Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В полной аналогии с приведенным в н 13 гл. 1 выводом формулы Стокса для циркуляции вектора по замкнутому контуру егнкиия '.ГОКА. вяктонный потзйцилл 1 Но, как уже ранее упоминалось, функция — представляет простейший г случай ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению т ®=0 (в чеи легко убедиться н непосредственным днфферегщнрованнем), так что окончательно найдем; тг = — — ягад ) — ~ — ) г(т 4к 3 дп ~г) (З2) Сравнивая эту формулу скорости с определением потенциала скоростей Г (1З), видим, что искомый потенциал скоростей равен (ЗЗ) Прежде чем перейти к другим примерам пространственных течений, введем в рассмотрение функцию тока.
й 68. Функция тока н ее связь с векторным потенциалом скоростей. Функции тока простейших течений Согласно (10) 2 60 уравнение песжимаемости жидкости будет иметь вид — (Н,НР,~+ — (ИзоР,,')+ — (Н,Нв);,) = О. д д д Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, НаПРИМЕР Ъ'я„ПОВСЮДУ РаВНа НУЛЮ; тОГДа ПРЕДЬЩУЩЕЕ УРаВНЕНИЕ СВЕ- дется к более простому: — (Н,Н,Р )+ — <Н,НР,,)=0. д д В этом случае можно утверждать существование такой величины ф, что будет выполняться система равенств: дев (34) Г ч дц' а припоминая выражение потенциала двойного слоя (22), заключаем, что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити ь с циркуляцией Г совпадает е потенциалом двойного слоя диполей, располозкеяяих по поверхяости г, опирающейся яа контур А, и имеющих одинакозую по асей поверхности плотность распределения момента, разную циркуляции вихревой кити; совпадают при этом, конечно, н поля скоростей.
Доказанназ только что гндродннамнческаа теорема представляет аналог известнои теоремы электродинамики об эквивалентности кругового электрического тока полю магнитного листка. пгосталнстванноа ввзанхгввоз движвниа !гл. уи или: д*) )г И,О, дй ' 1 дт (84') Рб) которые легко получить, приравняв проекции скорости )га и (гч, гч выраженные через и, согласно (Щ и (9), и через ф, согласно (34'). Простейшим нрнмером существования функции тока служит плоское движение несжимаемой жидкости. Рассмотрим осеси.киетричное относительно осн О» движение несжимаемой жидкости, протекающее в мерцаиональных плоскостях, проходящих через ось О».
При таком движении существуют все три декартовы проекции скорости и, э и то н все они зависят от трех координат х, у, », так что из уравнения несжимаемости ди до де — + —,+ — =Р дх ду дх пе следует существования функции тока. Между тем, если условиться исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической нли сферической системе координат, то, написав, согласно формулам, помещенным в конце $6Р, уравнения несжимаемости а одном из следующих видов: д(гь)гг,) дР; д(гец) дге дч ое д (гЧгг мп 6) д (г)г„), д (г)гч мп б) дг + де ' да и заметна, что, а силу сделанного предположения о мерндиональности движения, члены с \г, пропадут, будем иметь следую|цие выражения проекций скорости череа функцию тока: а) в цилиндрической системе координат: г" да дх д) ) д(л 1= дг Ф= * д 'Такого рода величина ф, через которую могут быть выражены две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат, называется функциед тока.
Потенциал скоростей у связан с функцией тока, если она существует, следующими соотношениями: () 63) Функция тОкА. ззктозный потанциАЛ б) в сйаерической системе координат: 1 дф У = —— гза(ПВ дз ' 1 дф гзпгв дг гвУ„мп О = —, дф = ав гУзз(па= —— дф а (37) У»,= Нг — „ й»з по (34') найдем: — йа + — 'йдз=йф- О. дф дф а»з з д»з Слецовательно„ вдоль линии тока ф = сопз1, В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридиональным плоскостям (з = сопз1) равенства ф .=--сопя( представят некоторые поверхности, которые можно было бы образовать вращением линий тока вокруг оси Оя. Этн поверхности нааывают аоеерхностяли тока; нз самой оси Ое можно положить ф= О, тогда значения ф будут определять обвежияй расход жидкости через любое ортоеональное к оси Ое сечение трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока. Функцзю тана можно рассматривать как одну нз составляющих векторного потепцнала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством (24).
Лействнтельно, согласно атому равенству и формулам (11) имеем: 1 1'д(Н„А, ) д(НА») 1 У =го1 А Н»Нз 1. а»т д»з Га(Н,А ) а(Н,А»)1 гог А г» Нзнг ( доз аа, У»,=го1 А — ~ 1 т Вмбирая вектор А перпенанкулзряым во всем пространстве координатным повеРхпостзм»з = сопз1, бУдем зметы А А =О, У»=О, 1 д(НАА») ~ъ = н,н, а»ч а(н,А,) Введенная уравнениями (34) нли (34') функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении. Замечая, что: 406 проствлнствннноа ввзвихвввоз движение (гл. ви Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных простейших движений.
Для этого используем формулы (36) н (37). 1'. Однородный прямолинейный поток со скоростью т(, параллельной оси Ож В иилиндрической системе координат имеем: 1 дев 1 дфв Ив= О= — — $г = И= — — —, ге дев ' ' г" дг* ' следовательно фв = — — 1'г 1 2 В ссберичесиой системе координат 1 дф $гг= Исояб — гтзгп5 дб 1 до )~т= — Импб= — — „ гтп0 дг * Простое интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает: ф = — Иг' сдпв О.
1 2 (38) 2'. Исто чник (сток) дает простое выражение для функции тока в сферической системе координат. Имеем: )l = — =- 1 дф 4ягт гташб дб ' 1;=О= — — ' 1 дф гзшб дг ' откуда нетрудно получить Осоя б ф = — 4 + сопв1, или, подбирая константу из условия ф = О при б = О: ф = — (1 — соз О). 0 4к (33) 3'. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (18'), будем иметь по (37) систему уравнений; т соя б 1 дф 2ггз Гтзш б дб ' тяжб 1 до 4яге гзш6 дг ' потожнв Н ев = ф(ео о ), а козфЧ1нцненты Ляме н величину А, — не завн- Э еь сящнмн от бз, получим формулы (34'). Так, например, в сферической нлн цилиндрической системах координат вектор А должен*быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного я, н не зависеть от м 407 й 64) ОвтекАнив сФеРИ.
ПАРАдокс ДАлймБЫ'й откуда следуем дб- = т — - яп О соя ~ь, др т — = — — ящ О. др т дг 4ггь Легко найти интеграл этой системы, обращающийся в нуль прн В=О: (40) $64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее тело. Парадокс Даламбера Точно так же, как это имело место в случае плоского обтекания круглого цилиндра, можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Оя, со Ряс. 140.
скоростью Ь' на поток от диполя, ориентированного вдоль этой осн (рис. 140). Складывая функции тока (38) и (40), найдем функцию тока составного потока: ф= — 1г гяйпяб+ — йпэй=1 — К,гя+ — 1япяб. (41) ь ь =(,„,) Нулевая поверхность тока ф= ( — $г та+ — ~яп'0=0 г1 т т 'ь„2 Аььг г' Раэбивается на уравнение поверхности сферы: Нь Газам — — — =- Па 2Г1г ь пкосттлнствкннок вкзвихкквок движкник рл. тп где а — радиус сферы, и уравнение осн Оз: 0=0, к,...
Ъ'„= — в= 1г ~1 — ( — ~сов6, дз 1 2(г)) (44) Сразу видно, что на поверхности сферы (г = а) вытюлняется основное граничное условие непроницаемости твердой стенки: У„= 1г„=о, а на бесконечности (г-+ со): 1г, 1' сов0, (Гг= — (г в1п6, т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по вели- чине Кч и направлена по осн Ов к положительную сторону. Как это уже делалось ранее при изучении плоского движения, разобьем рассматриваемый поток на два: 1) однородный невозмущен- ный сферой паток со скоростями Ъ' „= К сов0, в~~в= — (г в1а0 и 2) поток от диполя, представляющий возмущение однородного потока сферой; lачз ӄ— (г (-) соз0„ (,г) Отсюда следует, что, желая получигь обгекаиие сферы радиуса а потоком со скоростью )г на бесконечности, направленным вдоль оси Ов„надо положить в выражении функции тока (41) пг= — 2кав)Г „ тогда будем иметь ф= — (г ге~1 — ~-Цв1пз0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
