Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 75
Текст из файла (страница 75)
По общим формулам (35) $63 и (53') будем нметы дЛ Н '~ с(1 р)3 дф Н>Н, дт дч дх — Н„ив дт Н„Н, ду дэ — = с(Лз ц ди Ит дЛ дЛ ' или, после подстановки разложения (55): дэ ((Лв — 1) ~~ Ач ~," Р„+р(Лз — 1)~. ч Переписывая второе равенство в вив,е — =с К (Л 1)~Ао щ Ро+,~ Ач — „," Р„+и1 ч=т и полагая коэффициент Аз=О, подставим пов, знак суммы выражение для Р„из основного дифференциального уравнения функций лежандра (54')т Р = — — — (1 — нз) —" ° Л Г ЛРч1 л(л+1) др! дн ~ пРОдОльнОЬ ОвтвканиВ твл ВРащвния Тогда будем иметь: — = — с (г (х — 1)~~ (1,в) дф Я я (из Ал лб„о ( ЙР„1 др (ЛЯ л(и+Ц ~0.
йр ~ в Интегрируя по р, получим окончательное выражение для функ- и;аи тока: ф= — — с К (1 — 1)(1 — рт)~ У,. — ' — ' —" — +1~. (55) 1 Г кч 2А„й(У„аРо со ~.Уа л(л+о Ц йь йр Уравнение „нулевой" поверхности тока будет: — — — +1-О, Х 2Ал ~%в йРв л (л+ 1) оХ лр (57) Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов А„, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.т Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость по формуле: ~(йв 1)~ '(~~~Ал в Р („)+51 + в х +(1 — р')~~АЩ,Я вЂ” — ","о+11 ~.
л Полагая в уравнении (57) А„= О при л> 1 и Х = 1о, получим: 1 1 о ' См. С. Кар1ап. Ро1епйа1 Нам аЬош 6(опйаыд ВеИеа о( Кето(пйоп. МАСА йер. № 516, 1й35 г., "в этой статье вопрос об определении козффппиентов А„сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений; более простой приближенный метод, применимый к удлиненным телам, будет изложен далее в 5 68.
Произмпострируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание эллипсонда вращения, меридиональное сечение которого имеет уравнением птосп ьнствьннов ввзвихззвоь движьниь ~гл. тп Потенциал скоростей будет равен по (55): 1 Л+! ~ — лж — — — ! 2 !†! „Г ~ — !п — —— о 2 Л вЂ” ! Л вЂ” ! (56) зз 1 газ сззз + а~(Ле — 1) откуда следует: сЛе=п. с г Ле — 1=5 )га' — зз с или, введя эксцентриситет е =— а а' Леты —, г 34 — 1 =-. е' С' В этих обозначениях получим: Л!п7 1 1 Л+1 — - — — с) 2(Л, р)= — )г а р.
(58') 1 14ье 1 — 1п 2е 1 — е ! — ез Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению эллиптических координат! при с- О е-ь О, сЛ-ь г, 1ь-+ соей, где г и 5 — сферические координаты. Проивводя разложения! 1 = — 1= ~-л+з —.+" ) > 1— Л 1п !+ =2(е+ 1 +...) с<1, и заменяя е на †, убелимся, что и' при - 0 - 1'- !1+2!(Ф)'1. т. е. к извес!ному уже по 2 64 вы)жжени!о (43), Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно поиуоси эллнпсонда а и Ь с, а, расположенные, соответственно, по осям Ов и Ог*.
Будем иметь, согласно (53), уравнение эллипса Л Ле в виде: 425 9 67) попегячиов овтькаиие тел ВРА)цвиия Проекции скорости иа оси эллиптических координат будут ) 1 Х+1 е- —. )) — ). 1и — — 1 ! дт /! — ра 2 Х вЂ” 1 -) е ХХ ди 3Г ~е — иг~ 1 1+е е ~ — 1п — —— 2 1 — е 1 — ее 1 Полагая здесь ), = )е= —, убедимся, что иа поверхности эллипсоида 1'„=О; это и есгествеико, так как коордииатиые ликии (Х) перпеидикуляриы к поверхности эллипсоида и условие У„ = О эквивалеитио условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенствам: ее у,е 1/ 1 — и 1 1+в е' ! — егия е — — (1 — ее) 1п— 2 1 — е Полученное только что решение отиосится к обтеканию эллипсоида вращения, удлиненного едала ло течению.
Подобным же образом можно было бы исследовать и менее интересный с практической стороны случай обтекания сплюснутого эллинсоида, фокусы меридиоиальиого сечения которого лежат ие иа оси Ог, а в меридиоиальиых плоскостях.' В только что цитированных курсах приводится также решение более обшей эадачи об обтекании эллипсоида, у которого все оси различны. В 67. Поперечное обтекание тел вращеиия. Пример эллипсоида ира)деиии Наряду с продольным обтеканием тела вра)пеиия, параллельиым его оси (рис.
147 а), представляет интерес и поперечное обтекание, перпеидикуляриое (рис. 1475) к оси симметрии тела. Иа сложения этих двух потоков можно получить обтекаиие тела вРащения под любым углом атаки, что весьма существеиио. Выясним идею решения задачи о поперечном обтекании тела ерин!енин. В этом случае уже ие получается осесимметричиого движения. еравиеиие Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ~ См., например, И. А.
Кибел ь, Н. В. Кочик и Н. В. Ровс, Теоретическая гидромехаиика, ч. 1. Гостехиадат, 1948, стр. Й8 — 859. а также Г. Л а м б, Гидродивамика. !'остехиедат, 1947, стр. 175 — 181, !~з тв огосгнансгввнноь ввзвихгзвоа двюквни~ ортогональной системе криволинейных координат, согласно (12) % 60, иметь вид! Сохраняв ту же систему координат (Л, р, з), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращении, н припоминая выражения козффициентов Ляме (53'), перепишем предьшуи1ее уравнение в форме: — ~(Лз — 1) дЛ ~+ 5- ~(! — 9~) — 1+ ~„+ — ) — = О. (59) Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций су = йГ(Л, р) Е (з); тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (59) и разделяя функции неаавнснмых переменных, получим систему уравнений (А — произвольное число, которое будем считать положительным и целым): Первое уравнение имеет решение Е=Асояйа+Вшпйз, второе„если положить Ф= А (Л) М (з) и разделить переменные аналогично тому, как зто ранее было сделано в уравнении (54), может быть ириведено к системе уравнений И( — )й1+~ (+1) —,="„1 =О.
— ) (! — уз) — ~ + ~ л (л+ 1) — ) — -й1 М = О, кмеюшей в качестве частных решений так называемые присоединен- ные функции Левспндрп!г (60) д„", (Л) - (л — 1)"н."'~",1"-). т см, например, е. унттекер и Г. Ватсон, курс совремевного анализа, ч.!!. Госгехнааат, 1934, стр. Ий, попвтвчное овтвклние твл втьщзния Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенпиала скоростей возмущенного движения было ограниченным при Х -ь со, получим общее выражение потенциала скоростей: ОЪ ОЪ в= Х Х Яч(1)Рч(р)(А„ьсовйе+Вялз1пйе)+ 1г х; в=о в е здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью иа бесконечности У , направленной параллельно оси Ох (рис.
1476). Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала: В, =В„,=В„=... =О, А„, =с1/ С„, т. е. довольствуясь решением, содержащим соз е, и, кроме того, представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию Х, р и сс л = г" соз е = с зв с з1п С соз е ==- с)l Х~ — 1 1' 1 — рв соз е, получим следующее выражение потенциала скоростей поцеречно набегающего со скоростью У вдоль оси Ол потока: <~=сУ созе ~~', Свф„'(Х)Р~~(р)+с%' )" ьз — 1 у~1 — рвсозе, в е или, используя определение присоединенных функций Лежандра (60), и= сЪ' К~У~ — 1 у'1 — йя~~ С,— „" — э+ 1) созе.
(61) Для определения постоянных С„, как н ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае ле осесимметричлого движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость У„=— дт дп и приравнивать ее нулю. Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе координат (Х, р) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его мериднонального сечения параллелен составляющей скорости в меридиональной плоскости (условно Скпльженин жидкости на поверхности тела) ,Ь„3Ь„ ь'г ' пгостРАнстввнное БеаВИЕРеВОе движение (гл. Ри или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий, Н1411 — - =Н„ЕЪ: — —. 1дт.1де 'НьдЛ " ' Нидн' Отсюда вытекает искомое граничное условие НР— г =Н1 — —, з дт Адт да д ди ИР' (62) в котором Л является заданной функцией р, согласно уравнению кон- тура обтекаемого тела в меридионалъной плоскости.
Составляя частные проиаводные —, — от выражения (61), будем иметь: дт де В 1 +)г(Л~ — 1Н1 — р~) чч С„~~," ~"", и 1 + ~'С" — Н1 — ),"),С.-„-" — „',". и 1 Заменив входящие сюда выражения вторых проиаводных на основании дифференциальных уравнений функций У'„и ф,: (1 — ЛЯ) Ф = 2Л В' — (л + 1) СР„„ (1 —,ЯЭ вЂ” '" = 2р —. (л+ 1) даР„ЕР„ дна ЛР И получим после простых приведений 1 ду 1 — Ра ч~~ дф, дР„ ЕК, соачдЛ К 11-1 С4 "ЛЛ Л~ в=1 / Ле — 1 ~~ ЩОв ГЛŠ— 1 — — 1Л(Л-Г.1) С вЂ” вР— р ЕГ 1 — Ра Ф ч Р" 1 — вя' и 4 436 прастранстввнйае зззвихряйов %Виженкой 1гл чп Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вращения приводит, как это видно нз содержания настоящего и предыдущего параграфов, к необходимости проведения а каждом отдельном случае трудоемких вычислений. Эти вычисления могут быть значи~ельно облегчены, если рассматриваемое тело имеет значительное удлинение.
и 68. Продольное и поперечное обтекввие тел вращения большого удлинения. Приближенные выражения граничных условий. Применение тригонометрических сумм для определении коэффициентов А„ и С„ В большинстве практических приложений пркходится иметь дела с телами вращения, удлинение которых, т. е.
отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8 — 12). Так же как к в теории крылоного профиля, это объясняется хорошей обтекаемастью такого рода тел реальной жидкостью. Расчет обтекания тел врацення большого удлинения может быть произведен приближенным методом, значительно более простым, чем изложенный в предыдуших параграфах. Изложим вкратце основную идею этого прнбляженнога метода, принадлежащего Я. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
