Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рь Р Рь Ре Пренебрегая в этом случае объемными сичами, получим уравнение Бернулли в виде: — +- 1п - = сопз1, Рь Р (59) 2 гь Рь $/ь + Зг = сопзг ° 2 (ец Рь Р гь !п (50) 2 ЬВ Рь уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, в изотермнческого) дзщкения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59) н"н (60) нзотермического движения сжимаемого газа, так как из предположений р = сопз1 и Т= сопзг по уравнению Клапейрона следовало бы и Р=сопа1, что привело бы к постоянству скорости движения. рассмотрим, наконец, адиаоатическое, а следовательно, как было показано в 2 21, и извнтропическое движение идеального газа = сопзг, рр "= сопз1). В этом важном для практики случае, если отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет к соотношению: (гл.
ш динлмикл идвьльной жидкости и ГАВА аналогичное ранее выведенному из закона сохранения энергии уравнению (20). Вычисляя, с другой стороны, функцию давления (г по уравнению изэнтропы р р вр Рв — а Ро мл Г пь а — г ь — т Ю= „, ~р алр (рв ра) '~ Р (Р) Рч 1р„ч в =-ьвГ -а'='1 (66) получим еще следующее выражение теоремы Бернулли: ь — ь — — — — "~1 — ( — ) ~ = сопз1. 2 а — 1р„~ (,р„! (64) Пусп, в выбранной пока совершенно произвольно точке линни тока, где давление, плотность и температура принимают значения рв, 1„ н ', скорость движения равна нулю ($'= О); если в действительно происходящем движении на данной линии тока или вихревой ливии такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображаемое адиабатическое движение идеального газа, переводящее его в сосгояние покоя, адиабатически гго зпглормаживаюгнее.
Величины рр, ро и Т в этом случае называют соответственно давлением„плотностью и температурой адиабатически заторможенного газа. Используя выбранные таким образом постоянные величины ро, ро и Тр, можно переписать уравнение (62) в виде: ьч 2 + 1срт сато (бб) нлн (66) Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную формулу Сен-Банана и Вантцеля: ь-1 -="2('-(Г1 1 (67) Функцию давления 1р можно прн желании заменить по формуле (22) на тепловую функцию г =гсрТ; тогда уравнение (61) перейдет в следующее: — +1=-2+го Т= сопа1, $,Ф ут (62) твогвма БВРнулли 1б1 Ваметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе фор- мулы лы движения несжимаемой жидкости 1р= сопя1) нельзя рассматрикак простые частные случаи изотермнческого или изэнтропи- вать, „еского движений сжимаемого газа, хотя несжннанное движение может погодить при постоянной температуре и энтропии. Условие несжимости (р = сопя1) при сопоставлении с условием нзотермичности Ь= 'Р— сопэ1 ) или нзэнтропнчности1-я= сопя1 ) приводит к одинако/р гн давления, а следовательно, температуры и скорости во всем потоке.
В следующей главе будут выяснены условия, при которых формулы изэнтропического движения будут приближаться к формулач движения несжимаемого газа. ь1ы не будем приводить в настоящей главе примеров использования общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как бли- жайщая и следующие за нею главы заключают в себе большое число такого рода примеров, ГЛАВА 1У ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ $26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризмроваииые уравнения. Скорость распространения малых возмущений в жидкости или гаае Если в потоке все динамические и термодинамические величины являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной координаты и времени, то такой поток называется одномерным. Простейшими примерами одномерных потоков могуг служить: пространственный, параллельный некоторой оси координат поток, в котором скорость, давление, плотность и температура являются функциями только этой координаты и времени, пространственный радиальный поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температурой, представляющими функции только радиуса-вектора г и е, и др, Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х, а елинственная составляющая скорости и, так же как давление р, плотность р и температура Т, являются функциямн х и е; при этом будем пренебрегать действием объемных сил.
уравнения Эйлера н уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных: ди ди 1др ! — +а — =— де дх р дх' — +~-(ри)= О, с тремя неизвестными функциямн и, р, р. Чтобы сделать систему определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р, если движение баротропно, или уравнение Клапейрона и уравнение баланса энергии †общем случае произвольного двнженяя идеального, совершенного газа. Интегралы таким образом составленной системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным и граничным условиям. Одномеэнов твчения сжимлзмой жидкое!'и 153 р аача о разыскании решений нелинейной системы уравнений (1) даже ~е для простейших баротропных процессов очень сложна.
С,„у мй движения нееехимаелгой жидкости (е = сопя1) исследуется про осто но не представляет интереса, так как прн р=сопя1 уравнен„е неразрывности приводится к.условию независимосги скорости от (ди -ипаты 1 — = 0), что соответствует нвазиишердолгу поступательному движению жидкости вдоль оси х. Начнем с решения следующей математически не сложной, но принпнпиально важной задачи: в находящемся в равновесии, покоящемся идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давле„ий и плотности так, что возникающее при этом движение является одномерным, параллельным осн х баротропным движением, зависящим лишь ог координаты х и времени У; требуется разыскать элеменгы возмущенного движения.
Обозначим через и, р и р скорость, давление и плотносгь возмущенного движения, через ро и ро — давление и плотность при равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действия объемных сил; тогда, вводя еще обозначения и', р', р' для малых возмушеннй скорости, давления и плотности, будем иметь: и=и', Р=ро+Р ю р=ро+р.
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравнений (1) и откинем в них произведении малых величин и их производных по координатам, как малые вышних порядков. Тогда, замечая, что в силу баротропности движения получим вместо нелинейной системы (1) следующую линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными й и р': де' ди' +Ро дг дх Сиота стена (3) может быть названа линеаризированнод пп сравненшо с нели елинейной системой (1), так как она получена из нее путем линеаризапня заключающейся в откндыванин малых второго и высших порядков. 154 Одиомерный пОтбк идеАльнОЙ жидкости [1л.
Нг На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная система (1) стала определенной, хоти связь между Р и р явно не задана. Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений р и р от невозмущенных, равновесных р и рм любая аналитическая связь ьюжду р и р вполне опрелеляется заданием равновесного значения производной глл'1 от плотности газа по давлению илн обратной величины( — ) . Замечая, 'др о что величина — всегда существенно положительна, введем обозначение д~р йр и перепишем систечу (3) в форме: ди' з др' ~а — "а ~ ди' др' В системе уравнений (5) переменные а' и р' могут быть легко разделены.
Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5) по времени Р, а второго по х, умножая после этого обе части второго уравнения на ае и вычитая его почленно из первого, получим: дти~ з дти~ — — ач — — — О. др дх =.
Аналогично найден уравнение для определения р". д"р' з дзр' дта — — аз — „=б дхт (б) а замечая, что Р Р Ро (Р Рч) О,Р, ~друц найдем и уравнение для р' д др' аз д'рР О д — а — дя- О. (б") /, (х — аеа)+ уз (х+ аог), вид которых зависит от начальных условий задачи. Одномерные волновые уравнения (6), Сб') илн (б") являются классическими уравнениями л~атематической физики. К такого рода уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня и др.
Общее решение каждого из этих уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух произвольных функций: 4 2б! ОднОмеРЯОе течении Окимлемой жидкое!н 155 цведем новые координаты $' и 1", связанные со старыми при помощи равенств: Г=х — а А ч =я+лоб Новая ось координат О'ч* движется поступагельно в сторону положительного направления старой осн Ох со скоростью а, точно так ось О'$" движетсЯ постУпательно в стоРонУ отРицательного напРавленяя оси Ох с той же скоростью а . Функция гз(т) в подвижной системе О $ представляет некоторое, не зависящее от времени распределение возмущений скорости, плотности нли давления.
Эта фиксированная форма одномерного возмущенна (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная кривая) перемещается, согласно полученному ре|пению волнового уравнения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной оси Ох со скоростью ае. Аналогично атому, функция ге(" ), характеризующая определенное, не зависящее от вречени распределение возмущений в подвижной системе О'%", представляет вторую фиксированнув форму возмущения, отличнув, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрицательную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью ае.
Общая для обеих форм скорость распространении одномерных малых возмущении е нспадеихснай алсимаемоа среде ао определяется, согласно (4), формулой / ~Гр) С такой скоростью будет, напричер, распространяться вдоль цилиндрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим двигаться поршнем малое сжатие гасла (малый перепад давления). ПеРемещаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться старое давление, как будто движение поршня не возникало.
С той же скоростью будут распространяться малые колебания давления и жидкости нли газе, создающие звук, если считать явление РаспростРанениа звУка баРотРопным; величина ао, заданнаЯ Равенством (7), называется позтому скоростью ,часпространенип мука или, короче, скаростыа мука. Согласно общему принципу классической механики, привеленное Р~ссуждение остается верным и в случае жидкости нли газа, равновесным состоянием которых является квазитвердое поступательное и Равномерное движение. В галилеевой системе координат, связанной с зто втой квазитвердо движущейся средой, уравнення гндроаэродинамики сохраняют свой внд и все предыдущие выводы остаются справедливымн, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать 156 одномввный поток ндвальной жидкости (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
