Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(42) После этого уже нетрудно при желании найти и потенциал скоростей. Можно было бы проинтегрировать систему уравнений связи потенциала р с функцией тока ф, но проще непосредственно составить сумму потенциалов слагаемых иотокоа (10) и (10') т соз 6 р= 1г з — — (г г11+ — ( — 1 ~соз0= 4чгт 1 2( ) ) = и„ф+ '-( — ')'~.
(40) Иссзедуем полученный попж. Прежде всего найдем распрелеление скоростей: 409 оьтякьиив свины. нлгедокс ллллмвшм ч Б4) Скорости возмущения, как видно из последних равенств, быстро 1бывают с удалением от возмущакяцей поток сферы. Убывание имеет 1орядок обратной пропорциональности кубу расстояния. Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется равенством кв= — — У Ыпй. 3 2 Точки А и 8 (рис. 140) будут критическими, в них скорость збрпцается в нуль. Максимальная скорость будет иметь место в мидеяевой плоскости прн В = —,— она равна по величине 2 3 Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра '2 ВВ гл. Ъ), видим, что в пространственном случае обтекания сферы яаксимальиая скорость на ее поверхности достигает только трех ппорых скорости набегающего потока, в то время как в случае пложого обтекания круглого цнлиьшра максимальная скорость в два раза превышает скорость набегающего потока.
Заметим, что (так же как а в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость зе достигает столь большого значения; сфера представляет плохо збтекаемое тело, с которого набегающий поток реальной жидкости :рывается, не доходя при одних условиях лаже до миделевой пло:кости, при других — несколько заходя за нее (об этом подробнее 5удет сказано в дальнейшем). Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме Бернулли в$/т рр' 2 Р~ 2 <з которой следует выражение коэффициента давления: р р,ря 9 — — в<пай.
2~ Как и:ино непосредственно из последней формулы, в силу симяетрии главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на <оверхность сферы булет ранен нулю. Сфера при своем равное<ернол< шижении в идеальной жидкости не испытывает св стороны послед<ед никакова сопротивления. В этом заключается частный случай <заветного парадокса даламбера, о котором уже бьша речь во вне<енин и в гл. 1< о плоском безвнхревом движении. В рассмотренном юлько что случае сферы этот парадокс следует из соображений :имметрии распределении давления по поверхности сферы, однако пара<окс верен и при несимметричных обтеканиях. 41О пвоствлнстввнноь вьзвихвявов движение (~л. тп Приведем обл4ее доказательство парадокса Даламбера для случая пространственного безвихревого обтекания конечного по размерам тела произвольной формы.
Для етого определим прежде всего порядок убывании скоростей возмущения однородного потока некоторым ограниченным замкнутой поверхностью е телом (рис. 141) при удалешш от этого тела. Разобьем потенциал ~р обтекания тела на потенпиал однородно~о потока со скоростью Ь', параллельной, например, оси Оа, и на Рис. 141. потенцяал скоростей возмущения е'.
Последний потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферическик координатах можно написать в вще: Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положим ср'(г, а, 0) =1г(г)Х(е, й), где 1г(г) — функция только от г, Х(е, ч) — только от е и 6. Подсгавляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь: нлн, отделяя функции г от остальных переменных: Слева стоит функция только г, справа — только е н 0. Поскольку переменные г, е и 0 независимы друг от друга, из предыдущего % 64] овтекАние созоы. пАРАдокс дАлАмББРА равенства следует: 1 дг сЯ~ — — (г' — ) = сопз1.
Р аг (, дг ! 411 Легко видеть, что в число решений этого уравнения будут входить целые поаожительные или отрицательные степени переменного г: К(г) = г", если только произвольную константу положить равной л(л+ 1). Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел л = — л, так как потенциал возмущения ~Р' должен убывать с росток г, получим систему частных решений уравнения Лапласа (45) в виде: )г=1, 2, ... со, гз причем функции Хз(в, В) — их называют СВВорическмми функциями— должны удовлетворять уравнению в частных производных; 1 дгХв 1 д г дХо~ в1пгВ дгг юп 6 д6 ~ дз / — — — ~ )п 6 — )+й(й — 1)Ха=о.
При я =1 решением этого уравнения, ограниченным при всех значениях О.-=В~я, будет Х, =сопз1, что соответствует простейшему сопвг частному решению —, представляющему не что иное, как известный уже нам ньютонов потенциал единичного ислгочяика (стока). При я=2 уравнение имеет решением сопя1 ° созб, что приводит к потенциалу скоростей дилоля. В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал 1г' можно представить как сумму частных решений: ОР ОЭ ич Х„(г, В) С+ ~~ Хз(г,6) (45') .С4 гв г ~4 гз з-г Й=г Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтекаемое тело сферой Со большого радиуса го и, предполагая, что между поверхностью тела о и поверхностью сферы ао нет источников илн стоков, напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь поверхность оо.
Ь" бо = ~ — боо= — — ) боо у —,, г ) Ха(е, В)боо — — О. -~'- - — )' -ь -. ° а„ гр о ' гч гг о Замечая еще, что." ба = ггяпйдйда, бо =4яю'„ ПРОстРАнственное везВнхРеВОВ дВижение (гл. Рп получим СО ж Б — 4ЕС вЂ” ~) —, ~ е~е ~ Хь (е, а) ып б г(б = О, т л Е е е е е откуда при га-+ос и следует, что С О.
Итак, окончательно общий вид потенциала скоростей будет: ОР и, следовательно, действительно при больших г скорости воамущения имеют поркаок После зтого уже нетрудно доказать и парадокс Даламбера. Применим теорему количества движения а форме Эйлера к обьему жидкости, заключенному между контрольными поверхностями а и а<„Будем иметь, обозначая через Г главный вектор сил давления, действующих со стороны жидкости на тело: — ~ р1~аЧгГаа — ~ рпааа — 0=О, так как перенос количества движения через поверхность твердого тена а равен нулю. При отсутствии вихрей в рассматриваемой области течения справедлива теорема Бернулли, дающая формулу связи давления и скорости: р= сопаг — —.
Рра 2 Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим: Р= — ~рЧеЧйае+ ~ — имад. Р Р1~е Разбивая по предыдущему скорость потока на основную скорость натекания Ч и скорость возмущения Ч', будем иметь: г= — РЧ 1Ч ~аа й~~ У ~аз+ ае Фу + Р ~(У +Ч) ° (Ч +Ч)нсГа~= = — р ~ )г„У'гЬа+р ~ (Ч ° Ч')ПИае+ — ~ Ч' идее щ Овщие уРАВнения ОсесимметРичного движения 41З что следует в силу очевидных равенств: (гяйо =О, ~ пдо =О. ч По ранее доказанному скорость возмущения У' имеет при боль- 1 ших г величину порядка †, в то время как элемент интегрирования пор †поряд гз; отсюда сразу вытекает, что при стремлении г к бесконечности главный вектор г сил давления потока должен быть равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безеихрееом обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой Усидкостью, е отсутствие вокруг тела источников либо стоков, глазный вектор сил даеленин потока на тело равен нулю.
Парадокс Даламбера доказан только для тела конечных размеров, ограниченного замкнутой поверхностью. Главный Рис. 142. вектор сил давления потока на геле, распространяющееся до бесконечности, например„ на „полутело" (рис. 142), зависит от закона возрастания ширины а сечения этого „полутела", с увеличением расстояния г до бесконечности. Так сопротивление полутела, образованного наложением однородного потока на источник, равно нулю. Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления.
' 5 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение цилиндрических координат. Течение сквозь каналы Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений является движение, симметричное относительно некоторой оси (например, оси Ог), кратко называемое „осесимметричным". Сюда Относятся всевозможные движения в соплах круглого сечения, в конфузорах и днффузорах, осевого обтекания тел вращения, сигарообразных, дирижабельных и других форм.
Составим общие уравнения осесимметричного движения. Предположим, что в меридиональных плоскостях (рис. 143), образующих ау ., ~р. р~, ° и, т„...„, р„,, „фр сопротивление см. М. И. Г у р е в и ч, Обтекаияя осесямметрнчного полутела конечного сопротивления.
Приклзди. метем. и мехап., т. Х1, М 1, 1947. 4)4 !!Росгванственное везвнхгьвов движение 1гл. !61 система оРтогональных кРиволинейных кооРдинат !У!, !7я. Тогда бУдем иметь в каждой из меридиональных плоскостей: ге = гв(4!„!у ), л=я(4!„д ), и вообще для любой точки М! х=гт(!!!, пя)созе, 1! = г' (Д!, !7я) 5!и в, (!7 !7я)1 отсюда по формулам (2) й 60 легко найти коэффипменты Ламе: (46) Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будег, согласно равенству (12) й 60, иметь вид! (47) так как третий член равенства (12), заключающий производную по координате е в силу Х принятой осевой Симметрии движении обращается в нуль.
Во избежание недора- Ч, м14 зумений следует подчерк- ! Д Г" ! путь, что уравнение осе- 0 г симметричного движения (47), составленное в координатах д! и дя, не совпадает с уравнением Рнс. !43. плоского движения в тех з' же координатах; точно так же и сами движения: пространственное осесимыетрнчное течение вдоль тела вращения н плоское обтекание меридионального сечения этого тела отличаютса друг от друга и не могут даже приближенно сопоставляться.
Так, напомним, что распределение скоростей по поверхности сферы оказалос~ совершенно отличным от соответствующего распределения в плоском обтекании круглого цилиндра: максимальная скорость в первом случае Щ ОФЩи3. РРАбиенни ОсескммРГРнчно) О двн)кенав 4(О равнялась трем вторым от скорости набегающего потока, во втором— удвоенной скорости того же потока. Разница в уравнениях такого рода движений сразу видна из уравнений (46) к (47). В случае плоского движения коэффициент Лиме На оказался бы равным единице, а не г" (д„дт), и уравнение (47) приняло бы внд: Наличие в уравнении (47) существенного множителя го (д„дД под знаком производных создает значительную разницу между уравнением осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением плоского движения в тех же координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
