Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь вид Лого — + =Ю'о г 2 (64) или, вводя полярный угол 6, я)го м гоз1п 6 — '+ ', =66 о 2 айго 1' 2в '1т 4 ° 101 1 еь Ь4 - 60 - 60( 2н 9,83 приближенно представлено так: и"го г = го(1 + — — о)пт 6) . Ао Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли (86) г, — гм1„1 отго, ! о= гм1 2 «о 600 ' 1"еодезическне измерения приводят к величине в деа раза болыаей.
Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого приближения об однородности Земли н„ что самое главное, неучетом взаимного притяжения частиоь язме1иющего в корне самый закон притяжения к центру. При Если бы Земля не вращалась (ч =О), уравнение свободной поверхности свелось к равенству г = го и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращения, 1 совершаемого Землей (м =- 1/сея), фигурой равновесия служит тело вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсоз сферу — сфедонд, уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости безразмерной величины 9 19) длвлвннв жидкости нь повввхность талл 117 9 19.
Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой жидкости. Случай вращпющейсп жидкости Главный вектор и главный момент снл давления жидкости на некоторую твердую поверхность о определяются интегралами (п — орт нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости) й= — ~ прбо, Е= — ~ гКпрйо, (87) причем поверхность о, вообще говори, незамкнута. В частном случае тяжелой жидкости, заменяя давление р его выражением (78'), получим; й= — 7 ~ пгбо, !.= — 7 ~ гХпгбо.
(88) е а Если поверхность е представяяег как угодно наклоненную а.юсную стенку, то п = сопз1 н первая из формул (88) дает й= — тпе ° о, а=уз, ° е, (89) ггге е, (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С "ло'цзди о. Равенство (89) показывает, что главный веюиор сил давления жидкости на любую ллоскую площадку, как угодно наклоне""Ую к горизонту, равен ло величине весу цилиндрического столба бин жидкостна, имеющего своим основанием площадку, а высотой — глуну центра тяжести площадки лод свободной поверхностью жидкости, этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы откосителького равкоеесяя еращиюягейся жидкости, что делает строгое решение задачи весьма сложным. Параду с решением задачи о разыскании равновесных фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в действительности.
Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и мехашши, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости движений. Мировую известность приобрели работы в атом направлении создателя современной теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова (1857 — 1918), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия вращающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г. Маклореном (эллипсоцд вращения) и з 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид). А, М.
Ляпунов исследовал также фигуры равновесия вращающейся неоднородной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии. Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позяхи все что было сделано з том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным французским математиком А.'Пуанкаре (1854 †19). Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л.
Чебышевым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым. 118 основныа ззлвнання движения н яавновасия (гл. и Зтот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и получил естественное для своего времени наименование гидростатическоеа парадокса. Вектор-радиус гч и координаты центра даеленип Ц вЂ” так называют точку приложения равнодействующей Ц системы параллельных сил давления на площадку — можно найти по теореме о моменте равнодействующей: г„~(11=- — т ~ г)~ (90) Возьмем в плоскости расположения площадки а следующую систему координат: ось Оу' проведем вдоль линии пересечения плоскости р1н 99 со свободной поверхностью, ось Ох' — по перпендикуляру к оси Оу' вглубь жидкости, ось Ое" — по нормали к площадке вниз.
Замечая, что п = — (с', и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости; х=х'соей, с=х'япй, у=у', получим, проектируя (90) на новые осн, х)с = т ~ х'с да, е„' = О, б у,К=1 ~ у'едз, а или по (89): (хпц ( х'у'де а х =- и а с а с е =-О. ч Обращает на себя внимание факт независимости полоскании центра давлении от наклона плои1адки.
Как показывают формулы (91), задача об определении центра давления жидкости на наклонную площадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и центробежного момента пдощади. Кади поверхность з замкнута и ограничивает некоторый конечный объем -., то по (87) и интегральной формуле (70) гл.
1 полу ам: Й = — ~ пр дч = — ~ 8таб р дт. ч (92) Б случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению эйлера (57), кгаб р = ри, (93) где 8 — вектор ускорения силы тюкести, р — плотность жидкости. Подставляя в (89), найдем й= — ~ рйдт= — б. (94) Равенство (94) показывает, что главный зекгпор сил давления ~идкости на поеерхноспгь погруженного з нее тела равенна величине весу жидкости з обаеме тела и направлен а сторону, противоположную силе веса. Это — классический закон Архимеда. Силу 11 иногда называют архимедовой нли гидростатической подземной силой в знак того, что зта сила стремятся вытолкнуть тело нз инакости, заставить его всплыть. Тяжелое тело, погруженное в жидкость,, теряет" в своем весе столько, сколько Весит выгесненная телом жидкость. Легко находится также и главный момент сил давления жидкости на погруженное тело.
Имеем по (87) и ин гегральной формуле (73) гл. 1: К= — ~ гХпрае= ~ НХргйс= ~ го1(рг)ат илн, применяя известную формулу векторносо аналнаа го1(рг)=рго! г+угабу Х г, "Рнводяшую в данном конкретном случае к равенству го1(рг) = — гХ кгайр, го1г=б, так как получим 1.= — ) ЕХйгздра нли, согласно (93), 1. = — ~'г Х райт, 5 191 ЛАзление жидкости НА пОВеРхнОсть телА 119 120 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. П Замечая еше, что вектор-радиус гя центра тяжести Ц вытесненного объема равен гч= . 3 РГФ' 1 г ц=а3 и что, очевидно, б й'=ц К> получим по (94): — ~" гррйт)( П = — гч~ О =гав)с. (30) 1 г Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора 1с сил давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести П (рис.
30) вытесненного телом обяема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра тяжей я сти погруженного твердого тела С с центром тяжести вытесненного объема жидкости П; Погруженное тело, например корабль, может быть неоднородным, с переменным размешением масс в нем; при этом центр тяжести будет занимать различные положения по отношению к твердому телу, центр же тяжести вытесненного жидкого С С оавлееесие гсзейсивес I / об ьема зависит от формы внешней поверхносги твердого тела и при данной форме этой поверхности будет занимагь вполне определенное положение. Если данное твердое тело будет занимать различные положения в жидкости (например качка корабля), со положение центра его тяжести по отношению к телу не меняется, С С Равновесие неустеичивее центр же тяжести вытесненного Рис.
30. объема будет при этом перемещаться. По терминологии, установившейся в статике корабля, центр тяжести вытесненного обьема жидкости называют центром величины. Твердое. тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, центр величины окажется на одной вертикали с центром тяжести.
Если при этом центр величины лежит выше центра твкести, то такое равно~весие будет, Очевидно, устойчивым (рис. 30, наверху), если же центр Величинь1 окажется расположенным ниже центра ддкести, то такое вьвление жидкости нк поневхность телА 121 9 19) равновесие будет неустойчивым и пара сил (и, 0) опрокинет тело (рис„80, внизу). Отклоним плавакяцее тело на малый угол а от положения равновесия, при котором точки С и Ц лежали на одной вертикальной прямой 11.. Через новое положение центра величины Ц' проведем вертикаль до пересечения с отклоненным положением прямой ГЦ в точке М, называемой метацентром. ' Расстояние й между метацентром и центром тяжести тела определяет метацентричесную высоту. Пара сил (й, ч1), в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь момент Е =1И ив а.
тогда получим й — — ~ ой до — ( ро> г >1 ° — 0 — ря> г (98) где под г' подразумевается вектор, направленный по кратчайшему ч Расстоянию от оси вращения до центра тяжести вытесненного объема Ц и Равный по величине этому расстоянию 1 Г г' = — ) гдт. ч (99) Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на поверхность тела складывается из архимедовой подъемной силы, ана~о~ичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще дололнив>еленой архимедовой силы, Й' = — Рмтг"т = — Ммаг', (100) ч ч~ игра'ошей роль центростремительной силы притяжения тела к оси в Рашеиня и Равной по величине произведению массы жидкости М Предполагается, конечно, что з силу матеряальной симметрии пересе'>ение действительно осу>дествйтся, Если метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение равновесия, если метацентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.
Рассмотрим в заключение еше вопрос об определении главного вектора сил давления однородной тяжелой жидкости иа погруженное в нее тело лри равномерном вращении жидкости вместе с погруженным в нее >лелом. Примени>> вновь формулу (89), по заметим, что в настоящем случае градиент давления по (80) будет равен: я>ядр = — Р и>ад П+ ря>згв йгадге =рй+Рмаг*; (97) 122 осноВные твьвнзния дВижения и РАВнаВесия ~гл. и в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения н кратчайшее расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости. Полученный результат можно положить в основу объяснения многих явлений н прежде всего описания процесса центрифугировииия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
