Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1 Вектор ( — — ягабр1, станций в правой части (5) и равный р 1 йщ — ! — р ьт-ье Рде ! Ьа согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный к единице массы главный вектор снл давления илн иначе силу обвал!- ного действия давлений е данной точке. Вектор г дает, как обычно, отнесенную к единице массы собственно объемную силу. н перепишем уравнения так: дтх 1 др — =à — —— дР в рдх' дзу 1 др — = Гг — —— дР р ду' дтг 1 др — = à — — —. дР р дг Будем предполагать, что Г . Г„, Г„так же как и р, рассматриваются как сложные функции Г, и, Ь, с через х, у, г. Умножим обе части первого уравдх ду дг неяия на —, второго на —, третьего на — н сложим между собою. Тогда, аа ' ди ' ди вводя обозначения: е д + " д г д ах ау д» Оь(й" Ь ') =Г" де +Гав да+Г- д г д! ()е(й и.
Ь, с) = Ге — +Ге +Ге — > дх ду дг а ас 'д' п замечая, что по формулам др дх дх да ар а дх дЬ др дх дх дс производной от сложной функции: ар ау ар а ар + — — + —.— =— ду ди д» да да ' др ду др д» д1з + — — + —.— =— ду дЬ дг дЬ дЬ ' др ду др дг др ду дс дг ос дс ' Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лиеранжеемх переменных 5 и, Ь, г (ф 3). Для етого заменим в уравнениях Эйлера ускорение на его лагранжево выражение: йу дт — = — г(й а„Ь, г), йе дР Ли дтх Ло дту дш дгг т дР' де дР ' де дР 127 УРАВНЕНИЙ ЛВИЖВНИЯ ИДЕАЛЬНОЕ ЖИДКОСТИ ф 20) чим, повторяя указанную операцию умножения уравнений Эйлера на получим дк н к, ...
с последующим сложением левых и правых частей уравнен ь ,„й уравнения динамики идеальной жидкости в лаеранжевой форме: (7) рассьмтривая переменные Лагранжа а, Ь, с, как криволинейные координаты точки М(х, у, г), можем придать величинам Яа, Яь, Ц смысл приве- 1 др денных к единице массы обобщенных объемных снл, величннам — — —, Р да 1др рдЬ' р дс , — — — — приведенных к единице массы обобщенных сил объемного действия давлений; выражения, стоящие в левых частях уравнений, д"г представят, с втой точки зрения, проекции ускорения ф = — на оси крнво- дР линейных координат а, Ь, с в точке н1 (х, у, «). умноженные на соответствую- щие параметры Ламе На = и др.
Поскольку в уравнениях (7) неизвестными являются функпии: х(й а, Ь, с), у(й а, Ь, с), г(Г, а, Ь, с) н р(й а, Ь, с), то направления криволинейных осей наперед не известны, позтому дальнейшие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике производят при составлении уравнений Лагранжа второго рада, не представлтот интереса.
Отметим, что при наличии потенциала объемных сил 11(Л х, у, «) = = П(ф а, Ь, с) и функции давления Ьу (Л а, Ь, с) уравнения (7) йолезно еще преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам дП дс ' 1 др даР р дс дс ' дП 'са = да ' др дар р да да' дП Юь= —— дЬ 1 др дзр р дЬ дЬ' дтк дх —..— + дР да дтк дк — — + дР дЬ дтк дх, дР дс д'у ду йтз — — +— дР да дР дту ду дте — ' — +— дР дЬ дР дту ду дૠ— — +— дР де дР а д«1 др н-в —,и дг 1 др — = Π— — —.
дс в р дс 1 (гл. ш дннАмикА идеьаьной жидкости и ГАЗА будем иметь: дУ дгт д l рэ т ду. +в + ь) ~ о' ")= дь дь) = дь 1 2 ) дЬ' ду дгч д Грэ ~ дь + э — + гс — ) = — 1 — — Эг — П) = —. дс дс) дс 1, 2 ) дс (7') Выражение А, стоящее в скобках справа, представляет разность приведенных к единице массы кинетической энергии движущейся среды и суммы потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давления н внешних объемных сил. Это выражение может быть названо приведенной к единице массы аагранлсевой функцией или кинетическим потснииалоло о интеграл этой величины эв некоторый интервал времени (Го, Г) со — приведенным к единице вассы действием.
УРавнениа (7'), после интегРиРованиэ их по вРемени в интеРвале (Го, Г) могут быть приведены к виду: дх ду дг дхо и — + и — +то — — ио —— да да да да дх ду дг дх„ и — + — + дЬ дЬ дЬ дЬ д ду дг д; и — + — + дс дс дс дс д, дА — шо -х — = д.„ дго дА дго дА = .1 о дс дс'1 дуо Ро да Ьъ ео дЬ ддуо нов дс ( а) Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших выводов, вид, указанный впервые казанским профессором И. С. Громека (1851 — 1889).
Для вывода этого уравнения выделим в левой части уравнения Эйлера (5') из выражения конвективного ускорения потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую формулу векторного анализа 8таб(а ° Ь) (Ь-т)а+(в ° т)Ь+ЬХго1в+аХго1Ь и положим в ней: в = Ь = Ч; тогда получим: йгаб ( д ) = 0~ Р) ч1+ 'Р Х го1 11 Пользуясь этим общим векторныы соотношением, прцдаанм уравнению Эйлера (5') форму уравнении Громана — + йтаб ~ — )+ го1 11 Х 17 = à — — йтаб р. дЧ г Р'~ 1 дг ~2) (8) Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда объемные силы имеют потенциал П и движение ба от опно, т.
е. т тянь»я» движения идеальной жидкости суще ествуег функция давления прн в „ ~ыполнении этих условий будем иметь: — дид р — стад гг 1 г равнение Громека (8) перейдет в следующее: д + дтаГ1 ( и + У + П) + го1 Ч Х Ч = О. (10) Введем обозначения: Е= й +з1+П, (11) (12) М =-го1Ч. Величину Е, равную сумме приведенных к единице массы кинетической энергии среды и потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давлений и собственно объемных сил, можно было бы назвать приведенной к единице массы полной механической энергией. Величину Е не следует смешивать с ранее введенной лагранжевой функцией К.. Уравнение (10) может быть представлено в более краткой форме так — + Втаб Е+ ь) )с,' Ч = О, или в проекциях на декартовы оси: (14) Уравнение (13) или его аналитическое представление (14) связывает чисто кинематические величины Ч и Я = пн Ч с динамическими характеристиками силовых полей И и В'.
Переписывая это уравнение з форме дЧ вЂ” +Я тс Ч= — йтзбЕ, дг видим дим что при баротропном движении идеальной жидкости или газа, независимо от каракпсера и физической суигнослти дейстеуюи1их 9 з ье4ьл г.лмм ь ди дŠ— +— дг дх до дŠ— +— дг ду ды дŠ— +— дг де +йзте — Я,о = О, + Я„и — Я„,тс О, +Я,р — Яяи = О. 1зо !'гл. !и ляньмикз идвзлыюй жидкости я гззз го! ( — + Я К У) = О, илн, что все равно, дй — +го1(Я ~ У) — О. Раскрывая дифференциальную операцию вихри от векторного проны.
ведения по правилу векторного анализа: го!(Я Х У) =(У ° 7)ьг — (1в ° 7) У+Я 51гУ вЂ” У51чгс и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно равный нулю, булем иметь й+(У- )41=(а. Р)У вЂ” 1151чУ- Вспоминая, наконец, определение индивидуальной производной по времени, получлм — „= (Я ° 7) У вЂ” Й й1м У. (15) Уравнение это, составленное для частного случая несжимаемой жидкости еше Гельигольцем, было указано нзвестным советским механиком А.
А. Фридмаиом и названо им уравнением динамической возможнос!ли движения. Итак, при принятых ограничениях оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие уравнению (15), Само собой разумеется, по поля скоростей, полученные в результате интегрирования уравнений движения„будут удовлетворять уравнению динамической возможности (15); важно„что, не решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать общее условие, связывающее кинематическне элементы движения. Другой важный физический смысл уравнений динамической возможности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой вихревых движений. ГГолагзя в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости равным нулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения равновесия, являющиеся, естественно, частным случаем уравнений движения; подчеркнем еще раз, что уравнения равновесия верны не только для идеальной, но и для любой реальной жидкости или газа.
В случае баротропного движения уравнения движения (13) нли (14) не содержат явно плотности, так как плотность исключается при помощи силовых полей обвсмлых и поверхностных сил, левая, чисто кинематическая, часть этого равенства представляет пол!вппипльный вектор. Следовательно„не всякое поле скоростей может быть создано в баротропно движущейся идеальной жидкости под действием потенциального поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕР1ИН 6 й! равнения баротропного процесса. Этот факт не представляет специфического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в случае баРотРопного движенна также могУт быть пеРеписаны в вектоРной форме: — + (Ч ° т) У =- г — йтаб Ю дН нлн, в проекциях, в виде системы уравнений: Š—— д9' ду д$' Š—-- дх * не зависящих явно от плотности, й 21.
Закон сохранении энергии в движущейся идеальной жидкости. Аднабатнческое движение. Сохранение энтропии В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот же механизм молекулярного переноса: в первом случае †количест движения„ во втором †кинетическ энергии хаотического движения молекул, Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости, как жидкости без трении, отказаться одновременно и от теплопроводности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачн (например, лучеиспускания). Изложенный в предыдущей главе Общий закон сохранения энергии в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следующую интегральную форму — р(УС,Т+ — )ит = ~ рР ° ЧЖ вЂ” ~ рп ° 7~7о+ ~ РУдгй. (16) 0 Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу связи между теплоемкостямн газа с, с„ и газовой постоянной 7(со с ) Ю (17) формула (17) легко-выводится из определения теплоемкости при постоянном давлении ср, как отношения элементарного приращения отнесенного к единице массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
