Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1 или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяют проекции также физического векторз. Согласно этому определению, совокупность девяти напряжения (11) образует тензор 2-го ранга, который обозначим заглавной буквой Р и назовеи тензором напряженности или тензором нипряженай. Вектор напряжения рп, приложенный к любой наклонной площадке с ортом п, определяется как произведение этого орта на тензор напряженности по формулам (10) или, в синтетической форме, р„= пР. (12) Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное множество векторов напрязкений р„, зависящих от выбора наклоне площадки в втой точке, и один тензор Р, характеризуюпгий напряженность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10) или (12) через значение тензора напряженности в данной точке.
Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражавгиую определенное состояние жидкости или газа — их напряженность, н не зависит, конечно, от выбора координат. Примевим теперь теорему моментов к движению жидкого тетраэдра, причем, по предыдущему, пропустим, как малые высшего порядка, члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра.
Тогда, обозначая через г, г~„гя н гз (рис. 25) векторы-радиусы по отношению к точке М точек 5, Кы Р1г и Хг приложения векгороя напряжении, ф 141 Распцвдиление мАссы танаоц нлпцяигинности граней, будем иметь: гХР„г»е„=г, Хр г»а +г Хр„~е ~ г Хр,,»е или по (8)г гХ Рч=гг Х Р и„+гэХрца„+ге Х р,и„ с другой стороны, умножая векторно на г обе части равенства (9), получим: гХ р„=-гХР и +гХР п„+гХрп„' огсюда почленным вычитанием найдем: (г — гг) Х р и + (г — гД Х рцпа+ (г — гэ) Х р,п, = О. г — ге=ли, г — г,=х1, так что пРедыдугпее равенство переписывается в видег (1 3) хи г Х р .
+упц1 Х рц+ вп,й Х р, = О. Докажем, наконеп, чго хп„, = упц —— — агг„ для этого заменем, что плоскость А~Лад»а параллельна плоскости дггМггтц или, что все равно, плоскости АВг.-, так как по определению гочек пересечения медиан треугольников: МДГг г Мй»г = М»г»я: Мй»э = М»Г»а . МЛгэ = 2 - 3- При этом нормаль и будет нормалью и для плоскосги»г»г»Г»вд»ю так что г п=га.п=-га.п или упц+лп,=хп +лп,=хп +уп„, а следовательно, хп„=уи„= ипм После этого равенство (13) переходит в соотношение 1 Х Ри+ 1 Х Рц + К Х Рц = Оч С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно считать, что напряжения распределяются по граням равномерно, и, следовательно, главные векторы их приложены в центрах 'тяжести граней, т.
е, на пересечениях медиан соответствующих треугольников, в точках Ф, »г»„гг» и Иа, пРичеи точки ГЧгг, Д»я и гт»э бУдУт пРоекпияии точки И на координатные плоскости; отсюда следует: 90 основныь зрлвнвиия дви кения и рэвноввсия (гл, и проектируя которое на оси координат, получим: (14) Рэч> = Рям Рээ Рэлг Рээ = Р Система равенств (14) выражае«еоречу о взаимности касательных напряжений: если л некоторой точке сплошной среды провести две »заимка перпендикулярные элементарные площадки, то проекции яапрязкений, приложенных к каждой из пл<>- щадок, на ось, перпендикулярную ь дру»ой площадке, будут между собою равны.
Еще иначе игу теорему можно проформулировать так тензор напряженности сим истрачен, ф 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение неразрывности. Уравнении динамики н напряжениях Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкое<и или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (оплошности). Будем исходить из основного закона классической механики о сохранении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной производной, можем написатьс — Ьт = — (р йт) = О. й й йг йг (1б) Желая получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа (ф 8), перепишем (15) в виде р Ьт = рэ Ь<э, (1б>) и по известному сэонстзу скэлярно-векторного произведения, будем вметь Ьт = <- Ьг .
6гь У Ьге) = — — ~- Х вЂ” )Ьаьэ Ьс = дг 'дг дг т. да 1 да дс ) дх дх дх да ' дЬ * дс ду ду ду да ' дЬ ' дс д» д» д» да ' дЬ ' дс ЬаЬЬЬС=~- ' ' ' -ЬаЬЬЬс, — Ъ(а, Ь,с) где использовано общепринятое обозначение дчя якобиава, 1 Подробнее см об этот гл ЧП, Ь 60, где р н Ьт — текущие значения плотности н элемента объема н э, Ь~ — начальные их значения в момент времени г = гг Представим себе элементарный объем Ь< как координатный пэраллелепвпед в системе кряволянейкых к<юрдинат — переменных Лагранжа — а, Ь, с, тогда стороны этого пэраллелепвпедэ будут определяться нэпрээлеввымв элементами к<юрдннэгпв<т лвний. < Ьг„ ьгь, ьг, равных частным днффсреяпиалам вектора-радиуса г(< ж») по коор линатам а, Ь, с дг дг дг Ьг = эа, Ьгэ — — ЬЬ, Ьг< = — Ь< э = да ' дЬ ' де $ 15) ои3\иь ууьвнення динамики сплошной среды диалогично получим в момент времени Е= Го..
~ Р <хн уо, ао) „ ото.— -3 ' аа оЬ ае (а, Ь,г) и, слеловвте ~ьно, но (!У). '(6 'ь' ) Р =Уо(го'а ь. ) Р о Р(х у в), Р(х уо,ео) Р(а,Ь,е) ' ' ' Р(аЬ (16) нля, полагая хо = а, уо = Ь, во= с. Р(х,у. в) Р(.ь. ) (17') В эйлеровтх переменных уравнение неразрывности можно получить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя представление о дивергенции скоростного поля как скорости относительного расширения объема (вспомнить формулу (59') 9 11): — 8т+ р — йт = — Ьт+ р Ич Ч Ьт = О, йр и ар йг йг йг откуда и найдем уравнение непрерывности в зйлеровых переменных ир — У + о б)т Ч = О.
егг (18) К тому же выводу можно было придтн, записав закон сохранения массы для конечного объема: в виде: — ~ рот=О' ие ~ (19) проивводя дифференцирование, получим по предыдущему: ~ аа йт+ (Г р „— ' йт = ~ ®+ р б)т Ч) ьт = О, т о~куда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив обе части последнего уравнения на объем -., содержащий внутри себя заданную точку, и переходя к пределу при стремлении объема к нулю н стягивании его к данной точке.
Это и есть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных; его было бы правильнее называть уравнением сохранения массы. В честном случае жидкости поетояннои плотности — несжимаемой жидкости — р= ро н уравнение (16) принимает форму уравнения нееенинаемоети в лавранлгевмх переменных; Р (х.у. е) Р ( ' ° ут е ) Р(а, Ь, е) Р(а, Ь, с) ОсноВные уРАВнения дВижения и РАВнОВесия (гл.
н В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными видами уравнений механики сплошной среды: 1) интегральным, выражающим свяаи между величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхносгях, и 2) дифференциальным, связывающим значения величин и их производных в данной точке. Примером уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения массы (19) и в дифференциальной форме — (18). Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей уравнения на величину объема с последуюп1им стягиванием Объема к выбранной точке пространства нли сведением всех интегралов к одному объемному и приравннванием подннтегрального выражения нулю вследствие произвольности обьема. Оба эти приема были только что применены при выводе уравнения (18).
Основной особенностью дифференциальной формы уравнений динамики жидкости и газа является то, что входящие в них величины представляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных сил н т. и., а не сами величины, относжцнеся к элементарному илн конечному объему. Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной совершается умножением на элемент обьема н интегрированием по конечному объечу. Интегральная фо1ьна имеет преимуи1есгпво перед дифференгвиальной, если входягиие в уравнение величины претерпеваюнь внутри среды разрывы непрерывности.
В эточ случае дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всея пространстве, заполненном жидкой средой, в го время как интегральная форма с успехом используется. Заменяя в уравнении (18) индивидуальную производную по времени от плотности известным ее выражением через локальную и конвекгивную проиаводные 5 9, формула (41)), получил: — + я 8тад р+р 81ЯУ= О, ВР (2О) вспоминая затем формулу векторного анализа д1ч (р7) = У ° цгаб р+ р д1т 7, окончательно найдем уравнение нераарывностн в эйлеровом представлении в наиболее употребительном виде: — Р+81я(рЧ) =О др (21) или в декартовых координатах: — + — (ри) + — (ро)+ — (рто) = О, др д д д (22) 94 основные угьвнения движения и Рьзновесия !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
