Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 19
Текст из файла (страница 19)
н Повторяя аналогичные выкладки с производными по у и е, получим окончательно следующую группу интегральных формул: )~ ь=)'" ь ~ ь ~ пвиЫо = ~ — с7т, (26) о п.нде = ~ — йт. !' да ! дв з Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл в уравнении (24) в виде". ~ ридо=- ~ и р йс+ ~ пчрвйо+ ~ и р„йо, или, по (26), окончательно: (27) или, используя провзвольносгь объема с и приравнивая подннтегральную функцию нулю во всех точках области движения, будем иметь то же уравнение в дифференциальной форме: др др„др, Р— = РР+ — + — "+ — '. ив дх ду де ' (26) Это векторное дифференциальное уравнение„ или эквивалентная ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях: ии др„др е др„ Р— =Рг + + + —, ив ' и дх ду де ' ьМе дрь в дрив древ "— =РР' + — + — +— ' иг в дх ду де ' др ь дрв* древ Рйе Р '+ дх+ ду + де (29) Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону, получим основное динамическое уравнение движения спев!иной среди в инте еральной форме: с ич' дре дрв дре~ (Р Рг .
)от=о .(. де дх ду де ) (27') $ 1б) овщив лавнвння динтенки Сплошной свтды 99 с ди ди ди да~ о~ — + и — + и — +тв — )= ' ~дт дх ду де) др др„др =рг + — + — + —, х д,с дт де /до до ди до~ р( — +" +о + 1, дт дх ду де) др др древ ="р + — + — + —. в дх ду де (дсе дсе дсе дсв') ' ~д! дх ду де1 о( — +и — +и — +ш — '1= дрие др„др, =рр + — + — + —.
дх ду де (30) Для дальнейшего существенно подробнее рассмотреть механический смысл входящего в пРавую часть уравнения (28) вектора до др„др, — + — +— дх ду дх ' который, согласно (27), можно представить как предел !йп — ~ ри с!и= 1йп — ( пР с!и 1 !' ! !' „',а3 ", оа,! Ьс Ьа отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к боковой поверхности Ьо произвольно выбранного в данной точке М элементарного обьема Ьт, к самому объему Ьт, при стягивании ~оверхности Ьо к точке М.
Этот предел можно было бы назвать славным вектором поверхностных сил, приведенным к единаце окоема и данной точке понсона, а вектор е ~авным вектором поверхносспных сил, приведенным сс единице массы в данной точссе потока. и Отличие от напряжений поверхностных сил р, р„, р„ величины " ~вправления которых зависели от выбора направлейия осей координат в данной точке или направления наклонной площадки, главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема, носит наименование уравнений динамика и наирязсениях и играет основную роль при выволе всевозможных частных видов уравнений динамики жидкости и газа.
Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости по вРемени, входашме в левУю часть УРавнениЯ (29), по (40) а д то уравнения (29) запишутся в развернутой форме: 96 ОСНОВНЫЕ УРЬВНЕНЯЯ ДВНЖЕНИЯ Н РАВНОВЕСНЯ [ГЛ. П представляет однозначную векторную функцию координат данной точки пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от формы стягивающейся к точке поверхности„к которой были приложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными словами, приведенные к единице обвема или масси гливяые векторы поверхностных сил образуют векторное поле, в то время как сами поверхностные силы поля не образуют.
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует на „единичное тело" (единнпа заряда, единица магнитной массы и т. п.), помещенное в поле, называют капрязкеяием поля; произведение напряжения поля на величину помещенного в поле „тела" (заряд, магнитная масса и т. и.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей со стороны поля на это „тело" (заряд, массу). Точно так же и главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или обаема, представляет „напряжение", или, чтобы не спутать с использованныи ранее термином напряжения для поверхностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интенсивность поля главных векторов >юверхкостных сил в потоке.
Эту величшгу можно было бы еще иначе назвать интенсивностью обаемкого действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность соответственно на элемент объема илн массы, получим главный вектор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу объема или массы. Могут быть случаи, когда ири наличии поверхкосткых сил обвемное их действие во всем потоке равно нулю; это имеет место, как в дальнейшем будет показано, например, при безвихревом движении вязкой жидкости. Введем следующую дифференциальную операцию над тензором напряженности Р в предельном интегральном представлении (при стремлении Ьт к нулю Ьа, каь всегда, стяпшается к данной точке пространства): 1 р Р!УР = йш — [ НРда (зц „.,ь3 За и назовем этот вектор дивергенцией текзора Р. Заглавная буква в символе ьйу поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции ьпу от операции Йч, производимой над векторной функцией.
Как было показано в предыдущем параграфе„ тензор напряженности Р характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной точке. Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою векторную меру неоднородности напряженного состояния среды. Этой мерой, как видно нз предыдущего, служит отнесенный к единице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, ограничиваялцей выделенный в среде объем, если этот объем устремить к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке $1Ц овщия Й'лнивния динамики сплошной сеиды 97 ~ О(чРйг — главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой гюверхности о, ограничивающей конечный объем т, причем по (24) и (12): ~ О(ч Р г1т = ~ р„йо = ~ лР И, Отсюда вытекает формула 1 при» = 1 В!чрот и т (Зг) верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тенаорное обобщение формулы Остроградского 1(66) гл, Ц.
Задаваясь той или другой коорлинатной формой элементарного объема бт, можно по формуле (31) найти координатное представление вектора О!чР. Так, например, примем за Ьт декартов прямоугольный параллелеиипед со сгорончяи Ьх, Ьу, бг, тогда, поступая аналогично тому, как это уже неоднократно делалось в предыдущей главе (например, в $11), будем иметь: О(чР= 1ян 1 (р+ — ах — 1Р~ аул»+... +~ йР+ — — аг — йР) ахау д((Р1 . Ч Г д(И» д д» А -3.0 Ьхзуй» - — + — + — ' д (1Р) д ()Р) д (йр). дх ду д» ио по основному равенству (12), верному для любого наклона пло Чалки, и, в частности, при и = 1, и = 1 и и = К: — Рв~ (Р = Рт 1Р = Рю следовательно, в декартовой системе координат: др дря др, О1чР= — + — '+— д ду д (зз) ач~.
!зн. л. Г. лаенвнсхеь Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеег места: из равенства нулю дивергенции тензора в некоторой области епче не следует постоянство тензора в этой области. Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что дивергениия тензора наиряхсенности определяет вектор интенсивности обземного действия поверхностных сил в данной точке потока.
Произзеление вектора Ич Р на элемент объема ач дает главный вектор поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограничивающей элемент йг, а интеграл 93 освовныв увьвнгния движения и оьвновзсия ]гл. и нли в проекциях: др»е дре» др~ 1 (Мч Р) = — + — + —, » дх ду д, др „др„„древ (УЗ Р = — + — + —. дх ду де ' др»» дрв» др», (ПгчР) = — + —,+ —. дх ду Ое ' (33) Формула (ЗЗ) с внешней стороны несколько напоминает выражение дивергенции вектора в декартовых координатах (формула (63') гл. Ц: да» дав да, 61ча = — + — + —, дх ду дх ' однако сходство зто чисто внешнее.
Действительно, в формуле дивергенция тензора (33) под знаком производных стоят зависящие от выбора системы координат векторы р, р„, р, напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям х, у, г, а сама величина Оь»Р представляет физический вектор," в формуле же дивергенции вектора йчн под знаком производных стоят алгебраические величины проекций вектора н, а 61»а представляет физический еиаляр.
Полученные формулы дивергенпии тензора несколько трудны для запоминания; в связи с зтим можно предложить простое символическое их выражение, основанное на символическом равенстве: ИчР =7Р, (34) (35) „Пользуясь введенным понатием дивергенции тензора, можем пред- ставить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме р — „г = рР+ УУч Р.
ач Применение к объему т теоремы об иззгенении момента количества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных соотношений' взаимности касательных напряжений или, что все где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора р д д д с проекциями —, —, о- на тензор Р. Применяя формулы (20) гл.! дх' ду' х умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (33') 01чР ~ на осн координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34), можно предложить еще формулу (ЗЗ), легко запоминающуюся по своей внешней аналогии с формулой дивергенпни вектора.
Интегральная формула (32) допускает символическое представление: а 15) оящяе яяьвняния динамики сплошной сеиды 9)) равно, к симметричности теизора ииирнлсеиности. Деаствнтельно, теорема об изменения главного момента количеств движения может быть записана так: ич. ~ Х РЧ ит = ~ г Х Рг дт + ~ г Х И (37) где г — вектор-радиус центров элементарных объемов Ж н площадок Ыи, к которым приложены векторы количеств движения, массовых внешних сял н внешних напряжений. Объемный интеграл, стоящнй слева, равен И ~'иг ич ~ и Б.
г Х РЧ с)т = ~ — Х рЧ ~) + ~ г Х р — с)т + ~ г Х Ч вЂ” М*). ,> и) иг .~,й Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, Иг так как — = Ч, последний ннтеграл равен нулю по условию сохранешж массы элемента жидкости (15), так что будем нметес — ~ г Х РЧ Нт = ~ г Х р — дт. дт (38) Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37), легко по предыдущему преобразуется в объемный. По (9) будем иметь: ~ (гХР )с)и= ( гХ(а,р +п ря+а,ря)сЬ О а = )Г (а (г Х р ) + ая (г Х ря) -) и, (г Х р,) ) йз, а откуда по формулам (26) следует: Г Г д (г Х Р~) д (г Х Рз) д (г Х Р~)1 гХр сЬ= ~ ) + — з+ — — — — 1с)т= и = ~ г Х ~~ — + — + — ) ~)т + + Ц®ХР„)+® Хр„)+фх р.ф, ялн, замечая еще, что д =д Ф+У)+Ж вЂ” ) дг д дг =) ду дг дз > — — К 199 основныв утаивания двнжзння и Рлвновзсия (1л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
