Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(76') Отсюда следует, что в меньшем по ллоисади сечении трубки угловая скорость врагиения больше, и наоборот. Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихревой трубки позволяет принять поток вихря за меру интенсивности Обозначим через л нормаль к поверхностям сечений ог и оя, направленную в сторону вектора вихря, т. е.
внутрь объема для сечения о, и наружу †д та; тогда найдем 13) интенсиВность ВихРВВой тРУВки и циРкУлЯциЯ вихревой трубки и положить 1= ~ (го!а)„дх В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки понияают поток вихря скорости 1= ~ (го!У)„сЪ= ~ !З„де. (77) В некоторых курсах под интенсивностью вихревой трубки скоростного поля жидкости понимают поток вектора угловой скорое~В т Важным следствием доказанной теоремы Гельмгольца является невозможность окон- Рис. 16. ~виня вихревой трубки в жидкости, так как чри уменьшении площади сечения трубки до нуля угловая скорость превратилась бы в бесконечность (рис. 16).
Как показывают опыты, вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо заканчиваются на стенках сосудов или на свободных поверхностях (рис. 17). Подчеркнем еще раз, что вторая теорема Гельмгольца говорит об одинаковости потока вихря вдоль трубки в данный момент времени; о том, будет ли интенсивность Рис. !7. трубки постоянной во времени или нет, можно судить лишь на основа- 'ВВ Рассмотрения динамического процесса движения трубки, характера !Риложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др. 1 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через цирку!Вцню вектора по контуру, охватывающему трубку.
Теорема об изменении циркуляции скорости во времени ~епос Интенсивность трубки так же как н вихрь скорости не поддается У У посредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить :ко о . прости частиц жидкости. Естественно Встает вопрос об установле- !ВИ св , " св"зи между Интенсивностью вихревой трубки н распределеннеи жоростей в жидкости, уб ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ 1гл. 1 Для решения этого вопроса введем характерную для поля скоростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии; понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных понятий современной гидромеханики. Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру.
Примем обозначение (рис. 18): Гли(а) =-~а*юг= ~ асов(и, Нг)дв= в и = ~ а, дв = ~ (а . ах+ а, ду + а, ас). л л (78) Рис, 18. рассмотрим некоторый себя не пересекающий аамкнутый контур С (рис. 11ь) и проведем через него разомкнутую поверхность а, опирающуюся на этот контур. Будем различать у поверхности е две стороны, например, выпуклую и вогнутую.
Одну из них, нз рисунке выпуклую, выберем произвольно за положительну|о и условимся в ту же сторону откладывать и положительное направление нормали к поверхности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому в этом случае контуру будет обозначаться так; Ь(а)=1~а ° дт=~аедз И т. П. Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользоваться в теоретической механике при вычислении работы, равной циркуляции силы. В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе положительного направления интегрирования вдоль контура.
Для этого щ интенсивность ВихРВВОЙ тРМБки и циэкуляпия п вормэли к ней, примем за положительное направление обхода по оитуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль положительной нормали, при обходе контура поверхность остается слева. При рассмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно цать более простое правило: положительное направление обхода плоского контура совпадает с направлением вращения головки и' винта, когда сам винт перемещается в направлении положительной нормали к плоскости контура. Чтобы установить свазь между интенсивностью вихревой трубки н поле вихря некоторого вектора н циркуля- ц' цней этого вектора по контуру, возьмем сначала плоский малый контур Ьс (рис. 19) с площадью Ьа и построим на нем цилиндр, высота которого Ь также мала. Применяя к этому цилиндру интегральное определение вихря (72), получим: го1а= Ив — и" Ха Иа, ж-+о ч Рис. 19.
причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверх ность цилиндра. Проектируя обе части этого равенства на нормаль н к элементу Ьо, получим: (го1а)„= Ив — ~ и ° (и')( а) сЬ. 1 Р э= эата а Согласно известному свойству тройного произведения и-(и'Ха)=а ° (и Хп'), позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно "Олученное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде (го1а)в = Ив — 1'а ° (и Х и') сЬ.
ь„,.эач а Ф Поверхностный интеграл, стоящий В правой части под знаком пре- цеаа1 может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно. элкмвнты тзотии поля. кинематика СРзды 1гл. г Заметим для этого, что вектор п р',и' не равен нулю только на боко- вой поверхности цилиндра, причем для заштрихованного на рисунке элемента этой поверхности будет: (и Х и') до = (и Х и ") й де = й дг; тогда найдем (в — малая величина, стремящаяся к нулю при уменьшении й~) (го1а)в = — уа ° дг ° 8+в, 1 Г ьо откуда следует (го1 в)в Ьа = ~ а ° дг+ е аа, (80) ьо т.
е. с точностью до малых высших порааков поток еичря вектора через площадку Ьо равен циркуляции вектора вдоль контура, ограничивающего зту плои1идку. Из формулы (80) предельным переходом можно получить следующее интегральное представление проекции вихра вектора на любое направление (го1в)„= 1пп д ~ а ° дг, 1 ,„,а,,~ (81) где Ьо — некоторая малая плоская площадка„перпендикулярная к направлению п, а ЬС вЂ” окружающии ее контур. и гага -Пользуясь этим определением, легко вывести формулы проекций вихря на оси декартовых или криволинейных координат, непосредственно вычисляя контурный интеграл по сторонам координатных элементарее ных прямоугольников и переходя затем к пределу. Возьмем теперь какой-нибудь себя не пересекающий контур С конечной длины и опирающуюся на него разомкнутую поверх- а ность о (рис. 20). Разобьем поверхность о Рис.
20. на большое число малых площадок ао произвольной формы и, написав для каждой такой площадки равенство (80), просуммируем обе части этих равенств по всем площадкам. Будем иметь: чь',(го1а)„ Ьо= ~~~', ~ а ° дг+ ~ч~~~зйт, во Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, подсчитанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные $ Щ интенсивность внхгввой тэхвки и цнвктляцня 72 площадки (рис.
21), при непрерывности вектора а будут иметь одинаковую величину, но разные знаки, в зависимости от того, к какой ич площадок слагаемое относится (на рис. 21 элементарные площадки несколько раздвинуты, чтобы можно было показать противоположное направление обхода контуров вдоль общей гРаницы двУх смежных площадок). Переходя к пределу при бесконечно бал энгом числе площадок, образующих поверхность е, найдем: ) (гоги)„й = ~ в ° гГг. (82) » с Интегральное соотношение (82) показывает, что поток вихря вектора сквазь некоторую разомкну- Рнс. 21.
тую поверхность равен циркуляции вектора по контуру, ограничивающему вту поверхность. Этот результат, представляющий содержание теоремы С»вокса, позволяет сводигь определение интенсивности вихревой трубки в поле вихря скорости к вычислению циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихревую трубку (например по контуру С„ охватывающему вихревую трубку и ограничивающему поверхность е, сечения трубки на рис. 15). о» Я» Если в односвязном ' пространг г'»0~,',', о стае заданы (рис. 22) несколько изос ~г-т г г ° лированных вихревых трубок с ин,> у „~,' ' г тенсивностями у„гя, ..., т.
е. таких, что повсюду в области вне трубок С (на поверхности е вне заштрихованных площадок ан вя, аа, ...) вихрь вектора равен нулю, то циркуляция Рис. 22. вектора (в частности вектора скоро- сти) по контуру, опоясывающему рассматриваемые вихревые грубки, равна сумме интенсивностей этих ~рубок, как об этом можно непосредственно заключить из рис. 22: ~Ч. уг=г,+гя+га+ с 'Т Т. е. таком, что любой замкнутый контур, расположенный в этом про* ~Ралетве, может быть непрерывной деформацией сведен з точку (подробнее эгон будет скаэаио в начале гл. Ч). 13) ингенсианость Внхгевой тРуБки и цигкуляция Из векторного четырехугольника ММгЛ4М сразу следует Ч ~Й+ Зг+ И Ьг = йг+ (Ч + 87) дГ, нли, после простых сокращений, искомое равенство (85). Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) и (85) получим: в н — рлв(й = ( л в (7) ',- ) Ч 8Ч = Глп (Ч) (- ~ 8 — ~ = А л ==Пав(Ф)+ 2 (("а — ("л).
Предположим теперь, что кон~ур АВ замкнут, г. е. точки А и В совпадают. Тогда предыдугпая формула дает (86) Отсюда следует теорема Кельвина: производная по времени от циркуляции скорости по замкнугпому когипуру, двиакугцеиуся вместе с лсидкостью, равна циркуляции ускорении по тому аке контуру. Такая формулировка теоремы Кельвина делает ее чисто кинематической, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от характера приложенных к жидкосги сил. В динамике будут изложены важные следсгвяя этой теоремы, в частности будут выяснены условия, при выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во времени; с кннематической точки зрения важна сама связь (86) между цнркуляшимн скорости и ускорения.
Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы насгоящей главы основаны лишь на допугцении о непрерывности поля скоростей в жидкости или газе и существовании первых производных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложенные в этой главе, верны для любой сплошной средьь П з .нш.л г.лйш сьь 1 ЛАВА ц ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ й 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметричность В динамике сплошной среды, так же как и в кинематике, применяется общий прием замены значений физических величин, относя- шихся к отдельным частицам среды, непрерывным распределением этих величин в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
