуальному обьему извне за счет теплопроводности механич лучеиспускания; множитель / в левоа н правой частях обозначает все члены ханическип эквивалент тепла () = 427 кг ° м!кал), позволяющий ч>'сны уРавнения (41) выражать в одинаковых механических единицах мощности, 102 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВРСИЯ (ГЛ. П Следуя приемам предыдущего параграфа, выразим обе части уравнения (41) как объемные интегралы от соответстяушщих величин.
Левук1 часть уравнения (41), используя закон сохранения элементарной массы (15), преобразуем так: — ~ 4,.1Е,Т+ —,~й. ~ р ~УСТ+ — )Пт+ + ~ (3с,Т-Н вЂ” ) — (р с1т) = ~ р — (Зс„Т+ЯЖ. (42) Поверхностный интеграл в правой части (41) можно на основанви формул (9) преобразовагь к виду; ~ р„.Чс(я= ~ (и р Ч+пяря Ч+п,р,.Ч) ~Ь= Е Е = ~ (п (РЧ)„+п„(РЧ) +п,(РЧ)ь) гй= ~ и-(РЧ)пе, Е или, воспользовавшись формулой Остроградского (66) гл.
1, ~ р„° Чая= ~ 51У(РЧ)с(т. Введем обозначение: 4)- ~ рдтт, (44) р — „( Зс Т+ — ) = рГ ° Ч+ 51 ч (РЧ) + Зрр. (45) В декартовой системе координат, если выпьсать явно значения индивидуальной производной и дивергенции, уравнение (45) примет вид: р ~й + и — + о — +те у-фс„Т+ 2 (и + Ою+тяа) 1= =р(ИГ +ОРУ+ЕЯГ)+ — (р и+р о+р ти)+ + — (рай+ р +р; )+ — (р ° +р.р+р )+урЧ. (46) где под и условимся понимать секундный приток тепла к бесконечно малому объему В данной точке, отнесенный к массе этого Объема. Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема "., получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме: й 16) УРАВНЕИИЬ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ где Л вЂ” коэффициент теплопроводносги, а производная берегся но направлению нормали к площадке да, будем иметь: Ц= ~ Л вЂ” ~й = ~ (Лягай Т) гуе, Г ЬТ дл ю Ю откуда по формуле Остроградского (66) гл.
1: А1= ~ Й1ч(ЛатабТ)<й, т (47) нлн, сравнивая с равенством (44), определяющим д, зд = б1ч(Л дгаб Т). (46) Коэффициент теплопроводности в газах зависит от температуры, так что в общем случае величину Л за знак дифференциального оператора 61ч выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл.
7(П. Заметим, что при малых разностях температур в потоке можно в первом приближении положить Л = сопз1; в этом случае будем иметь рд=Л61катаг1Т Л7ЯТ, I з д" дз дз где 7з=7. 7= — + — + — символ оператора Лапласа. длз ду' дь Приток (положительный или отрицательный) тепла может проис- холить также благодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов, в металлургических печах, в атмосфере под влиянием солнечной Радиации и др.) и по другии физическим (конденсация, парообразованве и др.) и хииическим (Горение и др.) причинам. Полученная система динамических — (22) и (30) — и знергеьчмческого (46) уравнений, как легко заключить по внешнему нх виду, ~райне сложна, кроме того, число входящих и систему уравнений на много меньше числа неизвестных, так что система является незамкнутой неопределенной.
для доопределения системы и возможного ее упрощения приходится делать ряд дополнительных допущений, приводящих к более или менее отвлеченным схемам движения жидкости (49) Величина д секундного притока тепла, отнесенного к единице массы, может быть определена, если известен сам процесс притока ч ЕГ1Ла Основным механизмом распространения тепла в жидкости или газе является Ачеилопрозодноеть.
Замечая, что количество тепла Щ, проходящего в единицу времени через площадку да, равно по известной формуле Фурье д1~ = А — ГЬ = 1, (ятаб Т)„дч, ат !04 ОснОВные уРАвнвния дВижения и РАВнОВесия (гл. и или газа. Таковы, например, схемы идеальной, т. е. Ие Обладающей внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жидкости и идеального сжимаемого газа, вязкой ньютоновской н неньютоновских жидкостей и мн. Др. Основные нз этих схем будут рассмотрены в дальнейшем на протяжении настоящего курса. Остановимся сначала на одном практически важном н интересном случае применении выведенных общих уравненнй — на учении о равновесии жидкости и газов. В этом случзе, как будет показано, составленных уравнений достаточно для любой жидкой или газообразной среды, удовлетворяющей лишь двум основным принципам, изложенным во введении: непрерывности н легкой подвижности.
ф 17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа. Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические формулы. Стандартная атмосфера Согласно основному свойству жидкостей н газов †легк подвижности,— при Равновесии отсутствуют касательные силы сопротнвлення взаиьшому скольжению жидких обьемов друг по отношению к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь норжальныс к этим площадкам силы. Таким образом, при равновесии жидкости или газа векторы напряжений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ннм площадке (й 14), будут равны: (50) Р„=Р 1, Р„=Р 1, Р,=Р„1с, Рп=рпп, а касательные компоненты напряжений равны нулю: Р,=Р, =Р„,=Р,„=Р, =Р „=0. (50') Подставляя значения напряжений в основную систему равенств (10), найдем: Рплп пхРпп Рппв пчряе~ Рппп пгрпп откуда сразу следует Рпп Рая Рве Рп' (51) ОбщЕе значение нормальных напряжений, приложенных в данной точКе жялкости к площадке любого направления, назовем дтвлвнием в данной точке жидкости илн газа н обозначим череа „ — р" в знак того, что вектор напряжения направлен противоположно орту нормвли к площадке: (52) Рп = — Рп, что соответствует сжатию Выделенного обьема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
