Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Обухова н Л. И. Седова. На атом, по необходимости, ааканчнвается краткий обзор достижений совегской науки в области механики жидкости и газа. Обзор содержиг только перечисление наиболее аначнтельпых работ наших ученых. Многие нз зтнх результатов еще настолько свежи, что не могут найги себе место в историческом очерке. Но уже н нз того материала, который помещен в настоящем обзоре, отчетливо видно, что советская гилроаэродннамика по праву занимает ведущее место в мировой науке.
В настоящем, заключительном, параграфе очерка почти ничего не говорилось об иностранных работах за рассматриваемый период времени. Это объясняется не только краткостью очерка, но н тем замечательным фактом, что в последнее время, за весьма немногими исключениями, все основные проблемы механики жидкости и газа самостоятельно выдвигались н разрешались советскими ученымн, поставившими нашу Родину в совершенно независимое положение от зарубежной науки, СЛАВА ! ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ б б. Поде физической величины. Скалярное и векторное поля. Поверхности уровня. Векторные линии и трубки Совокупность скалярных или векторных величин, задзнных в некоторой конечной или бесконечной области так, что каждой точке области соответствует одно определенное значение скаляра или вектора, образует поле скалярной или векторной величины, карачев скалярное нли векторное поле. ' Таковы скалярные поля: температурное поле нагретого тела, поле плопюсти в неоднородном твердом теле, и векторные поля: силовое поле, например, поле тяготения, поле скоростей во врзщающемся твердом теле и др.
Пале называется щлакионарнылб если распределение физических величин в пространстве не изменяется с течением времени. Так, например, поле скоростей в равномерно вращающемса вокруг неподвилпюй оси твердом теле будет стационарным; в противном случае поле называется не стационарным. Если во всех точках пространства, где задано поле физической величины, значения этой величины равны между собою (соответственно в скалярном или векторном смысле), то такое поле называется однорадныж, в противном случае†не однородным. Скалярное поле плотности в однородном твердом теле однородно. В поступательно движущемся твердом теле векторное поле перемещений так же, как и скоростей или ускорений, †однород.
Само собой разумеется, что олиородное поле может быть как стационарным, так и не стационарным. Аналитически поле некоторой скалярной величины »з или вектор»«»«» рь»»» и 1»» настоящей главе, так же как и в других глазах курса, напомянаются бзабХОД е лзя дальнейщего заеме ы векторного н тензорно аналюа; ызо Оы желательно предварительное ознакомление с этими злементамн, „"зпр'азер, по прекрасной книге Н.
Е. Кочина, Векторное исчисление и взчзла тензорного исчисления, ОЕТР ГТТИ, 19ЗЗ изи последующие издания. 40 элементы тьОРНИ НОля. ЕинРмлти>ка сРсды (>л. > о> к псих-нибудгэ в час>ности лекари>вых, коорднна> и яремы>н: ' Ф=Ф(х,у, г; г)=Ф(М; С), а = а (х, у, г; У) = а (М, т) Условившись в этих простейших определениях, посмо>рач >спер>, каким образом характеризова гь пространственную изл>енчивис>иь величин ноля (изменение со временем величины в данной точке нросгранства характеризуется, очевидно, частной производной ог этои величины по времени) Для этого следует упорялочить рассмотрение бесконечного многообразия величин, образующих поле, располо>кив эти величины сообразно некоторому признаку: численной их величине — для скалярной функции, направления> — для векторной функции.
рассматривая скалярное поле„расслоим часть просц>ансгва, в котором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями, влоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др. Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции Ф(х, у, г; 1) в данный момент времени, если поле не стационарно, и в любой момент, если поле стационарно, будет Ф(х,у„г; >)= С, (2) где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений.
Если задано значение величины 4> в некотоРой точке Мо(хе,УР, ге) и в данный момент времени Ее, то уравнение поверхности уровня, проходящей через точку М„ в момент >в, будет, очевидно, Ф (х, у, г1 >) = Се = " (хо~ уеэ го' ~е) = Ф (Мо 4>) (й) Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приведении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве к более простому — изменени>о ее при переходе с одной поверхносзм уровня на другую.
Возьмем какую-нибудь одну понерхность уровня, например (3). Эта поверхность делит все пространство на две области: внешнюю, где Ф (х, у, г, С) ) С„, н внутреннюю, гле Ф (х, у, г; 1) ч., Се. Гермины эти, конечно, условны, зак кзк, например, если поверхность уровня представляет сферу радиуса а с центром в начале координат, го при выборе функции Ф (х, у, г) =ха+уа +ге — аа > Буква М снмаоанческн представляет здесь совокупность координат точки М, еслн поле стационарно, то время С в характеристике функции отсутствует.
4! пола Физической величины и 6! впешня шняя область по галька что введенному определеяию совладает с вне! внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же положить (' У «)=ая — ка а (м!) — т (м> йт Иш и, .ж ММ! йт (4) Замечая что, по определени!о поверхнос!и уровня, ~(М>) == 1>(М ) и что, кроме того, йп = аг ° соя (1, и), будем иметь =- — сов(1, п). йг йп йг йл (б) О!сюла сразу следует, что, в силу поло>кигельносги — (вспомйг йп пить определение внешнеи нормали): йг ае — > — ' пи йг' направление внешней нормали к повернного!и уровнн, предсгпавляен! направление наибольшего изменения скалярной фуньттии "о сравнению с любым другим направлением.
1 ассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей урони: =С1 о=С', о=Се и т. д. Проведем через точку М внешнюю „о предыду!нее определение с геомегрическии не совпадег. условимся положнгельное направление нормали, проведенной через п.ю>!орую точку данной поверхности уровня, выбирать в сторону внешней области и назьпить =с !е=с такую ось внешней норлшлью; >Р=С )е=, гпротнвоположно направленную ось — внушренней нормалью. Ц, Проведем (рис. 1) две с>ге>к- й1 пые поверхности уровня о = С >и и о= С' и через точку М ь ап одной из них — внешнюю нор- и маль с единичным вектором-ор- и> гом и и какую-нибудь наклонную ось с ортом 1„. от- п' резки ММ' и ММ, обозначим через йп и йй Напомним, что и" йт Рпс.
1. проиаводной — от ска>иркой йг функпни ъ по какому-нибудь направлению 1 назывюот предел огно!пепия 42 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРНН ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СР>ДЫ Ваь г норвыль п, через точку М' пересечения ее со смежной поверхностью уровня — нормаль и', через точку Л' пересечения этой нормзли со следующей поверхностью уровня — нормаль и" и т. д. В прелеле получим кривую ЕЕ, нормальную ко всем поверхностям уровня в ~очках их пересечения с нею. Зная закон изменения скалярной величины влоль такого рода линии, тем самым по формуле (б) определим и общую картину изменения рассматриваемой величины в нрострьнс~зе.
В существовании этих линий лгаксихгалаиоао изменения заланной скалярной величины нзряду с нормальнымн к ним поверхностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее упоминалось. ' Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения а~нагорного поля. В этом случае задачз ослвкняется наличием изменяемости векторов поля как по величине, так и по направлению. Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных в точках пространства„поступим так. В данный момент времени, если поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем через выбранную точку М (рис. 2) соогзетствующий ей вектор поля н, отложим ндоль положительного направления этого вектора малый отрезок ММ', затем в тот же момент времени, если поле не стационарно, проведем через точку Л' соответствую- а' щий ей вектор н', точно тнк же отметим вектор н" И и в точке Л", расположенАг ной на направлении век- тора н', и т.
д. Если И взять точкиМ М' М ... достаточно блнзкимн друг Рнс. 2. к другу, то указанным путем можно прочертить в просгрансгзе линию, обладающую тем свойством, что в гигждой ее точке вектор лола направлен по касательной к ней. Такая линия называется зеклйорнод линией полк (вспоьшнть например, силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых направлен вектор напряжения поля). Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь одну векторную линию; исключением являются так называемые особые т Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных е данному семейству линий, верна знть прн выполнении некоторых условий.
По атому поводу см., например, Л. Г. Л ой ценский н Д. И. Лурье, Йурс теоретической механики, ч. 11, 1940, нзд. 3, стр. 104. мгьл од$юпоцног!и по!и! % 7! !ловки поля, поля через которые могут проходи!ь несколько и дал!с бесчисленное множество векторных линия. Так, например, из „гочечного зар за яда" образующего электростатическое поле, выходит бесчисленное множество силовых линий поля. Легко напксать дифференциальные уравнения векторных линия поли вектора а(х,у, л; ф Обозначим через чг направленныя по касательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме голько что указанное свойство совпадения по направлению вектора поля с касагельнок к век!орной линии в данной гочке! в)(йг= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
