Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Давление р — такой же физяческий скадар, как плотность, температура и др. 6 !71 ОБщие уРАВнения РАВнОВесного состояния 105 'Рензор напряженности Р при Равновесии среды имеет таблицу. — р, 1, О, О Р О, — р, О = — р О, 1, О = — р$. (53) О, О,— р О, О, 1 Симметричный ~еязор йь компоненты которого отвечают условиям: В„.=С =С„=1, 5.Я=5 =(.-,.=О, называют единичны.н твнзорозг или тензорной единицей. Последние равенства должны выполняться, очевидно, независимо от выбора сисгемы координат, т.
е. единичный тензор должен оставаться единичным при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей координат; эго можно было бы показать и непосредственно на Основании формул преобразования компонент тензора при изменении направления осей координат (см., например, ранее цитированный курс векторного и тензорного исчисления Н. Е. Кочина). формула (12) вместе с (52) и (53) даег очевидную систему равенств: р„= НР = — рпй = -- рп, (54) из которых, между прочим, видно, что па=и, (55) так по умножение орта п на теизорную единицу приводит к тому же вектору,— общее свойство умножения любого вектора на тензорную единицу, в чем легко убедиться, проделав операцию умножения по ранее установленному в гл. 1 правилу (20).
Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относительного покоя, рассмотрим уравнения движения, частным случаем которых при Равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равновесия. Уравнение неразрывности (22) сведется при этом к первому условие равновесия — =О др дг т. е. к стационарности поля нлотностей среды. Уравнения в напряжениях (29) на основании таблицы (53) дают "ледующую систему основных уравнений равновесия среды: др (56] 1об ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ (ГЛ.
Н нааываемых уравнениями Эйлера равновесия жидкости или газа. Система (56), очевидно, эквивалентна одному векторному уравнению рР=Втайр, (57) которое можно было и сразу вывести из (37), заметив, чго по (53), (31), (55) и интегральной формуле (70) гл. 1: МУР = 1лт ( — р5) = 1йа — ~ — пйр сЬ = 1 Г ' — „, а.3 о 1 Г =- — Игп — 1 пр йа = — вагаб р.
о.+о а' ° а которое, при наличии только теплопроводности приводится по (48) к уравнению: рс — = 61УГА|т й 7), дТ (59) а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоянныи (см. формулу (49)) — к уравнению: дТ д — атаТ, (6О) где постоянный коэффициент а называют ковф1диииеноиьи огеллературолроводности. Рассмотрии подробнее основное уравнение равновесия в векторной форме (57). Простыми операциями нз него мекаю исключить плотность и давление.
Для этого возьмем снацала от обеих частей некторного равенства (57) операцию вихря го1, тогда р пропадет, гак как го1 Втаб р — О; будем иметь го1(оР) = О или, раскрывая скобки по известному правилу векторного анализа, получаем р го1 Р + агой р Х Р = О. (61) Уииожим теперь обе части этого равенства скалярно на Р; тогда, заметив, что второе слагаемое„как векторное произведение, перпендикулярно своему сомножителю Р, найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равнпвесие жидкости или газа: (62) Наконец, уравнение баланса энергии (45) дает теиловое условие равновесия жидкости или еаза дТ (68) 167 ф 17( овщиь увьвнвния Равновесного состояния или, в проекциях на осн декартовых координаы К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (62), относятся прежде всего силы, имеющие потенциал П, так как дар ннх Р= — пгад П, го(Р=О.
В этом случае, как легко усмотреть нз равенства (61), пгабрХигабП=О, (63) ятб р Х ягаб р = О Р Х дгаб р = О, или по (67) отсюда, на основании (61), вытекает го1Р=О, Р= — йтабП. Если в движущемся или покоящемся газе плотность является Функциеа только давления, то такой процесс движения илн равновесия называется баротропкым. Из предыдущего следует, рто баротропное равновесие газа возможно прн наличии только потенциальных сил, так как при условии р =р(р) нзобары н изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что былс показано, силовое поле должно быть потенциальным. Более общее условие (62) имеет смысл требования существования в силовом поле поверхностей, ортогональиых к силовым линиям,' причем эти поверхности в общем случае не дощкны совпадать с иаостерами.
'Л Л.Г.Л А А А.И.Лур Кур р Взяв ч. И. 1940р над. 3, стр. 164, откуда следует, что силовые ликии поля потенциальных обвемкых сил ортогокальяы изоспгерим (поверхносгям одинаковой плотности), а также„что азостеры совпадают с изопотенциалькыми поверх- костями силового поля.
Из (67) следует еще, что при равновесии среды силовые линии перпьтрдияуляркы изобарам (поверхностям одинакового давления). Т»- ким образом, вообще, при равновесии жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил азопотенциальные поверхности поля совпадают с изобараии и изостерами. Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под действием потенциального поля обвемкых сил. Действительно, по условию, 196 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВНЖ! Ния Я РАВНОВЕСИЯ (гл. п Система уравнении (57), как уравнений в полных дифференциалах, нредставляег лишь одну связь между двумя неизвестными величинами р и р, уравнение (59) — также одно уравнение с двумя неизвестными 1 и Т. Чтобы сделать систему уравнений равновесия определенной, необходимо добавить еще уравнение сосгоювш газа, называемое обычно уравнением Клапейрона: ~ =17Т, Р и уравнение зависимости ковффициента тенлопроводностн от температуры: (64) Л=Л(7).
(65) 15сли равновесие баротролно, то р — р(р). (6 Это имеет место, например, в следующих случаях: 1) газ несжимаен, г. е. имеет повсюду одинаковучо плотность р = сопз1; 2) равновесие изоглермачесмое, при котором Т=сопз1 = Т, а следовательно, по (64): р.= — =сопзг ° р = — р; Р Еч 177„= 3) равновесие адиабашическое (без притока тепла извне), отвечаюпгее известной из курса термодинамики адаабаглег р = сопз1 рь = — ер", (68) Ре (67) (7 О) 1де в — показатель адиабаты, разный отношению теплоемкостеи газа нри постоянном давлении с„ и постоянном объеме с„ для воздуха Й = 1,405. Значения велйчин рш ро, Тз относятся к какой-нибудь одной характерной точке покоящегося газа. Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) н (59) при тех илн иных дополнительных связях между термодинамическими элементами р, р и Т. Останавливаясь лишь на случае барошролного равновесия газа в лошенг1иально,я силовом поле, напишем уравнение равновесия в виде: — р етаб П = йтаб р.
(69) Введем в рассмотрение функлию давления Р ц 17! Овщия УРАвнгння Рьвновесного состояния градиент ее по (70) равен: йтаб 9' = — огай р = — йтад р. йгг йр Р (70') При баротропностн равновесия газа функция давлений о' играет роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к единице массы главных векторов поверхностных снл, сводящихся в случае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что функция давлений представляет потснциалькую энергию инпгенсивности обгемного действия поля давлений. Действительно, в полном соответствии с обычной связью между векторным силовым полем и его потенциальной энергией, имеем по (70'): — — йтаб р = — йтаб а».
1 г откуда следует, что при равновесии среды во всех точках ее выполняется равенство П+ьГ=сопя1. (71) В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае, направляя ось з вертикально вверх и помещая начало координат на уРовне моРЯ, бУдем иметь (го — некотоРав высота над УРовнем моря)." П=я(з — ле). Функция 31 для изотермичесного случая будет определяться на основании (66) так: ( й» » 1 й» Рь Р в1'= ) — = — ) — — 1п —. .)В(») г.!» г Рь (и) е» ° »» Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами л, и гя по (71) можно написать в виде: .,)+Р 1п» =0, (73) гг»» где рп Рг и рм ре — значения давления и плотности на высотах ег гг наа уровнем моря.
Формула (73) представляет простейшую «» Итак, при баротропном равновесии среды обвемное действие среды на выделенное в ней „единичное тело" (единицу объема или массы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависнгцим только от характера баротропности процесса. Уравнение равновесна (69) может быть переписано в форме втаб Б+ йтаб О = О, )1() ос1яовныз уяхвнвния двйжяния и влвновасяя (гл. й барометрическую сбормулу, позволяюпхую приблюкенио определять высоту лз пункта над уровнем моря по измеренному барометром давлению в етом пункте, если известны р, и р, при х=в,.
ПолагаЯ л,= О, Р, =Р, Р,=Р,„лз= л, Рз =Р, Рз — Р, можем придать формуле (73) простой вид: Жч 3 Р =роз " * (73') Формулу (73) или (73') можно применять с большой точностью, если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные интервалы (л', л") и в начале каждого следующего интервала л=л" пользоваться новым значением отношения р "/р", исправленным на новую температуру Тх по формуле н новым значением р", вычисленным по (73) из равенства и (л" — л') + —, 1и —, = О. Р Рз Р' Обычно поступают иескольио проще Обозначим разность двух блнззих высот хх — зх чеРез аз. Разность соответствУющих им давлений Р,— Р, через аР; тогда равенства (73), согласно (бб), примет зид: а за + )1 7' 1в ~1 + — ) = О, Р1 где под 7' будем понимать среднюю температуру воздуха з интервале (зь аз+аз): — 1 т=- (т,+уз).
Отсюда найдем )х7' / дР ' Дз= — — 1п~1+ — ), или„пользуясь разложением логарифма з рзд, аР лгу лд г Р к 1 л 1 Р~ — аР 2 -(Р1+Рх) 2 Можно еще перейти от абсолютных температур к обычным по формуле — 1 1 — 1 т = Г+ — = - (1 + чт). « = —. а а * 273' и получить приближенную формулу: „. жЗЮ Р,-Р... ~ 4 Рз+Рт % 17! ОВ»ДИЕ УГАВНЯНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСГОЯНйн Замечая, что дея сухого еоацухе 17 = 29,27 л е»г/ееьеград, прняелем Формулу (74) к такому окончательному еиху: Ье-' 16060Р» РЬ (1-1- Г) гг, р»+ рг удобному для практических намерений. При технических расчетах пользуются обычно так называемой стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях атмосферы — в л»ролоефере (0<а<11 нее) — температуру принимают паааюп»ей от значения 15 С вблизи уровня моря иа б,б" С на каждый километр, а давление на уровне моря — равным 760 жм рт. ст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
