Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 13
Текст из файла (страница 13)
д. де дх ду де По заданному полю скоростей (33) н формулам (40) ускорение легко вычисляется. Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального тен- зора поля скоростей, являющегося мерой неоднородности скоростного поля, обозначение й, причем таблица (матрица) составляющих тензора будет ичеть вид: ди ди ди дх' до 0 дх' дю дх ' ду' дх де дп ду' да дги дгв ду' дх дифференциал дуги траектории, будет равно: (37) или по формулам (28) для производной вектора по направлению (орт касательной к траектории, очевидно, равен яЩ: (дьг)„„,= ч(ч .У)чн — (у. р)чж. Формула полного ускорения будет: (ао)лак ~' (ля)еочэ ч Ж Г ~ + (м ЛГ дГ (30) поле тсковвннй. глзложенне яскоеения й 9) получим формулу ускорения в форме к- —,+чп, отг (зй') йг 1ь йг ту Ла яг лз ~$' — ° — = $' — = 1г1У вЂ” ° а Д р1 = 7 ° а Д м = (Ч ° 7) Ф.
Окончательно для ющнвидуальной производной от скалярной Функцнн ~р будем нметгк +м.бщб,= +('р р) й л лч дч (41) подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании конвектнвного ускорения. Локальная часть ускорении равна нулю при стацнонарности скоростного поли, конзектнвная часть равна нулю, если поле однородно. Предположим, например„ что жидкость участвует, как одно целое, в ускоренном поступательном дзнженнн, при котором скорости всех ее точек в любой момент равны межлу собой, но меняются во времени; в этом случае конвектнвное ускорение равно нулю н полное ускорение сводятся к локальному.
Предположим теперь, что в покоящейся жидкости нлн жидкости, движущеися поступательно и равномерно, т. е. и в том и другом случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают ускорения, ках это имеет, например, место прн явлениях удара тела о поверхность жидкости, при начале дриження тела в неподвижной жидкости н др. В этом случае ускорение сведется к локальному н только после того, как от действия локальных ускореннй возннкнет неоднородность поля скоростей, появятся конвектнвное ускорение.
Указанное соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит в основе теории удара. Разложенпе ускорения на локальную н конвективную части может быть обобщено н на определение индивидуальной (субстанциональной) производной от некоторой скалярной, векторной илн тензорной величины, связанной с индивпдуальныи движением лгндкой частицы. Пусть, напрнмер, ка злому положению частицы жидкости илн газа з пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая величина и (напрнмер, температура частицы, плотность), тогда совокупность значений величины и образует некоторое поле, и при двнженин жидкой частицы величина м будет изменятьса как в силу нестжионарности поля (локальное нзмененне и), так н вследствие перемещения частицы с течением времени на одного пункта поля в другой (коллективное изменение р). Полная нндивндуальная пронзволная по зременн ог величины р будет складываться из локальной производной ду'д~ н конвектнвной производной„равной (ср.
с (Зу)11 Злвмвнты геОРин пОля. КинемАтикА сРвды (гл. 1 Для любой векторной нли тензорной функции а ичи Т, связанной с движущейся индивидуальной частииед, получим: — = — +(Ч ° 7)н, да да дт дг ат дт+я р)т (42) й 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной точки. Угловая скорость и вихрь. Тенаор скоростей деформаций и его компоненты = 0+(йх) ( — 0)+(ду) (У вЂ” УО) +Я ( — 0). о='во +( — ) (х — хо)+(д ) (У Уо) +(д ) (в ло)э (43) — .«-Й)0 — ю«-(Р),0 — ы«Кф)о-*0! Подчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом нуль явлюотся постоянными величинами илн функциями только ог времени, проекции же скорости и, э, тв рассматриваемой точки М являются линейными функциями координат х — хо, у †, в — во точки М относительно точки Мо. Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным нам еще нз кинематики твердого тела полем (распрелеленнеи) скоростей в общем случае движения твердого тела: ио + «ов (в во) вс (У Уо)~ в = по-г ис(х — хо) — ии(в — во)~ те = тво+ «ои Ь Уо) мв(х хо)~ (44) нлн в векторной форме 'т' = 'то+ Ю Х (à — Го), (45) Желая научить скоростное поле движущейся жидкости в деталях, применим обычный прием математического анализа †рассмотр в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности какой-нибудь точки Мо пространства, причем координаты н все величины, определенные в втой точке, будем отмечать индексом нуль.
Разлагая проекции скорости шобой частицы М, движущейся в окрестности точки Мо, в ряд, будем иметь с точностью до малых высших порядков: ~ 1щ сковостное поле в окгестносги донной гочки 57 1 где ди'! и = — — — — ! 2 Ь ду~* (46) в Рие. 7. после чего поле скоростей (44) примет вид: 1 /ди дел 1 где дих =;+-!',— — ~( — ) — -к~ — — ~ (у — у), 1 Гд ди~ 1 /дгв дол о=по+.у( — — — ) (х "о) '~ 1, ) (е ло)' ада ду.Го ~ду дв о 1 гдм дох 1 гди дм! ю=тво+ ! — — — ) (у — уо) — — (,— — а ) (х хо) а1ду да о (47) индекс нуль у скобок, содержюцих проиаводные, введен для удобства сравнения с системой (43); это допустимо, так как скобки имеют одинаковые значения во всех точках.
Сравнивая (43) и (47), видим, что поле еиоростей в окрестности лапкой точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую равенствам (47), т. е. полю скоростей в движущемся твердом теле (условвмса называть эту часть квазиювердым движением), н 2) деФоржачиолную часть, отличающую поле скоростей двюкущейсяжид"оети или газа от движении твердого тела, так что будем иметь: и = и,.т + ид,гь о = 'вк. ь + пде1Ь Я~ = тва.т + талой (43) Система Равенств (43) заключает в себе пРоекции и,„, па.„тоа.т скорости Чк, в квазвтвердом движении, определяемые формулами (47), " "Росинки ил 1, ол,а, голоа скорости деформационного движения Чд,о, где ю(ми, мв, и,) — вектор угловой скорости тела в данный момент, о ~ивановый для всех точек тела (рис.
7), т. е. не взвисящий от нек- , ро радиуса г(х, у, а) точек тела или от вектора-радиуса го(хо,уо,го) полюса О, а Чо (ио оо тво)— скорость полюса, так же как -' го% и угловая скорость, зависящая только от времени. Пользуясь этим, составим у разности накрест взатых производных от проекпдй скорости по координатам и легко най- элвмянты тяовии поли. кнвзматикь сгвды 1гл. г вычисляемые как разности и — и„„о — о„„п« вЂ” тонг и равные: идеф = (д — ) (х — хо)+ о (У~+ду)ь (У вЂ” Уо)+ й~Д~ ) дх)ь (г-во) ои В х '«,Щ+д ) (х ~о)+(а )(У Уо)+ г (ду+дг(ь(~ п«~'Ф = 2 '1дг+дх) (л — хо)«2 Ь~+дг)о(У Уо)+1дг)(г го). (45) Отсюда следует первая георема Гельмгольца: всякое движение жидкости или газа в онреопности ненопюроа точки (полюса) можно разложить на нваз вердое движение, состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса, и де«рорл«алионное движение.
Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части, отвечающей лвнжению твердого тела, принадлежит Коши, которыя в 1815 г. впервые наел понятие о „среднем вращении жидкости в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение понятия нращения в «сория вихрей, созданной Гельнгольцем, мы сохраним общепрннягое наименование только что доказанной теоремы. Вектор ьс с проекцяяии." да«до 1 ду дг ди д«е дг дх' (50) до ди д.т ду ' дрь дрг дри др дрв др„ т.
е. к равенству нулю вихря силы. равный удвоенной угловой скорости вращения гвердого тела, следуя терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем" или „ротацией" скоростного поля квазигвердого движения и условимся обозначать симнолом го1У (иногда пользуются еще символом сщ1У). В рассмотренном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный иомент времени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет изменяться от точки к точке.
Вектор вихря (5О) иожно рассматривать как некоторую дифференциальную операцию, проиаведенную над векторной функцией У; аналогичну«о операцию можно производить над любой другой векгорвой функцией, обрааующей поле. Так, например, в общей механике условие потенциальности силового поля Р(Р , Ргп Р,) сводилось к выполнению равенств: ф 10! скОРОстнОе полн в окгвстности данной точки 59 для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Я или проекции вектора угловой скорости м можно предложить следующие простые символические формулы: 4) = го! Ч = 7 Х Ч, 1 1 1 ю=-а=- 1Ч=-Ч)(Ч ~ 2 2 ' 1 составление проекции которых по правилам векторного произведения сразу дает (50) и (46).
распределение скоростей, соответствующее квазитвердому движению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде: 1 Ч„,, — Че+ — (го! Ч)„Х (г — го), где под (го1Ч)з следует понимать значение вектора го1 Ч в точке Л4. ь1то касается вектора скорости деформационного движения Ч„,~„ то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умножения вектора на тензор (2 7, равенства (20) и (21)), можно представить в форме Ф 11дев .=- (г го) ~ (53) где Я вЂ” тенаор (опускаем для упрощения письма индекс нуль): называемый телзором скоростей дефармалии.
Аналогичной таблицей определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" Я, если под и, о, а~ понимать не проекции скорости, а малые перемещения упругой среды. Между этими двумя тензорами существует очевидное соотношение: (55) где 41 — элемент времени, в течение которого произошли малые пере- мещенив тела. Тензор скоростей деформаций таь же, как и тензор дефорлшций, сллсиатричеьь Так называется тензор, компоненты которого в таблвде симметричны относительно главной диагонали, т. е.
8 ~ — †я, 3 — с в = ~ьл, Я = Яа; из девяти компонент симметричного тензора различны только шесть. элементы теояии поля. кинематика стелы (гл. г а) для направления МоМг. 1 б) для направления МеМз: пол учнм т „=1 ° 1(д +5~,) с1г+-( -+ — ) Л.1+б . а.2-гонор. Окончательно найдем (опУскза индекс нУль) дла скоРости Т„я сношения угла хОу: Ло ои 1чя = Лг = лх + ду ие' и аналогичные формулы для других направлений. $11. Скорость объемного расширения жндкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
