Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть плотность находацегося в жидкости тела равна р„ причем тело будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда, прикладывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу центробежную силу, равную (Л7 †мас тела) г = дйчяг' = рввгг', ч ч~ и учитывая вес этого тела 0=Мй; можем судить аб относительном равновесии тела в жцдкости по разности векторов приложенных к нему сил: веса 6 и центробежной силы г, с одной стороны, и архимедовых подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна: б — О+ ф — р) ива'„= ~р — р) ит + (р — р) мттг'„= =6 — рйй+ 'г"„)' Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: Ц если плотность вращз~ощихся вместе с жидкостью тел р больше плотности жидкости р, то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости н отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел р меньше плотности жидкости р, то такие тела будут всплывать и приближаться к аси вращения.
Так, например, в маслобойных центрифугах зерна образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая нх водянистая сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи аси центрифуги. Как непосредственно следуег из последней формулы, равновесие возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и погруженных в нее тел (р=р). ГЛАВ А 111 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБШИЕ ТЕОРЕМЫ ф 20.
Идеальная жидкость. Основные уравнения двнження Наиболее простой схемой дввкущейся жидкости является так называемая идеальнан жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются от наличия внутреннего тренин — ензкости, считая что по пчощадкам соприкасания двух, друг относительно друга движушдхся, объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления н полностью отсутствуют лежашне в плоскости площадки касательные силы трения. Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь р„,=р„=р„=р =р. =Р.=О; (1) то же допущение отсугствня касательных напряжений ггз наклонной к координатным осям площадке дает Р~~ Рап ~ 1г, =-~Р и, Рм=д пм Отсюда, согласно системе равенств (1О) гл. И, будем иметь: Рее =Ряс =р =Рте Р) Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойс~во идеальной жндкостн — незавнсимо ог выбора осей координат касательные напряжения в любой точке движущейся идеальной жидкости равны нулю, нормальные — равны между собой, иными словами, нормальное напряжение в Данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено.
Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной точке "ке потока через „вЂ” р"'. Скалярную величину р будем называть г'пеленаем в данной точке потойа; знак минус, как и в случае равнонаправл есня, выделяется специально чтобы подчеркнуть противоположность Ф правления вектора нормального напряжения р направлению орта нор- Ф н к положительной стороне гглогдадкн. Таяня образом, напряженна, 124 динамика идвлльной жидкости и глзь (гл. п| приложенное к положительной стороне любым образом наклоненной влементарной площадки в идеальной жидкости, определяется формулой р„= р„п = — рп. (3) Вспоминая предыдущую главу, видим что полученные только что формулы„верные лишь в случае движения идеальной жидкости нли газа, совпадают с соответствующими формулами равновесия любой реальной сплошной среды.
Совокупность равенств (3) эквивалентна тензорному равенству Р= — рб, (4) которое также совпадает с аналогичным равенством (53) гл. П для находящейся в равновесии неидеальной сплошной среды. Прн отсутствии касательных сил трения, два параллельно движущихся слоя идеальной жидкости могли бы иметь совершенно произвольные скорости, свободно скользить друг относительно друга. Этот факт находится в явном противоречии с принципом непрерывности поля скоростей, положенным ранее в основу кинематики и динамики жидкости н газа.
Можно было бы ожидать прн этом, что схема идеальной жидкости должна привести к результатам, далеким от реальности, бесполезным для практики. Однако это не так. Теория идеальной жидкости в болыпинстве случаев с достаточной для практики точностью описывает обтекание тел, оценивает распределение давлений по поверхности обтекаемых тел, дает суммарную силу давления потока на тело и мн.
др. Причиной достаточного совпадения с опытом столь, на первый взгляд, отвлеченной, „идеализированной" схемы служит дополнительное допущение о сохраиеяии и для идеальной жидкости приипипа непрерывности распределения иехаиических и термодинамически« величин в движущейся среде. В этом фундаментальном принципе механики сплошной среды заложена главная «ачествепиая сторона физического механизма молекулярного обмена в жидкостях и газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей физических величин и, с другой, к наличию трения и теплопроводностн.
Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от кол«явствен«ой стороны влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся в виде трения и теплопроводности, сохраняют в силе главную, кач ственную сторону явления — непрерывность распределения физических величин. Принцип непрерывности движения среды приходится нарушать лишь в некоторых особых случаях: на границах двух идеальных жидкостей разной плотности (поверхностн раздела), на поверхности твердого тела, обтекаемого идеальной жидкостью, а также на некоторых специальных поверхностах, где физические величины нли их производные могут претерпевать разрывы непрерывности (поверхности разрыва).
В первых двух иэ указанных случаев допускается свободное скольжение япщкостей друг по отношению к другу и скольжение жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится условие твавнвиия движвния кдш»явной жидкости 125 тствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жидо ти сквозь поверхность твердого тела (условие нснронииаеиосн»и). 1»ак далее будет показано, в наиболее важных для практики случаях эти нарушения основного принципа непрерывности обычно сосредоточиваются в тонких слоях (пограничный слой, граница с»рун, ударная волна или скачок уплотнения и др.), принимаемых за поверхность влн, в случае плоского движении, за линию.
Вне этих поверхностей или линий все величины считается непрерывными, что позволяет применять обычные приемы сосивления и решениа уравнений динамики идеальной жидкости или газа. реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности элементов ни внутри движущегося потока, ни на границах его с твердым телом. В действительности жидкосп нли гаэ ие могут скользить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой стенкой, равны нулю, жидкость, как бы „прилипает" к поверхности тела.
Однако эта скорость резко возрастает при удалении от поверхности тела и на внешней границе весьма тонн»жо, по сравнению с размерами тела, пограничного слоя достигает значений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной жидкосл»и. В этом вторая причина возможности применения схемы идеальной жидкости для расчета обтекании важных для практики тел плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса турбомашины и др.). В случае плохо обтекаемого тела пограничный слой отрывается от поверхности тела н значительно искажает картину обтекания тела идеальной жидкостью. Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости получаются путем упрощения согласно равенствам (1), (2), (3) или (4) общих уравнений движения, выведенных в гл.
П. УРавнение неразрывности, как не заключающее напрюкений, сохранит ту же форму: (16), (17) или (17') гл. П прн лагранжевом способе определения движения н (18), (21), (22) или (23) той же главы— при эйлеровом представлении движения. Уравнения в напряжениях (28), (29) или (30) гл. П также упростятся " »»Риведут к одному нз следующих двух векторных уравнений: — = г — — йтабр, »гр 1 в (5) -31-+ (11 ° т) 1»' = г — — йтаб р, др 1 (5') .итн в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат: 0и ди ди ди ди 1 др — = — +и — +о — +то — = р — — —, дх ду дг и р дх' до до. де 1 др де= +и +о +о» =Р э дт ° дх ду дх В р ду' д»в дм дэ» дм 1 др а = т+" — + — +- — = ".— — —. дх ду дх в дг 126 (гл. щ динамика ндяьльной жидкости и ГАЗА Уравнения (5), (5') или (6) представляют различные формы уравнений Эйлера дина»гани идеальной зкидкости или гала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
