Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем Ьт, т. е. не что иное, как поверхностный интеграл ~ п<упа. лч Справа будем иметь объемный интеграл ! атаб рЖ, который в силу милости объема Ат будет равен ятад в с1т = яга4 о Ьт+ е лт, Ьч причем е-+ О, когда Ьтч О. Отсюда сразу получим (опуская ненужный уже сейчас индекс штрих) искомое интегральное представле- ы=~шсм нне градиента р игад<~= Иш — ~ пвдч (69) ьч.+о а~ 4а и путем, совершенно аналогичным примененному для операции дивергенцни, выведем вторую интегральную формулу: ! пай~= ! втаб мс1т. (70) а Аналогичного типа формулы можно установить и для операции вихря.
Рассмотрим в поле квази- твердого вращения жидкости с аз Угловой скоростью ю, равной по предыдущему (формула (51) $10! 1 2 ~о! Ч, малый цилиндр с осью, параллельной оси вращения, радиусом г, высотой Ь, объемом и поверхностью, соответственно рзв"ымн пт и да (рис. 12), Составим поверхностный интеграл от 7О ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (гл. г Г.ХУ = ~( ХУ)й, ь (ЬЬЮ так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно сократятся. Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор пр',У параллелен вектору ю и равен по величине 1/=ыг, будем иметь с точностью до малых высших порядков: ИКУдо =юг ) йдв=2ягтаю=го1Уат.
ье (бою Отсюда следует точное равенство: го1 У = Иш — ~ и)~У до, 1 ( ь,.+0ач Ь (71) обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и произвольный закон стягивания поверхности Ьо, окрузгающей элементарный объем Лт, к данной точке пространства, получим следующее интегральное определение вихря вектора: го1а= йге — ~ ПХадю 1 (72) ь ьат ° Ь Польауясь этим определением, легко получить выражение вихра в дехарлиыых координатах. Для этого воспользуемся тем л(е приемом, что и для выраькения днвергенции в декартовых координатах. Применим формулу (72) к координатному параллелепипеду с малыми сторонами ох, Ау, ьье (рнс. 13).
Тогда, проводя непосредственное ингегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу малости граней: ~ и Хада ~ — (1 Х а)+1Х(а+д йх)1йУ1(е+ ьа + ~ — (~ Х а)+ 3 Х (а+ д йу)) йх де + +~ — (к'(а)+1с)((а + а (1 )~йхау+б. м. Еыс. пор. = =ф х,' — „')+()хф)+(йх",—,)1 ануй +".
векгорного произведения орта внешней нормали п к поверхности этого цилиндра на вектор вращательной скорости У, Тогда, выбирая, как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра полоску, ограниченную двумя образующими на расстоянии б(в друг от друга, а в плоскостях оснований — симметричные элементы, убедимся, что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему: ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ Отсюда по формуле (72), переходя к пределу„будем иметь го1 а =1;м, — -4-1 Х вЂ” + й)( †.
да да да дл ду д Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования векторного произведении, найдем: да, дау (го1а) = — — —" дУ да' (го1а) = — — — ' дав да У= дх дл да да (го1 а), = — — —. да ду (72') ) цХИ~Ь= ) ТХаат. (74) Ряс. 13 Интегральные формулы (66), (70) и (73) будут играть важную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости и газа, а также и в некоторых кннематических вопросах. 5 1а. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки йак было ранее (й 10) уже выяснено, элементарный объем жидкости или газа, совершая свое поступательное движение в пространстве, непрерывно прн этом деформируется и поворачивается, как одно целое, ~~круг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем скоРости' Угловая скорость мгновенного поворота равна половине величины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих формул при а = и, аз=о, а,=та. Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе интегрзльных формул для дивергенции и градиента, из равенства (72) получим ~ п)(алЬ=~ го1абт. (73) а Здесь, согласно правилу (61), вновь оправдывается символический прием для запоминания интегральных формул: орт и в по- у верхностном интеграле заменяется оператором т в объемном ЭЛЕЬГЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИИЕМАГИКА СРЕДЫ !Гл. 1 совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жилкости, введем в рассмотрение векторные линии поля угловых скоростей вращения ю или, что все равно, векторные линии поля вихря скорости го1Т'=йю.
Эти векторные линии назовем вихревыми лилиями или вихревыми нитями. Напомним общий способ построения векторных линий, особо поучительный в данном конкретном случае. Рассмотрим в данный момент Г вблизи точки М (рис. 14) вращающийся элементарный объем 3Т и отметим вектор угловой скорости ю его вращения.
Переместившиа вдоль этого вектора на малый отрезок ММ', ° проведем в тот же момент времени 1 вектор ю' угловой скорости вращении элементарного объема в точке М', затем вектор угловой скорости ю" в точке М" и т. д. Полигон ММ'Ме... в пределе образует вихревую линию. Элементарные жидкие объемы, расположенные вдоль линии, вращаются вокруг касательных к ней в соответствующих точ- М" ках. Вихревая линия играет роль кри- А волинейной оси вращения этих объемов.
М Представим себе элементарные объемы жидкости как „бусинки" с заранее М проделанными в них отверстиями для продевания нитки. Непрерывность поля скоростей в жидкости приводит к таРис. 14. кой ориентации „бусинок", что натка, продетая в одну „бусинку", попадет точно в отверстие следую!Пей бусинки" и т. д. Нитка, проходящая через отверстия „бусинок" (рис, 14, справа), дает представление о вихревой нити или линии. Конечно„ образ твердых „бусинок" отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидкости и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов.
Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вихревая линия является огибающей лановеняых осей вращения. Расположение этих мгновенных осей во врзщающихся жидких объемах все время изменяется.
Вместе с тем изменяется и конфигурация самих объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение. 1 Вектор ю= — го! ч! представляет игновенную угловую скорость некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы при мгновенном затвердеваиии рассматриваемого жидкого элементарного объема. Можно дать еГце другую интерпретацию вектора угловой скорости жидкого объема.
В любой точке деформационного скоростного поля Ф 12) ВихРввыв линии и ТРРВки жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно перпендикулярные осн (главные оси тензора скоростей деформаций), скорости скошенна которых равны нулю. Такой, для разных точек пространства различный „жесткий скелет" будет в данный момент ~ремени иметь угловую скорость, как раз равную' ю = ~- го1 7 =- — Я.
1 1 2 Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным приемом получим вихревые трубки конечного размера. Вихревые трубки обладают общим свойством, выражаемым второй теоремой Гельмгольца: попок вихря вектора через сечение вихревой трубки одинаков для всех сечений трубки. Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную вихревую трубку (рнс. 16) в поле любого вектора а и отсечен от и' п и-П р Рнс. 15. нее двумя произвольными сечениями а, и вя некоторый конечный объем т; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную контурами этих сечений, обозначим через свох.
Тогда, применяя к выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66), получим для вектора соса: (з„.,р.+(з..з„з.~-(( х ор обое т з,р„„„,„,з, „,,р„,, огиз ТТИ, 1941, стр. 13. 74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (гл. 1 ЗФ~ где и' — внешняя нормаль к поверхности интегрирования; заметим, что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных сечения вихревой трубки в направлении изнугпри объема наружу, третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать, что интеграл в правой части тождественно равен нулю, так как ) (го$а)„ба = ~ (го1а)„бо, и а (76) что н доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную для любого векторного поля.
Полагая: а=тг, го1а=гогЧ=А), — го1у=ег, 1 1 2 получим гидродинамическую форму равенства (76): Я„бо = сопш' или ~ в„бо = сопзц (76) Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамичсекап формулировка второй теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь сечение вихревой трубки одинаков в данный люмент времени длл всех сечений трубки. 7(оказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям трубки„и, в силу малости площадей этих сечений бо, н баа, написа тес а,ба =мгбоа или ибо= сопзс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
