Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа Ьт, содержащий внутри себя данну!о точку М просгрш!ства, и пусть масса этого объема будет Ьт; скалярная величина, определяемая предельным выражением р = — 1йп —, Ьт ь»-+о а» причем предполагается, что при стремлении объема б» к нулю точка М все время остается внутри объема, называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке ЛЛ ! Обратную величину о = — называют удельным обзалолп Плотность » движущейся нли покоящейся жидкости (газа) зависит ог различных обстоятельств: температуры, давлени!!, а также от характера движении среды.
В конечном счете плотность представляется некоторой функцией координат и времени Р=Р(с у з! 1) и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как стационарным, так н нестационарным. В' технических вопросах часто вместо плотности предпочитают иметь дело с удельном весом, определяемым как предел отношения веса малого объема к величине объема, Удельный вес равен т=- Пш д — =ял, Ьт (й) а а» 141 РАСПРЕДВЛЕНИГ ЧЪССЫ, ТЕНЗОР НАПРЯЖВННОСТН 8 где д — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным 9,81 м/секя.
И~ формул (1) и (2) следует: йт = р йс = — йъ т К Поверхности или, в частном случае плоского распределения, линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими поверхностями нли линиями, короче, изостерами (от греческого слова з1егоз, что означает плотный). Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измерял в технических единицах кг сеня/мл, удельный вес — в кз/мз. Приводим несколько наиболее употрсбительныт средних величин и костей н удельных вссов жидкостей н газов. Чаблнца 1 Удельный вес жидкостей Таблица й Плотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст.
Прн оцсвочвых расчетат можно принимать для воздуха значение плотлостп прн 1бьС р = 0„125 = с/з кг ° сект/мл, лла воды прн той же температуре л = 102 кс ° сект/мй ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. П Таблица 3 Удельные веса некоторых газов при 0'С и 760 мм рт. ст. ! Название газа 7 кг)мэ г)мэ Название газа Кнслорол .. Водород Азот . Воздух . Перегретый пар 1,43 0,090 1,25 1,29 0,803 0,717 1,25 1,93 0,179 Метан..... Окись углерода Углекяслый гаэ Гелий так, нвпрнмер, для водорода Нэ имеем М= 2 ги, следовательно, 7 = 2: 224= = 009 Аггяэ, лля кислорода О будет М = 32 кг, следовательно, 7 = 32: 224= = 1,43 ля!яэ я т. л. 77лотность воды, так же как н других капельных жидкостей, слабо зависит от твмпературы и почти не зависит огп дивлсния, так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости меняется сравнительно мало.
Так, например, относительное изменение объема воды при увели- цнии давления на одну атмосферу н при сохранении температуры несколько менее 0,0000б, глицерина в 0,000026, керосина— 0,000077, спирта — 0,00011. Наоборот, плотность газов сально меняется с давлением и температурой. Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при данной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению, а по закону Гей-Люссака при данном давлении плотность газа растет пропорционально его абсолютной температуре.
Силы, приложенные к частицам жидкости нли газа, можно разбить на два класса: 1) массовые или объемные силы и 2) поверхностные силы. К первому классу относятся силы, приложенные ко всем частицам среды, заполняющим некоторый обьем, как, например, силы веса, тяготения, электростатического притяжения, а также, в извес гном условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу — силы, непосредственно действующие лишь на боковую поверхность выделенного жидкого объема, как, например, давленйе твердого тела на обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др. Согласно закону Авогадро, кялограммолекулы всех газов при одинаковых условиях (лаелееис, температура) эаннмзют олин и тот же объем, иными словами, каков бы нн был гээ с молекулярным весом М кю его удельный эес т Аг/мэ равен отношению молекулярного веса к объему кнлограммолекулы,одинаковому для Всех газов япрй СРС и760 мм рт. ст.
разному 22,4 мэ„ т. е. М 1 = — кг/мэ; 22,4 в 14) РАспРеделение МАссы. тензОР БАпРяженнОсти 88 Массовые силы будем задавать вектором Р интексивноети, или плотности ик распределения, который можно определять как предел Агг 1 . АГг Р= 11ш — = — 1пп— (4) Аги.+6 дт ь ьг.+о йрг р= 1пп —, ь (б) где ар' — главный вектор снл, приложенных к некоторой площадке Ьа.
Вектор поверхностной силы, приложенной к плогдадке ага в данной точке просгранства, равен р ае, т. е. произведению вектора напряженна на величину элементарной площадки. Отметим основное различие между векгорами р и р: в то время как вектор Г является однозначной векторной функцией точек проетранегпва и времени, т.
е. образует векторное поле., вектор р принимаег в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в завиеилюспги от ориентировки плагцадки, к которой приложено напряжение. Можно сказагь, что напряжение представляег функпию двух векторов: вектора-радиуса г точки и орта нормали и к площадке в выбранной точке.
Возьмем в точке М сплошной среды площадку ага, ориентация которой в пространстве определяется ортом п нормали к площадке (рис. 24). Откинем мы- Рггс. 24. сленно часть жидкости с положительной стороны площадки, куда направлен орт п, и заменим действие откшгутой части жидкости на площадку юЬ некоторой 'юверхностной силой р„ага„где значок и отмечает, что сила приложена к площадке с ортом нормали и. Если бы, наоборог, была откинута часть жидкости с отрицательной стороны, то эквивалент"ая действию откинутой жидкости сила, приложенная к площадке, была бы, согласно закону действия и противодействия, равна — р„йе. Вектор напряжения р„, как уже упоминалось, зависит от ориентаггян площадки в данной точке й4. Попытаемся определить такую велики ели"ику, которая были бм однозначной функцией положений отношения главного вектора ЬГ массовых снл, приложенных к частицам объема бт, к массе этого объема Ьт.
Тогда массовая сила, приложенная к элеменгу обьема йт в данной точке, будет равна ррйт. В случае, например, силы веса плотностью распределения массовых сил будет служить вектор ускорения силы тяжести и. Поверхностные силы, аналогично, будут задаваться плотностью своего распределения или напряжением 86 ОснОВные уяавневия двнжения н Равновесия 1гл. н точки М, т. е. не зависела бы от ориентировки площадки, и вместе с >пел служила бы длн определении нипрнжения р„в зависимости от заданного орта п площадки. Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале й 7 Вре- де ла дыдутцей гланы. Скаляр — н вектор — зависели не только ог поло- дг лг жения точки в пространстве, где оня вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения Орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля.
Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно Векторное и тензорное поля. Докажем, что и нипряженил можно выразили как произведении орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию пгочнс пространства. Рассмотрим вырезанный в среде элементарный'тетраэдр МАВС 1рис. 25), с вершиной в данной точке М, основанием — треугольником АВС, образованным пересечением наклонной плоскости тремя координатными плоскостями и имеющим площадь до„, и боковыми гранями в координатных плоскостях с плошадями ~ до, дов, Ион в 14) уаспуздзлвние массы. гзнзоу ньпивквнносги 87 Значок при элементарных плопуздках, так же как и при напряжениях, приложенных к ним, обозначает ось, перпендикулярную площадке.
РассматРивая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е. состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение движения ценгра тялгести этой системы частиц, общая масса которых пусть равна аггп; будем иметь Ф,г(«у=Где+р 0а„— р гЬ вЂ” р, пгау — р,г(а„(6) ра г(а„= р г(аП+ ру ага„+ р, г(а~ Замечая, что: е(а, = — да«соя(п, х)=п гЬ„, ~ гЬу=г(часов(п,у)= пугЬ„, ~ да =- гЬп соя(п, я) = гг„сЬ«, г (6) получим: Ра ггмра + Пару+ Пере или в проекциях на оси декартовых координат: р„= и .Р + п,р„+ п,р„, Р у = «арал + «уруу + пеР у Р =и Р„,+пар + п,рт. (10) Припоминая определение напряжений р, р„, р„заметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении Р обоаначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс †о, на которую спроектировано это напряжение; так, например, р , обозначает проекцию на ось з напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной осн х.
где Ч,— вектор ускорения центра тяжесги тетраэдра, à — плотность распределения объемных сил в жидкости, р„, р, р„, р,— векторы напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок еГа„„ гЬ, гЬу и Иа„т. е. с той стороны, куда направлены векторы п, 1, 1 и й (йа рис.
25 показаны векторы ориентированных площадок 1Йаа, 1лгаю (сгЬ„и пагап); в пРавой части УРавнениЯ (6) пРи последних трех членах стоят знаки минус, так как внепгние стороны площадок ага, сгаю еЬ, нРи пРинЯтом напРавлении оРтов осей окачываютсЯ отРицательнычи. В уравнении (6) член слева и первый член справа, как величины третьего порядка малости, содержащие элемент массы, пропорциональной объему, можно откинуть по сравнению с остальными членами, пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь 88 оснОВные уРАвнения дВижения и РАВнОВесия (гл. и Величины р, р„у, р, называют нормальными напряжениями, Р у Рмп Р ... — касательными напряжениями.
Система равенств (10) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются простой линейной зависимостью через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти величин: Реи> Рук Рие Рвуь Руу Рьу ю Ри ° Ру Рт (11) причем зайисимость эта совершенно аналогична системе равенств (20) 8 7. Вспомним данное в й 7 гл. ! общее определение тензора 2-го ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены на проекции физического вектора по формулам типа (20) $ 7 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
