Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 12
Текст из файла (страница 12)
книямьтика сгяды (~л. г да дач 7У = —,В дл ' ее дл да,„ дае 7У „-, О„в= —, дат дач В = —, В де * "в де (22) будем иметь вместо (17) и (18), согласно (20) и (2!): дв — =1О. вг (23) Последняя формула -огчетлизо показывает, что, независимо ог выбора той или другой системы координат, физическая величина— произзолпая физического вектора по определенному направлению в пространстве — вырюкается как произведение физического вектора— орта выбранного направления — на физический же тензор — меру неодноргуаности поля в данной точке пространства. Дги облегчения запоминания формул настоящего и следующих параграфов можно предложить простой символический прием. Обо- По аналогии градиент можно быео бы яьзва~ь дьвьуеренппельныл еегппоролг евплпрного поля.
индексы компонентов переставлены, например„Т„= Тв „Т. = Т -. и т. д, Тензор еамоеопряженныа, для которого Т'= Т и, следовательно, Т „= Т, Т = Т, Т,„= Твм называется епмлгетричныи, тзк как в таблице такого тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой. Операция умножения тензора на вектор зквиззлеитна операции (20) или (21) умножения вектора на сопряженный тензор, т. е.
Тн =иТ'. Если теизор симметричен, то Тв=аТ, и формулы проекций произведения Тв совпадают с (20). В дальнейшем, при изложении механики ькидкости и газа, тьк же как зто имеет место и в механике твердого и упругого тела, придется неоднократно иметь дело с примерами различных тензаро. Подчеркнем важный для дальиейьпего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19) и зависят от выбора направления осей координат в пространстве„где задано поле, сам тензор от згого зависеть не должен, так как он характеризует определенное физическое свойство конкретного поля величиьь Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по координатам, дифференлиальным главвором векторного поля.1 Тогда, согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчивости) векторного агля слгжат дифференциальный гвенвор воля.
Обознач.ж дифференциальный тензор поля буквой О и, полагая мзРА ОднОРОдности поля значим через 7 некоторый условный вектор с проекциями: 'Г' 7э=З ' 7'= з ' д д д (24) представляющий символически оператор дифференцирования. 'Тогда градиент скалярной функции 7 можно рассматривать условно, как произведение вектора-оператора 7 на скаляр 7: йтад7=77, (2б) и фоРмУлы (11), пРинимаа эо вннмипю (24), писать пРосто по пРавилам проектирования произведения вектора на скаляр: (вагаб 7), = Ч 7 = — и др. дт При этом равенство (10) по (23) можно представить в виде — „'=177 (26) и рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как символическое произведение — =1 ° Ч л1 (21) вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, векторную или тенэорную, эа знак символического дифференцирования так: (28) Принимая укаэанную символику, можно дифференциальный тензор Х) изобразить как дладное произведение двух векторов: символического 7 и днфференцируеиого а: В =7а, (29) ПОННМая пОд Втой „диадОй' тензор, соетавляющие котОРого легко Опрелеляются по простому правилу: две даэ (7а),=~.а.— д, ())ээ-~.~ю- д да„ дх ~звенство (23), сообразно второму равенству (28) и (29), может быть еще написано так: ла = (1 ° 7) а =1(7а).
(30) Ф за. 1з4ь л г. Лоа «ь ЭЛВИИНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ТЛ. 1 — = (1 т) а = (1 'Р + 1РУР+ 1,т',) а = й 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии тока и траектории В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного числа точек механика сплоппюй среды имеет свои специфические приемы задания двигкения. Ближе всего к обычным способам задания движения подходит способ, связанный с именем Лаграюка. Пусть некоторая частица жидкости или газа М(х, у, «) в момент вРемени 1=1о занимала положение Мо(хо, Уо, «о), тогда ее кооРдинаты х„у, г в любой момент 1 можно рассматривать как функции От вРеменн 1 н паРаметРов хо, У„, «,„опРеделающих выбоР данной Индивидуальной частицы М.
Более обще, вместо декартовых координат точки М можно рассматривать любые ее криволинейные коораннаты а, Ь, с„свазаигые с хо, Уо, «о соотношениамн: хо=хо(а, Ь, с), уо=уо(и, Ь, с), «о=«о(п, Ь, с). Полоокенне любой частицы М жидкости в момент времени 1 загаегся выражениями еедекартовыхьоординат череа величины 1, а, Ь, с, называемые аеременныии Лагранжа: х=Л(Г Ао уо «~)=вг(Г, а, Ь, с), У=А(1; хо, Уо, «,) =рв(й а, Ь, с) «=1в(11 Ао уо «о)=рв(1 и Ь с)- (31) Задавая определенные значения параметрам а, д, с, получим обычное, принятые в кинематике точки уравнения движения данной индивидуальной частицы з<идкостн, откуда уже нетрудно найти уравнения раекторин частицы и выражения проекции вектора ее скорости 7 от' ~ ускорения т' =- —: ЛГ дх ~Ь~ 1/ = и= — = —.
ЛГ дг ди дох две $'~ = — = — =— иго дд э По д'Рв Р Щ дго ' (32) дг дто р =ю= — ==, дг дг Формулы (17) и (18) можно легко запомнить при помощи (30) и правила раскрытия скалярного произведения: и= и(х, у, »; г), о=о(х, у. е; й), те =ю(х, у, »; г). (33) В методе Лагра«пка величины х, у, е явля«отея переменными координатаии одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты точек пространства, мимо которых проходят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера, которым, по преимуществу, и будем пользоваться. Векторные линии поля скоростей, т.
е. такие линии, в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на поверхность воды в канале насыпан легкий и хоро«по видимый порошок, частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и не ото«зван от часпщ воды.
Тогда на фотографии, произведенной с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка нзобразнтся в виде небольшой черточки, а черточки эти сольются в отчетливо шщимые линии, которые и будут линиями тока в момент производства снимка По самому определению, липки тока поли ле совпадает е траекторией частицы, представляющей пространственный след движу«цейся во времени частипы. Составим дифференциальные уравнении линии тона. По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь следую'цу««систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений: ьх зу 3» и (х, у, »", г) о (х, у, »; г) п«(х, у, »; В ' (34) причем Разыскиваются конечные связи между переменными х, у, е, а время Г играет роль фиксированного параметра; величины же йх, прелставляют проекции произвольного бесконечно малого о~р~зка йг, направлеююго вдоль линии тока. В противоположность этому, проекпни «жправленного элемента йг траектории йх, йу, йх представляют проекции перемещения частицы й 8) задание движвн«и сплошной овады 31 Производнук«по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа д«ж и ж нвдивидуально движущейся частицы жидкости, называют ипдиви,>уалвпай или еще субстапииопалвпай (относящейся к определенной частице субстанции).
другой, получивший более широкое применение прием задания имения среды, преллоз«енный Зйлерол«, заключается в выражении ,и«ростей частиц в функции от времени и координат х, у, » точек „Ространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин «х, у, е называют переменными Эйлера; движение среды, по Эйлеру, задается тзк: Ы ЭЛЬМВНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРВДЫ [гл. 1 жидкости за время ИТ, т. ес дх = ад( Ыу од1, с'и= тод); отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений траектории: и(х, у, в, Г) о(х, у, т, Г) гв(х„у, в, "Г) — Ф, (Зб) и траектории ММ'МеМ'"..., проходящих через одну и ту же точку М.
для построения линни тока фиксируем время и проводим вектор тг скорости точки М, откладываем на нем чалый отрезок ММо через точку М, проводим вектор скорости Чм соответствующий причем в этой системе уравнений координаты х, у и а являются неизвестными функциями одного аргумента †време. Сравнивая уравнения (34) н (33), видим, что они принципиально отличаются друг от друга, а следовательно„ линни тока и траекторий не совпадают. Исключение представляет случай стационарното поля, г. е.
Случай, когда время Т не входит явно в задание Скоростного поля (33). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (Зб), если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени а7, не входящего явно при стационарном движении в остальные уравнения системы (33). Отсюда следует, что ири стационарном движении, т.
е, движении со стационарным полем скоростей, линии тока совладают с траекториями. К этому результату легко придти и из геометрических соображений. На рис. 6 показаны построения линии гока ММ,МяМз.. ° ПОЛЕ УСКОРЕННЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ 53 ф 9. Поле ускорений. Разложенне ускорения частицы на локальную н конвектнвную составляющие При ла.ранжевам представлении движения (31) ускорение индивидуальной частицы легко находятся повторным дпфферею1нрованием па времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т.
е. лоле ускорений; для этого надо объединять лагранжев н эйлеров методы, иными словамн, с одной стороны, следить за индивидуальной жидкой частицей, с другой, принять во внимание наличке заданнога поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве, в котором движется точка. Рассмотрим иамененне ~1Ч скорости данной индивидуальной часпщы М за время йг, илв, как иногда для краткости говорят, индисидтильнас изменение скорости чистили. Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно рассматриватьь «ак состоящее из лвух: 1) л>кильного (местного) наменения, происходящего нз-за изменения скорости в данной точке вследствие нестацнонарности поля н равного дЧ дг (36) " 2) консектисного, 'являющегося следствием неоднородности поля коростей, в котором вдоль по траектория переместилась за время иг р ссматряваемая частица; это изменение, если обозначить через дз Рассм тому же моменту времени, на векторе Ч, откладываем отрезок М,Мв н скорость Чз точки М н т.
д., причем все это делаем в один н От же фиксированный момент времени. Прн построении траектории вновь отмечаем скорость точки М и, пользуясь произволом в выборе ннтервала времени, откладываем на ней отрезок ММ'=ММ„по прошествии времени ьЩ если поле не стационарно, скорость Ч' точки М', несмотря на совпадение точки М' с точкой М„уже не будет равна скорости Ч„точки Мь в момент й Следовательно, траектория отклонится ат линии тока, н кривые разойдутся в пространстве. Если же поле сгационарно, то, несмотря на то, что время изменилось на йг„скорости совпадающих точек М' н М, будут одинаковы, точки Мя и М", так же как нх скорости, совпадут, и траектория ничем не будет отличаться от линки тока.
Векторная трубка, обрааованная линиями тока, называется трубкой тока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц, образуквцнх в некогорый момент аамкнутый контур, называется струей. Ич предыдущего следует, что п))н стационарном движенин трубка тока и струя, выходящие нз одного и того же замкнутого контура, совпадают. элементы твогии поля. кинематика спады [гл. г В проекциях на осн декартовых координат будем имеггп Ли ди ди ди ди Г = — = — +и — +и — +ти —, 1 дг дг дх ду дх ' до до дп до до Р = — =- — +и — +о — +а~ —, де дг дх ду дх ' Лю дге дю дге дю г = — =.— +и +о — +тв —. ~ ЛГ дГ Ох ду да ' (40) Ли до Лге Производные тв|а — — — вычисленные вдоль траектории йс' дт' йе' индивидуальной часгнцы среды (субстанцни) по формулам (40), назы- вают, как уже ранее упоминалось, индивидуальнылги, или, иногда, субсгпанционаланылги производными, Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32) я (33), вычисляя полные производные по времени от проекций ско- рости: ди ди ди ах ди йу ди дх = — = — + — ° — -~- —.— + — ° — = де де дх ЛГ ду ЛГ дх йе ди ди ди ди = — +и — + о — +а~ — н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
