Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 78
Текст из файла (страница 78)
мгжно интерпретировать как секундные изменения некоторых „ирисоединеннмл" к движущемуся телу количества и мвлгенпьг кали честви двимсения. Обозначим через К и Я" главный вектор и главный момент количеств движения самого твердого тела, а через Р и М вЂ” главный вектор и глазный момент внешних сил, приложенных к телу, ломимв коэееицнентн „пгнсоздинвнных мьсс 4а1 1 711 ,еакпид жидкости," тогда по теоремам количеств движения и моменте колнчеств диокения, примененным к твердому телу, будем иметьп ьзи, что зсе равно: — — р! рп г»1= г ас ~, 1' ) е — ~О» — о ~ 7(гоп) сЬ)=М, Ф (85) Сравнивая систему уравнений двюкения твердого тела в жидкости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте дК» ач» — Р— =М аг ь ас э »аключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто к главному вектору количеств движения его К», благодаря наличию зозмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество двискенин В= — р ) ~ридо, (86) а к главному моменту количеств движения твердого тела Я» „при- соединился" добавочный момент количества движения Л = — р ~ е (г~(и) до.
а (87) Уравнения движения (35) можно переписать в форме — „(К +В)=Р,,— а +д) М, Н и (88) а векторы В и 3 наавать, соответственно, „присоединенными количеством движения и моментом количества движения. Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела то и угловой скорости ю вращения тела ва свкланнне с телом осн координат, пронумерован их по порядку так: ио тп «а ~Ь «во тв1 ~и ~Ъ $ ~Ь ~» '7»~ й 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая энергия. Определение „присоединенных масс" поступательно движущегося цилиндра, шара и аллипсоида 442 пэостванстввмнов визвихэввов движения (гл. тп Аналогично положим: в =в„ Вэ=вя, В =Ва; У =В», Ув=в», У =В. В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет: 7= ~~~', ЧРо (89) Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на поверхности тела е системой равенств (80), тогда в новых обозначениях вместо (86) и (87) будем иметь: » в В»= — р) <Р— »1а= — р ~ ~„д„<~ь — »Ь= ~~~1»аул Ф ! а'1 э 1 (1= 1,2...,„6), (96) где введено обозначение: "»ь= Р ~ 9иое Рдт 71=1, 2, ...,6~ (91) Величины 1сы вычисленные в связанной с твердым телом координатной системе, представляют некоторые послгоявмые, зависящие лишь от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному <р» от времени не зависят.
Являясь коэффициентами в выражении „присоединенных" количества и момента количеств движения через обобщенные скорости ды величины Хы играют роль анерпвонных коэффилиенглоэ, „присоединяющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные выражения количества движения и момента количества движения самого твердого тела. Так, например, проекция количества движении твердого тела, массу которого обозначим через т'", на ось Ох будет равна." К = ~ Ъ' 8т - ) (во+ мэз —,у) 8 ьФ в" =т*ве+»»„~зй⻠— ю, ~удаи*= ю~ аэ' л»~и~) + в»влц03э шеуцм где у, и з,— координаты центра тяжести тела; отсюда в новых обозначениях следует: К~ — — и» ~7»+ «» ля» — ш у»7». б 7Ц коэФФицивнты „пвисоздинянных ИАсс 443 Проекция на ось Ох суммы количества движения КФ и „присоединенного" количества движения будет равна1 К~+ В1 = (ат + Лы) ч1+ Лоув+ Л1а17з+Л1ече+ + (1наее+ Л1а)йа+( — гн*у.
+ Л1е) бе. Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффициенты Лга „присоединяются" к инерционным коэффициентам в выражении проекции количества движения твердого тела: Лн — к массе, Л, и Льт — к статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае дополняют члены, отсутствующие з выражении проекции главного вектора количества движения твердого тела Вот почему инерционные коэффициенты Леь обычно называют коэффициентами лрисоединенных масс.
Тридцать шесть коэффициентов „присоединенных масс" обладают свойством симметрии, т. е. не зависит от порядка индексов. Чтобы это доказать, составим применительно к рассматриваемому объему -. следующее известное соотношение: вставайт= ~ веб1т(Кгаб~ра)сИ= % = ~ 61т(всдгабва)бт — ~ ятабве-игабвадт, и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком индексов; тогда получим общую формулу: (йг7ауь — ваРз71) с7т= ~ йт(вейтабва)гй — ~ СГР(вайтаб7Е)ат. Замечаи, что в силУ гаРмоничности фУнкций Р, и вь интегРал слева обращается в нуль, и прнманяя в правой части формулу Остроградского, приходим к равенству: Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при удалении поверхности сферы е на бесконечность, стремится к нулю 444 пгосГРАнстввннов Бязэихаввое дВижение (гл. тп ог имеет порядок †, ††пор †),.
тогда будем иметь: ( два 1 1 да тра 1%=~' " или, по определению коэффициентов, присоединенных масс", 1 Л Т= — 2~" и Не=9- 1" а бГ.а бйб = =- ) 41~(9а~аб~р)бт — ~ у7%рле= Г 2 .1 Ф Ф вЂ” Руне+ ) т а и вновь замечая, что прн удалении поверхности ео на бесконечность второй интеграл обратится в нуль„получим аналог известной уже нам по $36 гл. Ч формулы (21) на случай внешнего обтекания тела1 Т= — — г в — гЬ. 2 ) ° дл (92) Подставим сюда разложение потенциала скоростей е по потенциалам составных движений уб тогда, перемножая суммы, найдем искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости через скорости тела и „присоединенные массы": 1 Т= ~ '~~ 1„9,9,.
(93) е гл Сравнивая это выражение с (90), получим связь между „прнссединенной" кинетической энергией возмущенного движения Т и „присоединенным" количеством движения: дТ ~91 дуг (94) что и доказывает свойство симлешрии этих величин. Таким образом, из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае движения твердого тела, различных оказывается лишь двадцать один. Присоединенные массы 1,„входят коэффициентами в выражение квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного движения жидкости от скоростей движения твердого тела. Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный интеграл: Если написать в развернутом виде выражение кинетической энерпа самого движущегося твердого тела: «ж =-(~ (лв+яЬ+~в)+ ллв к, (о,Вв,— твемв)+ ввв +~ .у.( ..— -.)+ '.("; — "-.)+ + ~хвЬв + ввмв + ув'Ь вЂ” 2гвввввВ⻠— йгввмвмк — йувввввГвв), то легко убеднться, что прн „прнсоедниеинн" кинетнческой энергия возмущенной телом жидкости Т к энергии самого движущегося тела Тв коэффицненты Л;ь так же, как и в случае векторов количеств н моментов количеств движения, „присоединятся" к соответствующим ннерционным коэффициентам в выражении Тв: массе, статическим моментам, моментам инерции и центробежным моментам.
Это еще раз поясняет смысл коэффнцнентов Л,~, н пронсхожление нх названия „присоединенных масс". Конечно, термин „масса" здесь следует понимать в обобщенном смысле как величину, характернзующую инерционность вообще. Пояснкм изложенное несколькими примерами. Пусть круглый цнлщир раднуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, совершает поступательное двнженне вдоль оси Ок, перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью ие, являющейся заданной функцией времени Л В этом случае (вспомнить формулу (44) $39 гл.
У н выделить нз нее потенциал 9 возмущенного движения): авч /1т е к -.- — ' ('; —,)= — (ф" - '(',-.,')- — ()ве — „ к я сове = — ле(фпв-~ — — — оя в —, г г" н коэффнцненг при ие(Г) будет играть роль „единичного потенциала" еы равного лв я~ = — созе. гв Единственный коэффициент „присоединенной массы будет равен по (91): Лп= — р ~ ~Рву-в гв<Ь~==йп ~ соз вввв=крл =лв о о где и — масса жидкости в объеме цилиндра, приходящемся на единицу его длины. Давление жидкости на цилиндр будет определяться по формуле: сЩ, вг — — ле(г) = ы лг е лг ° 446 птосттьнстввйной вазвйхвввов Двия1вййв (гв.
тй В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает, и имеет место парадокс Даламбера при ускоренном движении цилиндра реакция жидкости сушлствует, причем она тем больше, чем больше ускорение цилиндра. Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (тр— масса единицы длины цилиндра, г — внешняя сила, помимо реакции жидкости): видим, что его можно еще переписать так: (те +т) — = Р пар пс Под действием приложенной силы Р цилиндр будет двигаться в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить на „присоединенную массу" жидкости в обаеме цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
