Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Условимся обозначать в дальнейшем индексом ° 1' все величины до скачка, индексом „2" †пос скачка; кроме того, применим индекс г для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка и индекс и †д нормальной составляющей скорости. Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 124» будем иметь: 379 СВВРХЗВУКОВОй ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА ф 591 а) согласно закону сохранения массы: РР =РВР'т в) по тому же закону в проекции на нормаль к поверхности раздела: рь + Р~ ь'а! = ра+ Рь)'т' г) на основании закона сохранения энергии: 1 2 ь ° ! ь 3 1 + 2 (1' + р" ) = 'е+ 2 Юь + !' ). Из уравнений пп. „а" и „б" сразу вытекает основное для теории косого скачка равенство утверждаюп!ее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения составляющая скорости, касательная к поверхности скачка, сохраняется; скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая.
Переписывая уравнение энергии (и. „г") в виде 1 з . 1 1т+ — Кн = !а + — Кы 2 .2 н сравнивая послелнее уравнение, а также уравнения пп. „а" и „в" с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, убеждаемся„ что уравнения косого скачка совладают с уравнениями Прямого скачка, составленными для нормальной скорости. Отсюда можно заключить прежде всего, что между отношениями давлений р~/р, и плотностей р.'р, до и после скачка будет существовать та же связь, что и при прямом скачке, это †известн уже нам Ударная (неизэнтропическая) адаабата, определяемая равенством (43) в 29 гл, 1Ч я показанная на рис. 42.
Приволя поток перед и за косым скачком уплотнения каким- нибудь адиабатнческим и изэнтропическим процессом к покою (индекс „0"), получим на Основании уравнения п. „г": 1ю=гю='о Тьэ=Тю=Те а!о = азэ = ао отсюда сразу следует также, что: Ф В е Т, Тз= Т, ах= — аз=а. (94) б) по аакону количеств движения в проекции на касательную к поверхности раздела: Рь)'в~1м = Рягяя)ья> 380 плоскоь вазВихгквое движхниз сжимАемОГО ГАВА [гл. т! Итак, при прохождении заза сквозь косой виток уплотнения сохраняюглся температура и скорость звука в адиабатически и иззнтроиически занюрможенном сазе, а также критические значения темперигиуры и скорости звука, Переписывая уравнение Бернулли чь А+1 в виде а~ив а А+ 1 с 1~се А+1 Г, А+1 — г' — -") 2+А — 1 2(А — 1) 2 2(А — 1)~ А — 1 л А — 1 а' — — Ъ;, А+1 так же как и исгвнная критическая скорость сохраняющуюся, со- гласно (93) и (94), при переходе газа сквозь косой скачок уплотне- пиа.
При етом вместо известного соотношения для прямого скачка [формула (54) гл. [ч'[ еь 1' К =ае получим обобпгенве этого соотношения на случай косого скачка: ,ь А — ! з Ь вЂ” и "5 (1'ь (95) Замечая, что, согласно рис 124: Ь;„= (с,мир, Р „= 1' жп(р — 6), ) Ь', = 1', соя [! = 1'зсоя(р — 6), получим по (95): (95) в А — 1 Г,Г мпрз[п(р — 6)=ае — — )с[соячр, А -1- 1 Откуда соь (6 — 6) ичч 1 А — 1 1 сов 6- ~ в!п Рая (6 — 6) + — соз 6 сов (Р— 6)~ А+1 — = соз р * ~з(п р !и ([1 — 6) + — соз р ~ . г А — 1 *1 А+1 (97) заключаем, жо, как ранее было уже указано, для расчета косого скачка можно с успехом использовать формулы расчета прямого скачка, если только за скорошь принять нормальную составляющу!о действительной скорости Фт а за критическую скорость величину па и* пиесе Ме Лп «6 Еп ее «О Е.О Папа е пе е с и м П,п «О 0 ° е е О сепии Нова ромов ллв расс в мосас смвимв.
с 6 Ь р Сс ,В 66 «О «О О.е сввгхавяковой поток внгтви твпого тгль 881 8 89) з ПеРейдем еще обычным обРазом от Л( к Мм тогда бУдем иметь: 1 1+1 1 м — 1 М" 2 Ла 2 = — а1п р соз р 1и (р — 0) — — м — ипз р, (98) а+1 а — 1 Зто соотношение являезся основным для теории расчета косого скачка Задаваясь числом Мт и углом 0 поворота потока, по (98) найдем угол р скачка с начальным направлением потока. Заменяя в формуле прямого скачка (72) гл. 1Ч число М, на М,з1п(1, соответствующее нормальной составляющей скорости, получим отношение давлений в потоке за н перед косым скачком: — — М,мп р — — ~-. ра 2а а .
а — 1 р, а+1 а+у. (99) Перейдем н давлениям рьз н ряз аднабатически и нзэнтропнческя заторможенного газа до и за скачком. В полном согласии с ранее выведенной для прямого скачка формулой (75) н заменяя в ней мл~ на МЛз1п'р, получим: а — 1 з я ..=, 1+ — ц — з!и р 2 Напомним, что нагуральный логарифм этого отношения пропорпнонален возрастанию энтропии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения. Аналогичным путем выведем вырюкение числа Мз за скачком через число М, до скачка и угол р: м — 1 з 1+ — М Ма со5» 0 а — 1+ аМ» з!пер —: — 1 + — М,' я|пар 2 Пользование формулами (98), (99) и (101) требует сложных вычислений, для избежания которых предложены различные графические приемы. Рекомендуем номограмму, ' позволяющую по заданному числу М, до скачка и углу поворота струи 0 определять угол р скачка с начальным направлением потока и величины Мя и — в порам рт токе за скачком.
Поясним пользование номограммой на схеме (рис. 125), р» а «р,„, Л м, 'с а, ~ » р.».» А Е. Пакета. лнх ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА 1ГЛ. 91 при 0 = — Ее, Выбираем на верхней горизонтальной шкале точну М, =Мкь соответствующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой, представляющей зависимость Р от М,.
Получаем в пересечении дяе точки, которым соответствуют два наклона линии скачка: и Р= РА, отсчитываемые, как показывают стрелки, по леной верти- Рис. 125. / кальной шкале номограммы, а также две пары значений: МАА и Ме, (-') ~ ) ° и и 1 — ), которые можно найти на правой вертикальной шкале «( ~РА!' чисел М н горизонтальной шкале 1 — "А~1. Из указанных двух физи- ~,Р1/ чески возможных наклонов косого скачка в действительности, как будет пояснено далее, может осуществляться лишь тот, при котором происходит более слабое уменьшение скорости и числа М, а следовательно, более слабое увеличение давления; такому скачку соответствует меньший из двух указанных на номограмме углов РА и ре.
Если пРоследить за напРавлением возРастаннв величин Р, Мя и Ря/Р1 по шкалам номограммы (на схеме рис. 125 эти направления указаны стрелкамп), то пригодным решением окажется система значений ро1 и /РА1 Мю и ~ — ), соответствующая нижней, „рабочей", точке номограммы. ! 6 591 сввгхзвтковой ~оток внттРи ттпого ггль 383 рассматривая номогРамму более подробно, заметим, что не при всяком начальном значении числа М, можно найти величину угла 11 скачка с начальным направлением потока, Каждому значению угла отклонения потока 0о соответствует некоторое значение М~, при кото- Ф ром вертикаль Мг= Мг пересечет кривую ~(мг) только в одной точке Р=Р (Рис 125). При заданном 0о н М, <, М~ получить косой скачок вообще нельзя. Этот факт можно проинтерпретировать и несколько иначе: при любом заданном числе М, набегающего потока можно указать такое л1аксивев Юьй Фее мальное значение 0 угла отклонения потока, что при 0„ > 0 построить косой скачок нельзя.
В этом случае явление усложняется тем, что скачок перелгещается вверх по потоку, отходит от вершины угла, образуя так называемую головную волну, о которая уже была речь в гл. 1Н. Схема такой волны на примере обтекания клина показана на рис. 125. При 0 > 0 обтекание остроносого профиля становится аналогичным обтеканию тупоносого. Если угол поворота потока 0 устремить к нулю, то сеыейство кривых ~(М,; 0), показанных на номограмме жирными линиями, сведется к нвкнея кривой (0 = О).
как это следует из уравнения (98), будем иметь при 0 = 0: 1 1 —, =ипр, р:+ агсз1п —, и М т. е. в этом случае косой скачок превращается в,линшо возмущения". Обращаясь теперь вновь к вопросу о двузначности решения задачи о наклоне косого скачка, можем сказать, что в действительности осуществляется тот нз двух возможных скачков уплотнения, которыя ближе к „линии возмущения". Соединим меящу собою на номограмме вершины кривых Р(М,), соответствУющие значениЯм М, =- Мб тогда междУ втой кРивой Рь (Мь) (на номограмме и схеме рис. 125 показанноя жирным пунктироы) и линией р (М„О) окажется заключенной вся рабочая часть номограммы. Возьмем точку пересечения кривой ~0(Мп О) с вертикалью М, в верхней части номограммы и, не уменьшая числа М„устремим 0 к нулю; тогда р станет равным 90", а косой скачок — прямыи.
Но 384 плоскОе Безвихвезое движение сжимАемОГО ГАЗА (Гл. щ при стремлении б к нулю, т. е. при непрерывном исчезновении причины вовмущения (наличия угла), нет никаких физических оснований абразовываться прямому скачку с характерным для него реаким изменением параметров движения; наоборот, естественным является вырождение косого скачка уплотнения в „линию возмущения", которое и произойдет, если точку пересечения кривой Р(МО 6) с вертикзлью М, взять в нижней (рабочей) части номограммы. Номограмма наглядно показывает ход изменения параметров движения газа при прохождении его сквозь косой скачок уплотнения.
Обратим внимание на специфическое отличие косого скачка от прямого. Рис. 127. Каков бы нн был начальный сверхзвуковой поток за прямым скачком, движение становилось дозвукояым, в случае косого скачка это уже не так. Пользуясь рабочей частью номограммы, легко заключить, что каковы бы нн были начальные числа М,) 1 до скачка, значения Мя за скачком хотя и уменьшаются, но оказываются все же большими единицы; за косым скачком, таким обравом, поток остается сверхзвуковым. Отсюда следует, что в косых скачках не должны происходить столь резкие изменения в параметрах газа (давлении, плотности, температуре), как в прямом скачке.' Это приводит и к более слабым превращениям механической энергии в тепловую, к меньшему возрастанию энтропии, а следовательно, и к меньшим потерям.
Значительно меньшая по сравнению с прямым скачком интенсивность косых скачков с успехом используется для борьбы с потерями в прямых скачках, например, в головной волне перед тупоносым обтекаемым телом (ф 32 гл. 17). Идея замены прямого скачка, переводящего сверхзвуковой поток с высоким значением числа М сразу в дозвуковой, системой косых скачков, последовательно уменьшающих число М„ оказывается весьма Г См., например, табл. 5 % 31, гл.
1Ч. 9!9) свс!'хзвукОВОИ нО!Ок Впугви Гуно!О уГла полезной для практики. Так, например, для Го!о„чтобы ослабнп вредное влияние головной волны, образующейся нз Входе в реакгивный двигатель самолета (нспомнить рис. 44) и уменьшающей естественное и полезное сжатие воадуха в камере горения, конструкцию Входа изменяют. Помещая на Входе в двигатель (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
