Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Здесь и далее символ „Р," обозначает векторное умно!кение, точка обозньчает скалярное умножение. В декартовоя сисгеме координат векторное равенство (6) зкви. валентно системе дифференциальпь!х уравнений, определяющих семейство векторных линий: Зх ьу м з» а.(х,у,а, г) а,,(х,у, а, В а гх,у, а, г) ' при решении втой системы двух уравнения первого порядка время Г следует рассматривать как заданный фиксированный парах!ел!р. Проинтегрировав систему (7), получим конечное уравнение семейства векторных линий с двумя произвольными постоянными, которые мо!кно найти нз условия прохождения векгорной линии через заданную точку пространства Проведем в данный момент в части пространства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- Рнс.
3. мкнутыя контур С (рис. 3) и через все точки этого контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная поверхностью а, образованной векторными линиями, называется векторной щрубкой. Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, векторных трубок значительно упорядочивает и облегчает, кзк мы далее увидим, представления о характере изменчивости векторов, образующих данное поле.
% 7. Мера однородности поля в даыном ывпрввлеыии н в данной точке. !Градиент скалярного поля и дифференциальный теыэор векторного поля как меры неодноролности поля Подобно тому как количественноя мероя изменчивости (быстроты изменения) функции одной переменноя при данном значении ее аргу~сыта является производная этой функции по аргументу, точно так 'хе н в случае скзлярного в!и векторного поля за меру неоднородности поля ыли изменчивости величин поля в данном направленни элвьп:нты тсовии поля. кинематика спады (гл. г в просграисчве можно принять производные этих величин по выбранному направлению, причем в общем случае пространственного Распределения производные эти зависят от направления дифференпирования.
Таким образом, за меру неоднородности полн по направлению ! можно принять величины: йр — и й! т' где первая представляег ранее определенную формулой (4) производную ог скалярной функции ~р(Л) по направлению 1, вторая определяется аналогичным образом как предел а (М вЂ” я (М) йа л;-ьм ММг подчеркнем, что в обеих частях равенсгза (3) в числителе сгоиг векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); прн этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос, йа образуют ли величины — и — соответственно, скалярные и векд1 йг ' торные поля. Через кавгдую точку пространства можно провести бесчисленное множество направлений„ а, следовательно, каждой точке пространства будет соответствовать бесчисленное множесгво значений производных скалярной и векторной функций по направлению.
Отсюда заключаем, йч йа что скаляр — н вектор — не образуют полей так как ьгежду их дг йг ю значениями и точками прострз истаа отсутствует взаимно-однозначное соответстяие; можно сказать, что эти производные являются функциями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются„н направления (вектора 1). Поставим вопрос о разыскании такой образующей лоле однозначной функции точек лросглранегвва, чтобы рассматриваемые производные выражались через нее н орт 1, определяющий направление дифференцирования.
С физической стороны разыскивается мера неоднородности паля в данной точке, не зависящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через нее и орт выбранного направления. В случае скалярного полн такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою прн одном взгляде ия формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный по величине производной скалярной функции по нацравленвю внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и нзправленный по внешней нормали, Этот вектор называется зрадыентом скалярной функции н обозначаегся символом ятад и„ .тогда, по определению, ятад а = — п йч йи У мы а о4вогодноств поля т фор„щуле (б) эквивалентна сг!едуюшев (рис.
4): — В =! дтад о ! сов (1, п) = (втаб о)г — — 1 ° втаб ~. дв йг (! О) (втаб и) дг дт (етад в), = —, (Осадд и), = —, (11) так как частные производные о во к, у, е являются ни чем иным, как производными от и по направлениям осей координат Далее, по обычным формулам векторпои алгебры найдем величину градиента и косинусы углов, образовав!ых вектором градиента илв, что все равно, внсвсвеи нормаль!о к поверхности уровня с осями координат: сов (и х) дт ду соа(п, у) = — —. (1д) соа(п, е)— градиент скалярноп функции представляет меру неоднородности , „,ы вгов функции в данной точке. Мера неоднородности поля в данном направлении в производная скалярной фунщии ло зтолгу направлению — является вроекВией градиента на рассматривае- 1 мое направление. Иа формулы (10) сразу выте П каап выражения проекций градиента на оси декартовых координат: эламанты таовин по~ш.
кинематика овады (гл. ! Пользуясь (11) и известным выражением скалярного произведения, можем переписать (10) еще так: — =Š— +Š— +Е— дт дт дт за дг а дх в ду " де ' (14) где, по определению единичного вектора 1, Е„=сов(1, х), Е„=сов(1, у), Е,=соя(1, е). (15) Ив формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бес- численное ьшожество производных по всевозможным направлеешм в данной точке поля однозначно вырагкается через совокупность значений трех величин —, о- и — в этой точке.
Само собой разудт дт дт дх' ду де меется, что совершенно безразлично называть ли мерой неоднородаа ности поля я данной точке вектор агади или эквивалентную ему совокупность а+еа величин д-, оч —, —. Несколько сложнее решается аналогичный вопрос о лере неоднородности аекторноао поля в данной точке. и' Пусть в данный момент времени задано поле вектора а в функции декартовых М координат, т.
е. вектор-функция а (х,у„е). Приращение вектора а при каком-то бесконечно малом изменении координаг точки Л (х, у, е) найдем по формуле полного дифференциала: да = — 0х+ — гЕу+ — гЬ. да да Фа дх ду де (16) Рис. 5 или в проекциях а'аа дŠŠ— -(-Е =-~- да„ да дх е ду дав дан — +Š— + 'Ф1 (18) Если точка ЕИ (х, у, а) переместилась в смежное положение (рис.
5) М'(к+ох, у+ду, ех1-ое) по направлению ! на расстояние гЕЕ, то дх=гЕЕ ° соя(1, х), ду=дЕ ° сов(1,у), гул =гЕЕ:соз(1, х) и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано так: — — +Š— +Š—, да да да да дг а дх Вду еде' (17) маял одноводносги ноля Оразютая (19) с (16), видим, что, в отлична от скалярного поля, дт гд .де мерой неодноролностн служит совокупность гпрех величин —, дх ' д.у д ' мерой неоднородности в алиной точке векторного поля является совокупность девяти величин: да . дам ду ' дг дат дае ду ' дг да, даг ду ' дг да„ дх дал дх да Эх " (19) Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей, а в своей совокупности эти девять величин определяют одну физическую величину — лгеру неоднородности зеиторного поля в данной точке.
Напомним,' что, вообще, всякая совокупность девяти величин ?ыл, Т „..., линейно связывающая по формулам: а =ь т +ьт„+ьт (91) а= пт. Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем простой првем для их запоминания: составляя проекцию н1 некоторую ось произведения вектора и тензорз, умножаем проекции вектора на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторым видексом, соответствующим оси проектирования произведения.
Операция умножения вектора на тензор пе обладает, вообще "оворя, свойством переместнтельности, т. е. аТ р- Та. Обозначим ййй,йййй,йй'"Р -м., вапрнмет Н. Б. Кочня, Вектовное исчисление н начала тензор""го нсчнслення. ОЙТЙ, ГТТИ, 1994, стр. 304. ст ан Вектор называется фиэическнм, если его величина и направление з прора"севе не зависят от выбора системы коордннат; прн атом отдельные его явна. конечно, завнсят от выбора направления осей проектнрозавия. проекции физического а вектора Ь с проекциями физического же вектора а, определяет физическую величину„нааываемую гпензоролг лню?лис ранга; прн атом правые частп системы уравнений (20) соответствуют операции умножения зелчпора на тензор, символически представляемой так: злямянты теОРии поте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
