Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 65
Текст из файла (страница 65)
мшем. я мехап,. т. Х111, гв 2, 1949. в 66) гвпштка пяоеилвй в докяитичвоком потоке 361 Рис. - 119 К (Р, — Р )1+9, (1 9,) Ч вЂ” Ра(1 Чй ту (оо) причем, со~ласло закону сохранения массы, М1 Ч)-ря(1 Ю (69) Вектор й на основании (69) принимает значение (нк') К =(р,— р,)1 — р, (1. Ч,) Чю гле Ул обозначает ранее введенный векслер девиации (отклонения) скорости потока решеткой Ча = 'т'я — 9п (70) По теореме Бернулли для адиабачическсчо я изэнгропвческого потоков имеем: последнюю теорему на случай решетки в докритическом потоке сжимаемого газа. Рассмотрим (рис. 119) плоскую решетку в сжимаемом газе и условимся обозначать величины в бесконечном удалении перед решеткой ицкексом „1", а за решеткой — индексом „2". Выберем в качестве кон- $', грольной поверхности (н» рис. 119 показана пунктиром)„так же как и в слу- ут чае несжимаемой жидко- ~а =1га "К сти, две линии тока, .
~ у смещенные друг по отношению к другу на шаг 6 ' ~Г ох и два сечения а, и аа трубки тока, ограничен- а ной этими линиями тока. Применчя теорему количеств движения в форме Эйлера (гл. Ш) к кон- Ут гуру контрольной поверхности, будем иметь выражение главного вектора сил давления потока па профиль я виде (1 — вектор-гпаг): кз 36) Рвшвткь пвоэилвй в доквитичаском потоке 363 Легко видеть, что вычитаемое в квадратной скобке представляет величину порядка Ль; действительно, по предыдущему: р,— р,= — "', (Л,' — Лз) ~1 — 2 ~, (Л'+Л,')+ ! Рг+Рз Ро ~ 2(к+1) ( ~+ )+ — ~) = в(1' — Л7) ~1+ — (Л„-'+Л!)+ ...~. (74) Итак, с ранее принятой степенью приближения Р,(!.
Ч,) =.Р. (4- Ч.). Подставляя полученные выражения р, — рв и р! (1 ° Ч!) в основное соотношение (68'), окончательно получим следующее приближенное равенс гво: К=р,„(Ч,. Чв)( — р„,(1-Ч„) Че=р„,Ч, )((! ~ Ч„), (75) представляющее искомое обобщение теоремы Жуковского на случай решетки, обтекаемой сжимаемым газом при не слишком близких к докритнческнм значениям чисел М, н Мв вдалеке до н за решеткой. В ранее цитированной нашей работе приводится анализ порядка ошибки, возникающей при польювании этой приближенной формулой. Относительная ошибка не превышает величины О,2 (М', — Мзз) з. Таким образом, приходим к следующему выводу." при докритическик скорого!як подземная сила профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, межень приближенно определяться по формуле Жуковского длк несжимаемой жидкости, если плотность твоа жидкоспги приравнять среднему арифмегпическому плоРпностеа газа вдалеке перед и за решепгкоа.
Как показал Э. М. Берзон,! аналогичное обобгцение теоремы Жуковского будет иметь место с той же степенью приближения, если вместо среднего арифметического плотностей взять среднее арифметическое о' соответствующих удельнмк обьемов газа до и за решегкой нлн, что все равно, среднее гармоническое р плотностей о~+ от 1 1г! 11 о' = — или —,= — ( — +-).
м Рм 2 Р~ Рь Заметим, прежде всего, что в этом случае равенство (73), в котором Р„, заменено нар', выполняется точно. Действительно, прибавляя г Э. М. Б возов, О свае, действующей не профиль в решетке. Труди Ленинградской военно-воздушной ввж. зкзлемяв, выв. 27, 1949.
к обеим частЯм (69) по РавномУ количествУ Р,(1 ° 'оРо), бУдем имать: р,1. (Р,+ЧД=(р,+р,)(1 Ч,), или, леля обе части на Яр,р, Рэ 2 2 Р1 Ро — — (-+ — )(1 "Рв)' 1г,+Р, отсюда сразу следует искомое точное равенство р„'(1.Ч )=р,(1 1Р,)=р,(1.~г,). (73') Составляя разность р р Р1+ Ь 2Р1ро (Рг+ ро)о — 4Р1ро Р1+ 01 2(Р1+ ро) н вспоминая (74), видим, что с выбранной степенью точности р„ совпадает с р'.
Можно доказать, что теорема Жуковского для решетки в сжимаемом газе выполняется тонно, если заменить аднабату (изэнтроиу) 11 на касательнУю пРЯмУю в точке (Ро, — ), а Удельный объем ВРннвтт Ро равным среднему арифметическому удельных объемов газа до н за решеткой. Дли этого, полобио тому, как ого делалось в й 54, прежде всего перейдем от переменной Л к переменкой р, равной и / 2 11 = — = ао' — Л, = .=~ а+1 ' тогда уравнении изэитропического движения нримут вид: Р Ро(1 Р) 1 й — 1 '2-3 Р = Ро(1 — — — ~ — Рэ) а замена изэитропы касательной к ней будет эквивалентна использованию равенства й = -1„ в силу этого получим: Рг — Рэ*=ро1$1+ Р1 — р 1+рэ) =Ро Ф'1+ Р,'+ М1+ Р', ( + ) (г 1 +ко+ ) 1 +Рэ) Р1э 2 Р1 Ро 2Ро 364 нлоскоз ББВВВБРБВОВ движвинк сжимазмоГО ГАЗА (Гл ч1 6 56) (Ряшаткч проонлкй з докрнтичкском потока Отсюда будет следовать: Рг — Рэ 2рв ч "э "ог что прн А = — 1 и аэ = — —" дает Ро Ро 1 Рт — Ра~ 2 Рм(~а Узх) = РмЧш'Чв.
Подставляя в равенства (66') полученное значение рх — рт, а также значение 2,(1-У,) из (73'], окончательно найдем: й = Р,э (Уш ° Ув) т — Рм (т ° Ум) Уе = рмЧм Х (1 ° Чв). (76) Итак, главный вектор скл дазлеикя потока иа профиль в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, при докритнческнх числах М выражается той же формулой Жуковского, что и в случае обтекзяня несжвмаемым газом, это оказывается верным постольку, поскольку нзэнтропа заменена касательной к ней в некоторой промежуточной точке, а платность газа положена всюду равной срелнему гармокическому из плотностей газа вдалеке перед н за решеткой. При расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной степенью приближенна использовать линейную изэятропу, кзк это делалось в 654; при этом естественно пользоваться н предлагаемым обобщением теоремы Жуковского.
Относительная разняла между средней арифметической р„, и средней гармонической р из плотностей до и за решеткой ие существенна твк как Ф я Рм Рх+ Рэ вапрнмер, для воздуха (й = 1,4) это отношение ие превосходит 4в(э от малой величины ()ч — "т) ° Вопрос об учете влияния сжнмаемости газа на распределение давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке с данными параметрами еще не доведен до практического решения.
ПРинципиальной особенностью задачи об обтекании решетки сжимаемым газом по сравнению с изолированным профилем служит наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга. ((ак было показано в й 51 (рис. 103), прн возрастании числа М в дозвуковом потоке Размеры области влияния обтекаемого профиля также возрастают. Поэтому, если попытаться в грубом приближения свести обтеканне профиля сжимаемым газом к некоторому У~ювному потоку несжимаемой жидкости (вспомннть % 52), то следуем 1) увелнчнть, как н в случае единичного профиля, в Р'1 — М,'„ Рзз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное Расстояние между профилями в то же число раз, т.
е. М1 — И„" 1 Уменьшить в — — — — раз относительный шаг. Таким образом, влияние Р'1 — МЯ ЛВГ1 плоско~ пазвихрввог дввжвниг Сжимаемого глзл 1гл. чг й 67. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „Характеристики" уравнений плоского сверхзвукового потока Линии возмущения н нх основные свойства Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют графические и аналитические методы приближенного решения задач сверхзвукового обтекания, опубликованы также и некоторые случаи гочных решений простейпгих задач.
Изложению этих вопросов посвящены специальные курсы газовой динамики.в Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов движения сжимаемого газа имеют „линии возмущения", представление о которых уже было дано в 8 28 гл. 1Ч при изложении нестационарного одномерного движении газа и в 9 51 настоящей главы при исследовании линеарнзированного движения. Рассмотрим некоторые общие свойства линий возмущения в плоском беавихревом сверхзвуковом потоке.
Вернемся к основной системе дифференциальных уравнений плоского потока сжимаемого газа Г4) и Г5). Обобщая прием, изложенный в 9 28 гл. 1Ч при решении задачи Риманна о распространении „конечных возмущений", составим линейную комбинацию уравнений !4) н !5); умножим соответственно первое из этих уравнений на Л„, вгорое — на л и сложим их между собой.
Тогда получим: ), (аз — иа) — + ГЛ,— ),вие) — — (Л,+Лапе) — +), Гаэ — е.) — =9 ди ди де де ! ди Лг — Л,ие ди1 Лз Гаа — и") ~ — + — — — )!— ~ дх !ч!ах — их) ду) — ГЛ, + Ляие) !ь —— Где >в(ах — ех) де1 — 1= О. 'Ьдх л,+Лгпи ду~ 177) г Си. ранее цятяроваввую впту Липмана и Пакета, стр. 206. з Подробный и полный обзор ояубликоваивых исследований по воиросаи сверхзвуковой аэродинамики как советских, так и зарубежных ученых си.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
