Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 31
Текст из файла (страница 31)
33 б), вышел ышедшую в начальный момент времени из точки О, и будет непрерывн шно играть роль центра образования новых сферических воли. Чтобы ддижеоие дозогоооое (а) > иЪ доижение гдедпдоиодое 1аЬи11 Рис, 33. найти область возмущенной среды в случае сверхзвукового движения источника возмущений, напишем в момент времени д=д уравнение поверхности сферической волны, вышедшей нз точки А в момент ,"Ре"енн Г, и найдем огибающую всех таких сфер к моменту 1=д. "ечая, что в момент д центр рассматриваемой сферы будет занимать на оси х положение я= их, а радиус сферы, как легко сообразить, б е улет Равен г=а(д — Г), получим уравнение сферы в виде (х ит)я+уо+ зя ая (д (15) Чтобы ы найти огибающую этого семейства сфер с параметром т, соста"астную производную от обеих частей (15) по д и исключим д .
пяь л г. л и о. Ий одномшный поток нднлльной жидкостй )гл. гт из совокупности полученного таким образом уравнения (х — иг) и = ав (Š— Г) и предыдущего уравнения (16). Из уравнении (16) получим: их — алу г —— ит — ат ' ат(иг — х) х — иг= — — — —, ит — ал и (иг — х) ит — ат ' после подстановки зтнд величин в уравнение (1б) найдем: аз — — аз(иг — х) +у + =О, (17) или, переносн начало координат в точку х=х = иг, аз у +г и' — ал 1' (18) где 6 — новая координата, заменяющая х по формуле х = с -1- х = $+ иг.
откуда следует яп а =- —, а = згс з)п —. (29) и' и Условимся н лальнейшем обозначать символом М и называть „числом М" отношение скорости движении тела сквозь ненодвижнма газ к скорости распространения звука в нем, а также отношение скорости движения газа в данной точке к местной скорости звука. 1 т Отношение зто не имеет установившегося наименования. В ззгранвз' вой литературе его взвывают „числом Мала"„иногда,числом Бврстоуч Согласно новым данным, имеются основания именовать зто отношение .числов Маиевского" в честь известного русского баллистике Н.
В. Мзневсного. Авз логичное, но существу„отношение рассматривалось задолго до перечислен выл авторов Эйлером (см. ~о етому поводу нашу монографию,Авродннышлз пограничного слоя", Гостелиздзт, 1941, стр. 42 — 49, а также стечь" Ф. Й. Фрзнкля в ДАН, т. 1ХХ, га 1, 1950„стр. 39 — 42).
Равенство (18) прн и)а представляет уравнение кругового конуса с вершиной в точке А, осью симметрии Ох и углом раствора а, удовлетворяющим равенству бковость звяка; число )ч( Формулы (20) прн принятом обозначении перепишутся так: 1 1 ыпа= — а=йся1п —, И' М ' (21) причем „„ „ в рассматрнваеьюм случае сверхзвукового движения источника возмущения л ) н Определяемый уравнением (18) конус будем называть конусом „ур нлд, а угол а — углом возмущений. В случае плоского двнння газа роль „конуса возмущений" будут играть дае пересекающиеся прямые — ллниа зозлушгнил. Область вне конуса возмущений представляет область газа, куда к моментУ (8=ф прихода источника возмУщений в точкУ А РаспРостраняюшиеся в газе возмущения еще не успеют дойти.
Если, например, источником возмущений служит самолет, летящий в воздухе со сверхзвуковой скоростью, то в области вне конуса возмущений звукоулавливатель З (рис. 33) не обнаружит самолета, как бы близко к самолету ни был расположен звукоулавливатель. В области вне конуса возмущений воздух будет иметь невозмущенные давление и плотность. Иная картина получится при движении самолета, если скорость его еще не достигла скорости звука. В этом случае возмущения, создаваемые самолетом, опережают движущийся самолет и создают возмущенное поле скоростей, давлений и плотностей впереди самолета.
При принятии модели несжимаемого воздуха, возмущения, как была ранее сказано, распространяются с бесконечно большой скоростью, т. е. мгновенно; в этом случае возмущения, производимые полетом самолета„передавались бы мгновенно в сколь угодно удаленные точки воздуха, окружающего самолет.
Рассмотрим теперь обращенное движение: сообщим неподвижному газу мысленно скорость и, равную по величине скорости движения источника А и противоположную по направлению его движению. Тогда источник А станет неподвижным, а газ будет набегать на него со скоростью а. Такого рода стационарные потоки наблюдаются в сверхзвуковых аэродинамических трубах прн продувке в ннх тел столь неболь'ного размера по сравнению с полем трубы„что тела эти можно рассматривать, как точечные источники возмущения. Поверхность конуса возмущений представляет оптическую неоднородность, хотя и слабую' по интенсивности, но все же достаточно заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта о"тнческая неоднородность (изменение показателя преломления) объясняется изменением плотности воздуха под действием сжатиа или разрежения его в звуковой волне. Измеряя углы возмущений, по фотосним 'никам обтеканий можно определить соответствующие числа М, ,а зна ная скорость Распространения звука в среде,— и абсолютные скоРости потока.
164 одномзпный поток идяальной жидкости [гл. щ На рис. 34 и 35 показаны схематически конусы возмущения, вызванные носиком и пояском летящего снаряда при двух различных числах М. Рис. 34. Звуковые волны, распространяясь в ограниченных стенками каналах, отражаются от стенок и образуют сложные сетки линий возмущения. й 28. Распространение непрерывных воамущеннй конечной интенсивности. Характеристики. Образование разрывной ударной волны В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными отклонениями давлениа, плотности и температуры от их равновесного значения и очень малой по сравнению со скоростью распространения авука возмущенной скоростью. При однородности полей невозмущенных элементов (давления, плотности и т.
п.) в неподвижном или квази- твердо поступательно движущемся газе скорость распространения звуковых волн была всюду одинакова и зависела только от физических констант А, лт и абсолютной температуры газа. Как это следует из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине интенсивности возиущений того или другого знака (относительного сжатия или разрежения газа) растут илн убывают и скорости абсолютного движения частиц в возмущенном газе. Можно предугадать, что распространение возмущений конечной интенсивности вызовет в покоящемся или движущемся поступательно как одно целое газе появление новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на конечную величину.
Такое конечное изменение поля скоростей, согласно закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению термодинамнческих элементов потока, а следовательно, и к изменению самой скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить указанную в конце 8 27 тенденцию увеличения скорости распространения звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны й 28) РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ 165 (23) к виду дР дР ди йр др 1 дф ди 1 д~ — — +р — +и —.— = — р — +р — +и — р — =О, Р ! дх йр дх ик де дх ик дх после осле чего система (1) перейдет а следующую: да ди дат' д + д д 1 дф ид4У ди и де+и дх дх' (24) 1В В! .
- ° 1е ш ап и, (!Ьег гйе Рог!р!!Зпквпи еЬепег 1.пйнейеп топ епд1!с!1ег вчпевпйач»е!!е. ЛЬЬзпд1, д. От. 6. 7дек, кп Оо!Ппсеп, 1860. сжатия ия н, наобоРот, Уменьшениа этой скоРосги пРи пРохождении волны „ты разрежения, го можно себе представить, что последовательно ующиеся слабые волны сжатш! должны будут догонять друг руга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все „ньшие и меньшие скорости распространения, т.
е. будут друг от друга отставать. распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет, „нм обрааом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих Волн. Это пРиведет к обРазованию плоской (в РассматРиваемом Одномерном слУчае) волны конечной интенсивности, распространяю, ейся со скоростью, превышающей скорость звука, н тем ббльшей, чем больше интенсивность волны. ТакУю движУщУюсЯ по отношению к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного скачка скорости, давления, температуры и плотности газа — называют ударной волной.
Изложенные качественные соображения о механизме возникновения ударной волны можно, следуя Риманну," подтвердить и с количественной стороны. Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1), Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а, равную по предыдущему величине местной скорости распространения звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа в рассматриваемой точке потока йр (22) Пользуясь функцией давления м', которую можно рассматривать и как функцию плотности по формуле Р Р Р Ф» Р» Ы преобразуем второе уравнение системы (1) др ди дР— +р — +и — 1=0 де дх дх 166 одномяБный поток идвлльной жидкости [гл.
(т ег новую функцию (Б, соотношением Введем теперь вместо функции давления связанную с нею простым дифференциальным да= а да (26) Тогда система (1) может быть переписана в форме: ди ( ди да( '3 + +и — = — а —, + дх дх (26) д6' ( д(я ди — +и — = — а —, д( + дх дх' откуда сложением и вычитанием легко гюлучить более удобную для последующих выводов систему уравнений: —,',Р+иН-(и+а) — „' Я+и)=0, 1 (27) — (У вЂ” и)+ (и — а) — (ег — и) = О.
[ д( дх ' 1 Левые части уравнений (27) представляют одномерные индивидуальные производные. в первом уравнении от величины 6'+и для точки, движущейся со скоростью и+а, и во втором (гд уравнении от величины а' — и / для тачки, движущейся со скоростью и — а. Равенство / Б,=аж(у(и а( нУлю этих индивидуальных / производных говорит о соВг Бе=асс(у(и-а( хранении величины Бе+и Б, в точке, движущейся со ско/ ростью и+ а, и величины / и — и в точке, движущейся со скоростью и — а. Полученный результат Б имеет следующий геометриРис. 36. ческий смысл. Рассмотрим в плоскости аргументов(х,Г) семейсБво (с~) (рнс. 36) кривых, определяемое дифференциальным уравнением — (а0, =и+а, (28) и в(орое семейсБво (сз), огвечающее решениям дифференциального уравнения Ых — =(60 =и — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
