Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 69
Текст из файла (страница 69)
127) „иглу',' Вызывают появление системы косых скачков, которые способствуют менее резкому, чем при одном прямом скачке, переходу набегающего потока от сверхзвукового к дозвуконому движению. Рис. 128. Указанные на рисунке четыре косых скачка переводятснерхзвуковойпоток со значительным числом М постепенно в сверхзвуковой поток с числом М, близким к единице, а уже после этого прямой скачок малой мощности сонершает с ничтожными потерями окончательное превращение набегающего потока в дозвуковой. При такой конструкции Входа в реактивный двигатель потери напора значительно уменьшаются. Изложенная в настоящем и предыдущем параграфах теория сверхзвукового течения внутри и вне вершины угла может быть положена В основу описания сверхзвукового днижения газа около выпуклой или вогнугой поверхности. Действительно, заменяя непрерывную плавную поверхность (в плоском двнжении— линию) ломаной с достаточно малыми гранями, можно для каждого такого угла построить системы „линпй возмущений" н таким образом установить течение в целом.
На рис. 128 показано построение расширяю- Рнс. 129. щегося потока около выпуклой стенки, на рис. 129 †око вогнутой стенки. В первом случае поток ускоряется, местное число М растет, и „линии возмущения" расходятся веером, Гак как с ростом вниз по течению числа М углы линий возмущения с линиями тока убывают. Во втором случае, наоборот, поток замедляется, число М убывает, и углы линиИ возму!пения с направлением потока ноэрастаюг; это приводит к Взаимному пересечению линия возмущения и к образованию огибающей их в некотором удалении от поверхности тела; эта огибающая представляет криволинейный скачок уплотнения, показанный жирной линией на рис.
129. тй. Сопгап! зпл К. Гг!еог!сйэ. 8эрегэоп1с 1!1о!у зпд яюсй %зье, 1948, р. 285. 25 з з. !э!!. л г. л ан г ь 386 плоское ввзвихвявов движвнив сжимлвмого газа 1гл. ч1 Рнс. 131 Перечисленные только что два характерных типа сверхзвуковых течений: 1) ускоряющегося и расширяющегося потока, проходящего сквозь непрерывные совокупности линия возмущения, служащие линнями плавного разрежения поглл„„цд , глазика тока, и 2) замедляющегося и су- жающегося потока, скачкообразно о ф изменяющего свои параметры при прохождении через системы ди- Ф ьв ь «з скретных косых скачков, постоянче но наблюдаются как при сверх- тье олрш звуковых обтеканиях крыловых пплги или лопаточных профилей, так и Ф б1 при протекании газа сквозь сопла Рпс.
130. и насадки. Б частности, зги явле- ния имеют место на выходе из сверхзвукового сопла, если противодавление в камере не совпадает с расчетным давлением в выходном сечении сопла. В том случае, когда давление в камере несколько больше, чем в выход- Ль ном сечении, струя сужается, и .~гег чЕК на выходе образуются косые Ф ь6 скачки, повышающие давление «6 выходящего из сопла газа (рис. 130, а).
Если же давление в камере меньше, чем в выходном сечении, то поток продол- ,Р жает расширяться, плавно уменьшая свое давление при линии прохождении через пучок линии оаглежйнаа возмущения (рис. 130, б). Аналогичные явления происходят и при внешнем обтекании профилей. На рис. 131 для примера показана схема обтекания идеальным сверхзвуковым потоком пластинки, образующеа с напранлением потока конечный угол атаки. Действительно происходящие явления усложняются как наличием отраженных волн от стенок каналов или смежных тел, так и не- идеальностью газа, приводящей к образованию пограничного слоя, создающего принципиальные изменения в картине скачков.
ГЛАВА т'11 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ й 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве. Основные дифференциальные операторы поли в криволинейных координатах При исследовании пространственных течений постоянно приходится пользоваться различными крияолинейными системами координат: цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль кршюлннейных координат, как это было показано в й 40 гл.
Ч, играет метод функций комплексного переменного и конформныхотображений; переход от физической плоскости л = х+ ?у к вспомогательной плоскости Г.=$+ ?д был эквивалентен пользованию криволинейными координатами с, т) вместо прямолинейных х, у. Имея в виду сказанное, напомним вкратце основные формулы теории ортогональных криволинейных координат." Положение точки в пространстве трех измерений можно определять как заданием трех ее декартовых координат к, у, л' илн вектора- радиуса г с проекциями л, У, в, так н любой другой тройкой чисел ?,, дм дв — криволинейных координат — связанных взаимно-о ~ шыначным функциональным соответствием с координатами х, у, гк х = х (д„д, дз), 1 У=У(д1 ды дв)> ) (д1 дв дз) или эквивалентным векторным соотношением г=г(дп дм дв).
~ Зз подробностями отсылаем к курсу Н. Е. Кочин. Векторное исчисление в вачваз тензорного нсчнсл~ввв. ОНТИ, 19М. стр. 202 — 220. пеостванственное везвихеевое движение (гл. ъп Изменяя (рис. 132) одну из криволинейных координат»1» и сохраняя постоянными остальные две» получим некоторую кривую линию в пространстве, называемую координитиой линией (»;»,). Через каждую точку М просгранства можно пронести, таким образом, три координатные линии: (»у,), (»уз) и (дз). Каждая координатная линия предстаяляет годограф вектора 1Е г, соответству1ощнй изменению » одной из криволинейных координат.
Проводя через точку М касательные к координатным линиям в сторону возрастания отдельных координат, получим иоордииагаиые оси в точке М. Легко понять, что орты (единичные векторы) этих координатных осей будут равны к»= .!й !, 1=1, 2» 3» ть т» так как векторная проивводная Рпс. 132 (9»1 о» вектора-радиуса г по скалярному аргументу д, направлена по касательной к соответствующему годографу, а з результате деления вектора на е1о модуль получим вектор единичной длины, т. е. орг.
Введем так называемые козффиииеигиы »1лмет (2) тогда предыдущая формула даст следующее выражение ортов координатных осей: 1 дг й, = — —. Н» дД»- (3) Условие взаимной ортогональности координатных осей будет: О, сф,1. или — — — (- — — + — — =О, если 1~/. дл дл ду ду дл дз дс» два д»»»с ди1 ди»де~ Дифференциал дуги сЬг координатной линии (»тс) равен модулю частного дифференниала вектора-радиуса по аргументу »т,с сЫ, = ~ де г~ ~ — ! й1, = П,й1м 1 дт»! О 60] ОР«ОгонАльные кРННОлиняиные кООРдинАты 389 даа = деа дее = НеНа дЧА де а» дая = «Ьа деа — НАНа д«(е дба, да =«Ьа«Ья — — Н,Н дба доя, а также и выражение для элемента объема: дт = «Ь, «Ье «Ье = Н НАНА дй, доя доя.
(6) В цилиндрической (рнс. 133) системе координат (ге, а, г), сяязан- нои с декартовои очевидными соотношениями: х = г" соз е, у = г* яп е, е = с, ~-а'Р-РР; и сферической (г, в, О) к = г соа е яп О, у = г з]п е я1 и О, я= гсозб, отличающейся от цилиндрической заменой: г" =гз(пб и с=гсоеО, будем иметь: Н.=1, Н,=ге, Н =11 Н,=1, Н,=гяпб, Н,=г; «Ье = дге + ге" «1еа+ дяа = «1га+ ге япа 0 «(е" + га дба.
дае =г'деде, да,=дгедл, даа=гедедге; да,=г япбдедб, да,=гйгдб, да«= — гя(пбдгде; дт = ге дг" «1е дс = «а яп 0 дг де дб. (3) В ортогональной системе координаг дифференциал любои дуги «Ь складывается из дифференциалов дуг координатных линий по правилу прямоугольного параллелепипеда: «Ь" = «Ьа + даа+ два = Надд + Недб«+ Надбе. (4) Наряду с координатными линиями и касательными к ним — координашыми осями — вводят в рассмотреаае координатные поверхности ]д,] и касагельные к ним координатные плоскости.
Уравнения координатной поверхности ]О,] получим из (1) или (1'), если будем считать постоянноя координату д„а менять остальные две координаты. В случае ортогональной системы координат через каждую точку Л4 пространства можно провести три взаимно перпендикулярные координатные поверхности н три координатные плоскости. Легко прояерить, что каждая координатная линия (о,) будет перпендикулярна соответствующей ей координатной пояерхносги ]О«]; аналогично расположатся и координатные оси по отношению к координатным плоскостям.
Попарным перемножением дифференциалов дуг координатных линий получим элементарные координатные площадки: пвоствлнствянное вьзвикгввов движения 1гл. тп По определению градиенга скалярной функции будем иметь: (бган е),, = втаб м Ы, = — втаб м ° — = 1 дг ~4 ' ~Ъ 1 удт дх дт ду де де~ 1 дт = — у — — + —. — + — — ~= — —. 6) Нт1 дл дЧ, дУ дев дл дй) Нг дВ ' Дивергенция вектора может быть вычислена в ортогональной криво. нс. линейной системе по формуле Гд 1а, Н,НМ д 1ае„Н,Нг) д <а, Н,Нт) Н1НеНз! дДг дат диев которую проще ясего вывести, применяя известное нам по гл. 1 интегральное определение дивергенции д1тн= 1йп — ! а„аЬ Р ~+О т, а к элементарному криволинейному координатному объему дт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
