Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Можно было бы н наоборот вывести уравнение баланса энерпщ () 6) из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом смысле закон сохранения энергии представляет первое начало термодинамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение изменения кинетической энергии является простым следствием уравнений динамики газа. В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении кинетической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В случае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде рр ° УГ(т — ~ рп Уйи+ ~ рб1г'Чдт — ~ р й Ъ'ч»Го=О, (48) $/г откуда 'следует форьГулировка теоремы об измененим кинетической энергии в эйлерозом представлении: при стационарном движении идеальной жидкости или газа сумма мощностей обьемпых сил и мощностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с переносом кинетической зкергиа вну~прь движущегося обьема, розна нулю.
Применим эту теорему к объему элементарной трубки тока между двумя произвольными ортогональными сечениями ГЬ, и ГЬ Будем иметь, из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения.' .Г»р»»»'ь (ра»» +Г»»,»,+р, ')»;— — РяЪ'я+ Ра — ) ГЬя — — О. В том случае„когда линии тока допускают проведение ортогональных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной 145 теоРБМА БВРнулли рг Ч1тч+ ~ р 01УЧлт+ % ~ ~рЬ'+р — )сЬ вЂ” ~ ~РГ+р — ) ~Ь=О, (50) е в и чя — два неплоских сечения трубки, ортогональные во всех 1 своих точках линиям тока, ч — ограниченный ими н боковой поверхностью трубка объем трубки тока.
Заметим, что, в отличие от теоремы количестВ двшкения и момента количеств движения, в формулах (49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений, приложенных к боковой поверхности трубки тока; это н естественно, так как сила давления на боковой поверхности направлена перпендикулярно к скорости частиц. Формулы тина (49) и (50) практически могут применяться лишь в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом интеграл, представляющий секундную работу (мощность) расширения, обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложнычи для применения. й 95. Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии при стационарном баротропном движении идеальной жидкости и газа Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баротропное движение с функцией давлении з1.
Тогда, опуская в уравнении Громека (13) первый член, равный прн стационарном движении нулю, н умножая обе части (13) скалярно на вектор скоРости Ч, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору Н: Ч птадЕ= Ч( —, ° йтабЕ)= О, гН или, что все равно (вспомнить определение конвективной части индивидуальной производной в конце й 9 гл. 1): ле — =О, пз где символ И1пз означает производную, взятую вдоль траектории или Л1ПШИ тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства (51) сразу следует, что вдоль траектории илн линии тока величина Е сохраняет одно и то же значение: Е = 9 + 51 + П = сопз1 (вдоль линии тока).
(59) Рт 10 з 1м1.л,г,лв а. динлмиса идвьльной жидчости и гьза (гл. и, Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к еди нице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную энергию поля обьемного действия сил давления в данной точке потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма Е этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось, отнесенную к единице массы полную механическую энергию потока вданной точке. Равенство (62) дает следующую формулировку теоремы Бернулли: при стационарном, баротропнои двиэсении идеальной ехидности или газа под действием потенциального поля обаемных сил приведенная к единице массы полная механическая энергия потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории или линии тока.
Из уравнения Громана (13) в случае стационарного движения сразу следует постоянство полной механической энергии Е также и вдоль любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае стационарного двюкения первый член и умножая обе части (13) скалярно на Я, получим: Я «дгаб Е = Ы ~ — ° йчаб Е) = й — = б, гй ч йй йг где й( — дифференциал дуги вихревой линни.
Отсюда сразу следует, что вдоль вихревой линии величина Е имеет одно и то же значение: Е= — +О-1-П=сопз1 (вдоль викревой линии). (33) 'г' 2 При стационарном движении вектор, равный произведению 1г ~(У, образует потенциальное векторное поле, так как по (13) го1 ((г х У) = — гог пгад е им 0; при этом, ьак известно„через каждую точку пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей через эту точку.
Эти ортогональные Г= сот г поверхности будут поверхностями уровня полной механической энергии, так как градиент энергии направлен с по нормали к ним. Иными словами, полная механическая энергня сохраняет одинаковые значения на всех поверхностях, ортогональных к вектору Я К У в данной точке, или, что зсе разно, на поверхностях, касательРис.
32. ные плоскости к которым з любой ~ о и'е пространства содержат векторы 1е и У. Этн поверьносчи уровня полной механической энергии можно получить, взяв (рис. 32) какую-нибудь линию тока н проведя чере~ все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую теоввма БВРнуллй 147 поверх хность — поверхность уровня энергии, проходяицую через данную линию тока. ь1ожно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и через ез все ее точки провести аннин тока; тогда эти линии тока образуют г повеРхность тока, НРоведеннУю через даннУю вихРевУю линию. С едовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии илн поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут поверхностями уровня приведенной к единице массы полной механиче„й энергии стационарного, баротропного потоха идеальной жяд„, сги находящейся под действием потенциального поля объемных сил.
кост, резюмируем предыдущие положения так: если в стаиионарном баротроппом потоке идеальной жидкости, находягцемся под действием потенциального поля обаемных сил, поверхность тока совпадает с вихревой оверхностью, то зта поверхность служит поверхностью уровня приведенной к единице массы полной механической энергии потока. Таким образом, все пространство, заполненное стационарно движущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическаа энергия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе от одной поверхности к другой.
Точно так же константы, стоящие в правых частях равенств (52) и (53), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те линии тока, которые проходят через точки одной н той же вихревой линии, нли вихревые линии, проведенные через точки одной и той же линии тока. Значения констант в равенствах (52) и (53) определяются величиной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо характерной или заданной наперед точке линии тока нли вихревой линии. Еще раз подчеркнем, что в общем случае константы этн раз~ичны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и той же поверхности тоха, являющейся одновременно и вихревой поверхностью.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство йХЧ=О, (54) то поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию стацнонарности, стай Е = О (55) т, е. и во веем ' е "олная мехиническая энергия сохраняет одно и то же значение все.я пространстве, занятом потоком жидкости нлн газа. Равенство (54) выполняется в следующих двух случаях: 1) 11 ° ы = Π— движение безвихревое; подробному рассмотрению этого "ейшего случая будут посвящены специальные главы курса; 148 диньмьгкА идеАльнОЙ жийкостн и ГАЯА ~гл.
п 2) И )) У вЂ” вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком Движении частшьы в своем мгновенном вращении поворачиваютса вокруг касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым С винтовым двюкением пРихолитсл иьегь дело пРн РассмотРенни так называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха. Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным, простейшим баротропнческим процессам: 1) несжимаемому дввкению, 2) изотермнческому движению н 3) адиабатическому, а следовательно, но предыдущему, и изэнтропнческому движению.
В случае двюкення несжимаемой жидкости (р = сопя)) имеем но (9): У =Р— ''"-"- = — "'+ сопяЕ е г Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только сил веса и направляя вертикальную ось л вверх, получим: П=бе+сопяЕ Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид 1сике вол сопя) обозначает сохранение величины вдоль ливии тока иля вихревой линии): Е= 2 ~ — +ьк=~ пьл Р (55) е или, переходя от плотности р к удельному весу 7 =рк: — = Н =- — + — + х = сопяЕ Е е'г р К 2К 7 (57) Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины н Р называются соответственно: — — скоростной, — — пьезометрической ' 2й ' т и е — нивелирной высотами. Сумма этих высот Н называется гидравлической высотой. формула (57) прнволит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометричесьгой и нивелирной высот, сохраняет постояннск значение вдоль любой линии тока или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гилравлике открытых русел )каналов, водосливов и др.). Предноложнм, что силы веса в рассматриваемом случае движения имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково, напри мер, движение газа по трубе, при котором вес газового столба 149 тзоввма вввнялли опред „ределяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц пренебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим газа, газ в движение. В этом случае потенциал сил веса может быть опущен и уравнение Бернулли приобретает более простой внд: Р+ — сопзг. ррй 2 (58) Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезометрическим напором, второй — скоростны.и или динамическим напоРом, сУммУ их †полн напором.
В игом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при ста. иионарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии обеемных сил полный напор, Равный сумме скоростного и пьевометрического, сохраняет свою величинр вдоль любой линии тока или вихревой линии. При изотермическом движении сжимаемого газа (Т = сопз1, Р = сопз1), функпия давлений 27 по (72) гл. 11 равна (индекс 0 ь оаначает некоторую произвольную точку нзотермы)ь У = — 1и —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
