Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Итак, полная индивидуальная производная ог рассматриваемого ооьемного интеграла пожег быть предсгавлена следующей суммой' (зо) Полагая в этой формуле последовательно: $/2 ч рг Ф вЂ” р, р~Яс Т+ —, рЧ, гр,'эт', р —, получим выражения индивидуального изменения во времени: массы, энергии, количества движения,момен1а количес~ва движения и кинегической энергии жидкости в рассматриваемом объеме. Примечание. Непрерывность распределения в просгрансгве величины Ф была использована при выводе формулы (29) лишь в области входного и выходного сечений элементарной грубки тока. Что же касается об.ьема трубки А'ХКВ', общего для начального и смещенного положений движущегося объема АОСВ и выпадающего при вычислении приращения объемного ингеграла, то внутри этого объема величина Ф может изменяться произвольным, непрерывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл сохранял определенный смысл.
Предположим, ч~о внугри обьема, ог1ыничеппого „контрольной" поверхностью, нчеючся 1юверхнос~я разрыва пепрерывнос1и интегрируемой величины, причем на тих поверхностях величина 139 ЭИЛВРОВА ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ и 23) претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую „овсяный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта поверхность разрыва ни целиком, ни часгью не совпадает с контрольной поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю (часть контрольной поверхности совпадает с поверхностью тока).
Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29) непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу н в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе. и 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, теоремы количеств движения и момента количеств движения при стационарном движении идеальной жидкости Останавливаясь на случае стационарного движения жидкости, можем, пользуясь эйлеровын выражением конвективной производной (29), представить закон сохранения массы — 3 рйт=о г,) т в следующей интегральной форме: ) рапиде=-О, е (31) имеющей простой физический смысл: в стационарном потоке полный массовый расход зкидкости или газа через неподвизсную заласнутую поверхность, не заключаюиьую внутра себя ни испючников, ни стоков, равен нулю.
Применим этот закон д. я элементарной труоки тока с двумя какими- нибУдь ноРмальными сечениЯми да„ доя, в котоРых скоРосги соответственно равны по величине $г, и Ря, а плотности: р, н рь; тогда, замечая, что на боковой поверхности трубки тока ь'„ =- О, получим вместо (31) равенство (32') Р', де, = 1'я доя, р Р„де~ —— Р~~'~доя. (32) Б этой форме закон сохранения массы можно проформулировать так: при стационарном движении зкидкости или газа секундный массовььй расход сквозь сечение элементарной трубки тока одинаков вдоль всей трубки. Бели плотность хщдкосги повсюду одинакова, т.
е. жидкость нес кнмаема, то формула (32) переходнг в более простую: 1гл. п дииАмикь идвальиой жидкости и гьзь утверждающую сохранение обяв.иного расхода вдоль элемеитарио1 трубки. В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки токе скорость возрастает и, наоборот, в расширяющихся сечениях — убывает. Столь простого соотиошеиия между скоростью и площадью сечевик при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется сщг третий переменный фактор †плотнос. Формулы (32) и (32') легко обобщаются и иа случай трубки любогс поперечного размера. Назовем через а, и ся два каких-иибудь„вообще говоря, иеплоских поперечных сечения трубки; поверхности о, и в, в общем случае ие ортогоиальиы к линиям тока, более того, ортогоиальных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось, может и ие существовать.
Производя суммирование обеих частей равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим: ~ р~' пи= ~ рЪ'„да, (33) т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении справедлив закон сохранения секундного массового расхода вдоль всей трубки. Обозиачая этот секулдиый массовый расход сквозь любое сечение трубки с через М, будем иметь: М = ~ р $г„дв = сопв1. (34) ~р~Ю т+12М 1'„до=О. (35) а 11римеияя этот закон для элементарной трубки гока, так же как и в случае закона сохранения массы, получим: Величину М, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое сечеиие вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл.
1, 2 12), можно было бы назвать иннавнсивностью трубки тока. Закон сохранения массы, ие связанный, как видно из приведенных выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и в случае неидеальной жидкости. Закон сохранения энергии в случае стационарного, адиабатичегкого движении идеальной жидкости при отсутствии объемных сил, согласно равенству (18') и принятому эйлерову представлению, можио записать в интегральной форме так: эпляговь Фокич основных Зчконоа учитывая равенство (32): или, у 1 г Хс Т, + — = Ус Т + —.
(37) Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20). Теорема об изменении количества движения жидкого обьема уже приме рнменялась в прелыдущей главе при выволе основного уравнения „Рнамики жидкости; равенство (24) гл. П в случае стационарного дви„,ення идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении написано в форме Ррйе ~рида ~ рЧ1' йа О (38) Последний интеграл, ваятый с отрицательным знаком, можно трактовать, как перенос количества движения через поверхность а, направленный внутрь обьема т. Действительно, орт внешней нормали и направлен наружу объема, так что, если в некоторой точке поверхности вектор скорости Ч направлен также наружу объема У1, (1'и) О), то элемент интеграла — РЧ„Чае направлен внугпрь объема; если яье век- е тор Ч направлен внутрь объема, то Ча(0 н элемент интеграла направлен в ту же ов сторону, что и вектор Ч, т.
е. опять внутрь объема. Равенство (38) дает следующую фор- Уг мулировку теоремы об изменении количества движения: если в стационарном потоке идеальной жидкости виде миль некоторый объем, то сумма главного ввкпюра обьвмных сил, ариложенных к аа выделенному обьвму, главного вектора сил давления, приложенных к его поверхности, и переноса количества дви- и, женин через зту поверхность, напра- Рнс. 31. вленного внутрь объема, равна нулю.
Применим равенство (38) к объему элементарной трубки тока межлу Лвуьш ее оРтогональными сечениЯми (Рис. 31): 1) бам гле скоРость Р в"а Ч„, плотность Ры давление р„орт внешней нормали п, и 2) аая, где, соответственно, скорость равна Ч, плотность ря, лавление Ря и орт внешней нормали и . Тогда, выделяя из общего поверхностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности трубки а Р -ки аь,„и замечав, что пеРенос количества движение сквозь боковУю позе ~ Рй верхноогь трубки равен нулю, получим: рг йг ~ рп йа — ргпг йаь — р п йа. +р, 1г Чг Иа — ря11 Ч йа, =О, (39) а бок 142 див%мика мдяальной жядкосси и глзт (гл. пс или, произведя замену." Ч,= — 1спм Чя= Ря „ (4О) найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравяеяия количеств движения для элемеялсаряод трубки тока при стационарном движении идеальной жидкости (газа): рРФс — ~ рп сЬ вЂ” (р, + рс\lс~) пс сЬс — (рв+ ря11в) падая — — О.
(41) а Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей, ортогоиальпых к линиям тока, просуммируем равенства (41) по всем элементарным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины; получим уравнение количеств движения для любой трубки конечной ширины: ~ рг ит — ~ рп оа — ~ (р + р ь'в) и гЬ вЂ” / (17 + р У~) и с1б = О, (42) где ас и ая — два ортогоиальных к линиям тока сечения трубки. Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо, так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение (главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет жидкость, и др.).
Элементарные приложения формулы (42) к вычислению реакции струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в курсах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения этой формулы будут часто встречаться иа протяжении следующих глав. Принимая во внимание сделаииое в конце й 22 примечание о возможности применения эйлерова представления коивективиой производной в точ Случае, когда внутри обьема, ограниченного контрольной поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины, можеч заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм законов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.
Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при стациоиарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента количеств движения: ~ (г~рГ)Фс — ~ (гавр)да — ( (гХрГ„У) оси=О (4З) а а и для элементарной трубки тока: ~ (гарт) Нт — ~ (гХпр)~Ь вЂ” (рс+рсГса)гс )< псдас— а 6 в — (Ря+ Р,1гс) ге Х пасйя= О, (44) где векторы г, и гя представляют векторы-радиусы центров тяжестей нормальных сечений сЬ, и еЬя трубки тока. «сот«.чл ов ичмпшнни кинвтичвской эныгин 148 ь' 941 ни 24. Теорема об нзмеиемии кинетической энергии. Работа и мон«ность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения изменения кинетической энергии Теорема об наменении кинетической энергии индивидуального «кидкого объема должна, как известно из теоретической механики, «нулнроваться так: „производная по времени от кинетической энер„ни движусцегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних ( бъеь«ных и поверхностных) н внутренних сил", Отсюда следует ~» р: д = ~ РР ° Ъ дт — ~1 - Ъ1ди+ ~ Р1Ъ'„, »Рс = а 1 (р) +1р (45) «де И~и представляет отнесенную к единице массы л«он«носи«ь внутренних сил давлений, равную отвесе««ной к единице массы секундной работе расширения элелгенлгарного обвел«а в данной точке.
Действительно, умное«им«обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно на Чде и проинтегрируем по обьему т; получим: д» Ъ" — -~ р — дг= ~ рр Ъ'дс — ~ 7 ° п«адр. гЫ~ 2 Отсюда в силу произвольности выбранного объема т следует: 1Ъ',„= Р д«тЪ«, (4У) или по уравнению неразрывности (18) гл. П: ~ч»г дг рдг« /=рдг выражение, в котором нетрудно узнать отнесенную к единицв массы и в еч времени работу расширения газа, входящую в уравнение первого начала термодинамики (о — удельный обьем): .Гад= 3с„дТ-р р до= ус дТ+ рд(-). /1ч е Р (4У) Рез ль ние (45 л ультат этот можно было ожидать заранее, так как уравнегии 15 и ( ) легко выводится как следствие уравнения сохранения энер- (15) и уравнении первого низала. действительно, переписав Вычтем почленно обе части последнего уравнения из уравнения (45), согда найдем ~ рИ,„дс = ~ (д1т (рЪ) — У атад р1 дт = ~ р д1ч Ъ'дт.
(46) ГГл. вГ динамика идяьльной жидкости и гьзл уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем не сколько преобразованном виде: ие ~р~ " + 2,Г ) р ~ (р'Г) +) р"'» % г Г' Г й '1Ч вЂ” ~ р.Гс ТГГт = ~ рУ»1 й'г — ~ рр — ~ — )»Гт иг ~ йг ~р) и вычтя одно нз другого, получим: — ~ — ГГт= ~ рр ° Чйт — ~ 41ч(р7)ГГт+ р — ~ — )йт, гррг г. г й/1т йг) Ы т. е., согласно (47'), ни что иное, как уравнение (45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
