Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Интегральные представления дифференциальных операторов поля. Основные интегральные форм улы Деформаннонная часть поля скоростей характеризуется еще одной важной величиной — скоростью относительного обеемного расьтиренин в данной точке, которую можно определить как предел 1 ь--~ оде Лг 1нп — — (Ьт), где Ьт — малый объем, в котором взята гочка Эта физическая скалярная величина носит наименование дивергенция (расходнмости) скоростного поля в обозначается символом 51чЧ, так что можно написать б1чЧ= 1пп — — (Ьс).
1 ь -+ оде лг Чтобы не смешивать бесконечно мжчые прнрагцения в пространстве с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда это может повести к недоразумениям, . обозначать пространственные дифференциалы символом 3, временные — а. Тогда (58) дает Жч Ч = — — (Зт). 1 й (59) В дальнейшем часто придется находить производную по времени от элементарного объема жилкосгн. По (59) имеем: — (йт) = б1ч Ч ° бт. (59') 66 $11) скОРОсть Овъемного РАсшиРения жидкости Для определения величины 61РЧ воспользуемся приемом, идея которого восходит еще к Эйлеру. Возьмем в данный момент времени 1 элементарную трубку тока и двумя проиавольно наклонными сечениями (рис.
9) дЬ, н СЬз выделим некоторый объем АВСА1 = ет. ча время дат объем сместится в положение А'В'С'.0' и, вообще говоря, изменится, причем, как легко сообразить, полное иаменение объема АВСА1 в этом случае будет равно: дг(6я) = объем А'В'С'дд' †Объ АВС11= =объем 11д.'С'С вЂ” объем АЛ'В'В, так как объем А'В'Сй Явлаетсв общей частью объема тРУбки в начальный и следующий моменты. Проведем внешние по отношению к объему АВСО нормали и, и па и внутреннюю нормаль пд, а также отметим векторы скоростей Ч, и Чав сечениях д1О, и дЬе.
'Тогда будем иметь: обьем АА'В'В =д1а, - л, = = гй, ° \Г, д1д - соя (Ч„п,) = = — Ъ', соз(ЧН пд) Ж ° Ичо объем Ш.д'С'С = дЬЕ - йз= = $'з соя(ЧЕ, пз) г11 ° СЬА и„следовательно, — = Ъ'чдЬ + Г СЬя. (60) Возьмем теперь в поле скоростей любой конечный объем "., разобьем его поверхностями трубок тока на бесчисленное множество элементарных объемов йт; при этом входные и выходные сечения РЬ заполнят всю поверх- Рнс. 9.
ность а, ограничнвающую объем Просуммнруем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда, очевидно, получим общую формулу для любого конечного объема: лт à à — 1Гчда= ~ 1"'соз(Ч, п)АЬ= ~ и ° ЧгЬ. (61) а Согласно (58), получим теперь следующее интегральное представление дивергенпл скорости: п|РЧ = 11п1 — ~ $г„~Ь= йп' — ~ " 1 г (62) д, дат,~ м-+аат, ь 64 ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (гл. ~ где дв — поверхность, ограничиваюп1ая малый объем йт, заключаю. щий в себе точку, в которой определяется 61ч ч'; при стремлении ат к нулю поверхность 4е стягивается в зту точку. Замечая, что выражение представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность йе, ограничивающую объем йт, содержащий внутри себя точку, в которой опре- г делится дивергенция, моч, ~~Жег жем еще определить величину йч ч' как предел отношения секундного обь! че=" — ву ве емного рас.тода жидко- В " сти сквозь замкнутую чп— поверхность к объему, 1 ограниченному этой позу верхностью, когда по- т„=з — вг е верхность стягивается к Ь вх Ье ! точке, в которой опре- деляется дивергенция.
Кзк чч=.и видно из хода доказательства, объем йт совершенно произволен по ряс. 1О. форме. Выберем за дт злементарный декартов координатный параллелепипед (рис. 10); тогда, составляя непосредственно поверхностный интеграл в праной части (62) от значения У„ по всем шести граням (зги значения показаны на рисунке), получим: йч Ч 1пп — — — — ~~и+ — йх)йуйг — ийуйг+ р ахауаг ~~ дх +(о+ — йу) йх йг — ойх йи+ до +~те+ — йг)дхйу — тейхйу+б. м.
Еыс. Пор.~, откуда найдем искомое выражение дивергенцни скорости в прямоугольных декартовых координатах: ди до дге йч ч' — + — + —. дх ду дв ' По заданным уравнениям поля скоростей йч ч в данный момент легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем $ 11) нгггвгвьльиыв ФОРмулы ее символический вид д Ч=Ч Ч. (64) раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и вспоминая (24), получим формулу (63). Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая общая дифференциальная операция, совершаемая над любой векторной функцией н определяемая формулами (62) и (63)„куда вместо вектора ч надлежит вставить дифференцнруемый вектор н.
В этом случае уже нельзя говорить о скорости объемного расширения, а вы- ражение ~ авдо= ~ п аде, е е р 1 Р д! ч а = Иш — ~ а„до = Иш — ~ и ° н да. (62') д, +е Ьч ь..+е йч Ь! Ьа Выражение дивергенции вектора в в декартовых прямоугольных координатах будет, аналогично (63), иметь вид: 61ча= — +-''-а+ — *.
да„д да, дх де дл (63') Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно повторить для элемента объема в любой системе криволинейных коорлинат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить, ~аким образом, выражеиие дивергенции вектора-функции в криволинейной системе координат; это будет сделано далее в гл. Ч11. Из формулы (62') легко выводится важная для дальнейшего интегральная формула, впервые укааанная в 1834 г. знаменитым русским академиком 84. В. Остроградским (1801 — 1861). разобьем любой конечный объем т на большое число малых объемов йт; обозначим цоверхносггч ограничивающую "., через о, а Ат — через Ьо. 5 зч ген.
л г. лез ача. где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой) поверхности о, называют попюком вектора а через поверхность о. ясли вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а совпадает с объемом жидкости, протекающим через поверхность е в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости сквозь сечение а, что приводит к ранее данному определению дивергенцни скорости. Ъ В общем случае дивергенция вектора определяегся как предел ошпошеная попюка вектора сквозь замкнутую поверхность к объему, ограниченному зпюд поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция, т.
е. элементы теоеии поля. кинвмлтнка сюды )гл. ! Тогда, согласно (62'), будем иметь для элементарного объема Ь":. п ° и На = 01 ч и ° Ат+ е ° Ьт, (66) где э — малая величина, идущая к нулю с уменьшением пт. Просуммируем обе части равенства (66) по всем объемам Ьт, образующим конечный объем; получим: ~~' ~ и - а~а ~~' йч а ° йт+ ~~ ~е ° Ь".. В сумме, стоящей слева, взаимно сократятся все элементы интегралов, ваятые по общим границам двух соседних малых объемов, так как сама вектор-функция в в силу непрерывности имеет одинаковое значение на границе со стороны какого объема не соверпшлся бы подход к граничащей поверхкосги, в то же время внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей один из малых объемов, является внутренней нормалью к той же поверхности для смежного малого объема; поэтому в рассматриваемой сумме часть слагаемых, равных между собою по величине и противоположных по знаку, сократится.
Останутся лишь элементы интеграла, распространенные по внешним частям поверхности а, окружающей объем т, т. е. поверхностный интеграл по поверхности а. С правой стороны, если устремить к нулю малые объемы Ьг, останется объемный интеграл от йчи, взятый по объему -., так как второй член справа, как сумма малых четвертого порицка, обратится в нуль. Таким образом, получим интееральную формулу: ~ ц ° и ~Ь = ~ Йч а Ит ч к (66) или ~ а„ла = ~ д1чаФс.
а Ф (66') Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный интеграл от дифференциального оператора <Ич а векторного ноля через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд кажется странным, что при любом виде векторной функции а (подчиненной лишь ограничению непрерывности и существования первых проиаводных по координатам) объемный интеграл, вычисление которого требует знания функции во всех точках внутри объема, выражается.общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый значениями вектора-функции лишь на поверхности объема. Дело здесь в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функшш, а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря определенный интеграл от производной функции, получают разность влвмвнты твогии поля.
кинвмлтикл сгвды (гл. 1 Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных дифференциальных операторов — градиента н вихря — можно вывестн интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные только что выведенным формулам (62) и (66). Рассмотрим в поле скалярной функции т произвольный малый объем Ьт (рис. 11) с поверхностью Ьч н рассечем его двумя смежными поверхностями уровня <~ и р+ — „Ил, находящимися друг отно- лт сительно друга на расстоянии дл, отсчитанном по внешней нормали и, проведенной через точку М первой поверхности уровня.
Рассмотрим поверхностный интеграл ~ ц'~уаЪ', распространенный на поверхность, окружающую объем дс, заключенный между проведенными поверхностями уровни н равный, в силу малости всех величин, произведению площади основания на высоту Ил; под знаком интеграла и' †внешн нормаль к поверхРис.
11. ности интегрирования, сЬ' — вле- мент площади поверхности. Этот интеграл может быть представлен как сумма своих элементов, рассчитанных по площадкам у' и у+г(Г, н, кроме того, интеграла по боковой поверхности, являющейся частью (пояском) поверхности Ьа. Будем иметь.' п<~сЬ'= — пф+н~ ~р+д — Йл) (у+ с1у)+ ~ им сЬ' = 1бач) =„~ цуйл+в~цлу+ ~ и'гЬ), (бом так как можно считать, что по боковой поверхности рассматриваемого объема с1 сохраняется. постоянным; с другой стороны, применяя к той же поверхности формулу (68), получим — ну-(-п(у+Пи+ ) П" г1о=О, (бак1 откуда сразу следует, что вырюкение в скобках в правой части предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет вид; и'сула'= —.йтад~у~Ил = йтабвгй. Ф !1! ннтагялльныа Фогмтлы Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых объемов, образованных нз объема Ьт сечением его поверхностями уровня функции р, и просуммируем эти равенства по всему объему Ьт; тогда в сумме останутся лишь слагаемые„относящиеся к боковым пояскам поверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
