Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Тогда условие непроницаемости поверхности даст: У'= — -У ~-, я (з) о'гэ 2ягэ о' аз ' откуда д(л) =2яУ г* —, огэ (7б) причем гэ(з) представляет заданное уравнение контура меридиоиального сечения; 2) в случае ноязречяого обтекания тела вращения выберем гв(я) нз условия, чтобы элемент телз, вырезанный плоскостями з и я -«-к», обтекался так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении. Это Приведет к равенству: яг(я) = 2яУ,гэз (я), ф 70) ДВижение телА скВозь несжимаемтю жидкость 487 И 70.
Общий случай движении твердого тела сквозь несжимаемую идеальную жидн ость. Определение потенциалн скоростей. Главный вектор и главный момент сил давления потока на тело При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор всегда предполагалось, что илн тело неподвижно, а набегающий на него поток олнороден н стацнонарен, нлн же жидкость вдалеке от тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и равномерно, Именно в атом прелположенни был доказан парадокс Даламбера о равенстве нулю главного вектора снл давления жидкости на поверхность тела конечных размеров.
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного н ненаступательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (нлн как-нибудь иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс. Основываясь на доказанной в самом начале гл. Ч теореме Лагранжа, можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что, вместе с условием несжнмаемости, приводит, как н в случае равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана потенциала скоростей еозмутенин жидкости твердым телом: Рассмотрим граничные условия.
В силу непроницаемости поверхности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости движения частиц, соприкасающихся с поверхностью о лвнжущегося тела, по нормали к е должна в любой момент времени совпадать с нормальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности, так как в противном случае жидкость илн проникала бы сквозь поверхность тела или отрывалась бы от нее. Обозначим через че скорость полюса твердого тела, а через ю — угловую скорость тела.
Тогда, по известной формуле кинематики таерлого тела, скорость Ч любой точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса г, будет равна: р= — р,+ Х~, а граничное услОвие на поверхности тела напишется в виде — .+( х*).= дт = и пи+ оспе+тесл,+и (уП вЂ” гпв)+ +в,(зп — хп,)+е (хп„— уп„). (78) Здесь ио, сс, п~е и в м„оэ,— проекции векторов Че и ю на осн нееодайзсной системы координат Охуе с началом О, з данны4 438 пРОстРАнстВеннОе ВезВНХРВВОе дВижениь (гл.
тп момент времени совпадаюглим с полюсом тела; и, и„, п,— пров„ цни орта внешней нормали к поверхности в, направленной внуг обтекающей тело жидкости. Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворя егце условшо обращения в нуль прн удалении на бесконечность, гд жгщкость покоится: о -Р 0 при г-ч со, причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет поря. док 1ггв нлн более высокий порядок. Следуя Кирхгоффу, ' представим искомый потенциал о, как сумму гг' = иок1 + поев+ пговв + вгеов+ мерв+ вгвгвв (79) где функции о, предполагаются гармоническими, т.
е. удовлетворюощнми каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78) функ. цни гвв должны н» поверхности тела о удовлетвОрять условиям: двг дев дев — =п — „=п — = и д ' дп = в' ди = *' (80) дт дт» гв ди в В' ди и ы дп Р Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного данжо. ния гр сводится, таким образом, к определению гармонических, убывающих в бесконечности до нуля функций вго калгдая из которых, кроме того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности е.
функции о, имеют простой физический смысл. Как это следует из (80), функции в„вв и вв в каждый данный момент времени представляют потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела с единичной скороспгвю, параллельной, соответственно, осям Ох, Оу или Ог; функции ов, гвв и ов аналогично представляют потенциалы возмущений от чисто вращательных движений тела также с единичныма угловыми скороетя.ии вокруг осей Ох, Оу и Ог. Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную систему координат Охуг, которая в данный момент времеви лггноеенно совпадает с неподвижной системой Охуг.
В этой подвижной системе величины п, и„, п, не будут зависеть от времени и, следовательно, потенциалы .вг, ов, ., гув окажУтсЯ фУнкциЯми толыго координат. Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами изложенными в предыдуп1нх параграфах, остальные, соответствуюппле г См восемнадцатую лекцию нв классических „Чог1еввпдеп пЬег Мвгнегвв 11всне РЬувгй топ О КпсЬЬО11', Вгвгег Вапй, МесЬввф 1.егрггй, 1897.
сту. 277г 439 двюквние телА скВОзь иесжимАемую жидкость ТО) у дК вЂ” — Й+ 1с' дг откуда следует, что К=К вЂ” —, дК дг ' (81) Вектор 1с' найдем по формуле М = ~ РИОПОО> куда вместо давления Р следует, согласно интегралу Лагранжа— Коши (13) 5 36 гл, Ъ), подставить выражение: р -рд'(Π— — — Р— дт 2 дг1 причем, по условию покоя жидкости на бесконечности; при г-+со р р, $'-+О, 2-+О, функшы д'(1) в последнем равенстве может быть ааменена на постоенную величину р /р.
Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого Р получим: (82) 2 Р г ) фпа НОВ+ 2 1 1 япвдее е (' и и Секундное изменение дивного вектора количеств двюкения— дК дГ составим как сумму локальной производной количества движения в Обьеме т, заключенном между поверхностямн О и ОО, и количеств движения, переносимых в единицу времени сквозь „контрольные поверхности" а н ОА (вспомнить формулу (ЗО) ф 22 гл. Ш): дг дг ~ " ~ ~ и + ) ЙК д с ательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа, оряюшне своим граничным условиям (8О) на поверхности тела О, „,ке условиям обращения в нуль на бесконечности. а также П рейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента снл давле „,авлення жидкости на движущееся в вей твердое тело.
Заключим двюьг" '*е н — -*веса тело внУтРь некотоРой неподвижной сфеРы очень больго радиуса гз с поверхностью иа и применим теорему количест~ зимания к жидкой массе, находящейся в переменном во времени „бъеме т между поверхностями а и ОО. Обозначим через К вектор Оличества движения жидкости в объеме -., через гч — искомый главный вектор снл давления жнлкости на поверхность тела О И чеуез р' — главный вектор снл давления, приложенных извне к поверхности О; тогда б дем иметь: пвостранствинноз везвихиввов движение 1гл. та 44О Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства Ч=.йгабе и известной интегральной формулы, может быть преобразован к виду: д Г д Г д Рхе 18таб9йт= Р дг 1српиа+р де ~ипеиае, причем знаки мияус, стоящие перед интегралами по поверхности а в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен внутрь ващкости, т.
е. является по отношению к жидкому объему т ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от главного вектора количеств движения может быть представлена в виде: — = — р — 1епйа — р1 Ъ' тйа+р — ~ епвдаа+р ~ ритйав= й1( д Г Г д Г йс = дг,1 а дс.1 е Ф', и Г д Р йг 1 йийа+Р дс 1 Фпеиаа+Р ~ 1'а~дав. Подставляя полученные выражения Ц и — в равенство (81), вк получим после очевидных сокращений: 1с р ~рп йа+р ( 3/лп Ч Ч)да .
и Г 1 Замечая, что поверхность сферы ав возрастает с удалением от 1 начала кооРдинат как гвт, а подиитегРальнаа фУнкцин Убывает как —, заключим о стремлении второго интеграла к нулю н в пределе при гв — — со найдем окончательно: ге= р — 1 йпда. И Г = й1,1 Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момент» сил 1давлений1 Ь=р и 1 игКпгГа. и Г лай (84) Лействующие со стороны жиакости на тело силу и и момент 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
