Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Будем иметь 1рис. 1д2)1 ага= 1йп — 1 — ая,оа,+~а,ое,+ Ьд1)+ ...~= 1 ~да, н,н, Н1НтНздд,дд,дц, ~ дд, Ф Ф 4Щ+ а посае сокращения на й1,Аувйуз, получим формулу (10), й 60) ОРТОГОНАЛЪНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 391 го)е.ааа, = «Р а аг.
с Будем иметь приближенно, а в пределе и точно, для одной из составляющих, например го1,а: го),аааз= гог,,а ° ННяй), с)«) =- д(ае аь„) = ая «йг + ~ач «йа + д ' Щ ~— Ф д (а аьг) — а й, + * ада1 — а ггеа= ( е« ' д«)е 1 е, д(ае Нъ аЩ д (ае 1/, а«),) Й),— " Щ« д«)г д«ГТ откуда, сокращая на ад, аг)з и повторяя то же вычисление для других составляющих, найдем: 1 (д(ае Нз) 1„а= нн аз Ча ! Гд(ае Нь) го),а= — ~ НзНг 'ь дФ 1 (д(ажно г01е,а=Н Н ~ д) (11) д(ае Н«)~ д«)з Наконец, пользуясь (10) и (9), напишем еще общее выражение для оператора Лапласа в любой ортогональной системе криволинейных координат: ра«Р = б)Р ассад а = Приведем в заключение формулы градиента, дивергенция, вихря и оператора Лапласа в наиболее употребительных цилиндрических н сферичесвих координатах; Проекции вихря вектора го)а на оси кривопниейиыХ коардниат получим, применяя для отдельных составляющих вихря по направлениям осей и соогветствующих элементарных площадок извесгную теорему Стокса (гл.
1) о связи между интенсивностью вихря вектора и циркуляцией вектора по элементарному контуру, охвагывающему координатную площадку (направление обхода показано стрелками на рис. 132): 392 пРОстРАнстВеннОе веаВихРВВое ДВнженнс [гл. тп а) цилиндрические координанаыг йгадг 7= —,, йтад,р=- — ", ягад,аа =й-," дт 1 д(гаа „) 1 дп да, дгта = — -+- — '+ — * ' да г да да ' 1 да да, го(, а=- — — ' — — ' га да де ' да, да, го! а= — ' — —,', де дг' !д( а,) 1да го! а=-- — ' — —— а дге а да д( "— ) 7вб =- — ' ' + — — + —.
1, дг, 1 двт дат га дга г дав дав' б) е4еричесиие координаачьс д. 1 дт йгад„й = —, йтад э= — — —, дгадьаа=- — ° дг " ' а'вал 6 да где' 1 д (гва„) 1 да, 1 д(аав!и 6) д)ча= — " + — — '+ —. гв дг гвапб да гвапб дб 1 д(а,оп 6) 1 дав го( а=-— гвш 6 дб гвапб да 1 д(гаа) 1 даг го1 а= —— г дг г дб * 1 да, ! д(га,) го!в а = —.
гвана да г дг ("В ! д;, ("6В 7вй — — — - — + '+ — ' гв дг гвгцпв6 дав гавш6 дб Выведенные формулы представляют необходимый справочный материал для дальнейшего. й б1. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя. Непрерывное распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал. Потенциал простого и двойного слоев На основании общих соображений, прнведенных в гл. Ч, задачу о внешнем обтекании тела потоком с однородным полем скоросгев в бесконечном удалении от тела можно значительно упростить„сделав наперед предположение о безвихревом характере дяижения.
В ятом предположения во всей области движения имеем го!7=0 393 9 6И ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА~ ДИПОЛЯ И ДР. и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал «ы именуемый ло«пгнйиало,я скоростей и свяаанный с вектором скорости равенством: 7 =йтаб Р. <13) Предполагая еще, что жидкосгь несжимаема, будем иметь условие О«ч ч'=О« (14) ято вместе с (13) приводит к равенству й1чдгаб р= ТЯ«у=О, (15) представляющему иавестное уравнение Лапласа.
Итак, искомый потенциал скоростей «у является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям. Рассмотрим аадачу о внешнем обтекании некоторого твердого тела с поверхностью а и ортом внешней нормали п однородным на бесконечности потоком с заданной скоростью У . Тогда граничными условиями будут: а) условие непроницаемости поверхности гела: $~„= йга«1„О = — = О на поверхности О, дл б) условие на бесконечности '1« = йтай «у = У прн « -+ со, где г — радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблнаи обтекаемого тела. Как докааывается в теории потенциала, при весьма широких нредположениях о виде поверхности а, уравнение Лапласа «'15) при только что укааанных граничных условиях имеет вдинственное решение; функция «р, представляющая это решение, называется гарл«омичгсмой функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической фиаики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи.
Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движении, соответствующая вадача в пространстве представляет непреодолимые трудности. Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов наиболее простых движений. 1'. Однородный прямолинейный поток, параллельный некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую заданную скорость в с проекциями и, О, М«, будет удовлетворять очевидной системе равенств дт д дг — = и = соп51, — = О = соп51, — = ы« = сон51 дл ' ду ' г 394 пзостзансгнснное Безвихвзвое движение (гл. тц Счедовательно, потенциал скоростей в этом случае равен 1г.
4пгз=Я, где г — радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника; отсюда получим: О 4ягз Замечая, ч~о в сферической системе координат -'" =Ю 1 дч где )г = — = Ъ'= — $" = —. — Ю де О 1 дч дг 4ягз' ' гею В де найдем искомый потенциал скоростей 9= О 4яг' (17) причем, в случае источника ~)Ю, в случае стока Я<;Ю. В выра- У !кении (17) нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречаюп1ийся в теории притяжения, электростатике и др.
3'. Поток диполя получим, используя допустимое в силу линейности уравнения Лапласа (15) наложение частных решений уравнения. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с рав- 1 а' ными по абсолютной величине мощностяни Я.
а Расположим сток (рис. 134) в точке Л прямой линии АЕ, источник — в смежной а точке Л', находящейся от точки А на Рис. 134. расстоянии АА' = Ьа. Определим потенциал скоростей е в некоторой точке Л4 с вектором-радиусом АМ=г, образующим угол В с направлением прямой АЕ; будем иметь: и=их+ну+тел= )г(хсози+усов 3 4 асоя7)„(16) где а, р, 7 — углы заданного направления потока с осями координат Ох, Оу и Ою 2'.
Поток источника (стока) мощности ь1 будет симметричен относительно положения источника и даст поле скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода 88Ц ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР 395 Предположим геперю гго, аналогично тому, как это имело место в случае плоского днполя (й 38), источник сближается со стоком, но гак, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенство: !Нв Я ° АА' = т (конечная величина).
А'-РА 9 +сь Тогда, переписывая ногенциал скоростей и в виде 1 —, Цг' — 11г е = — — Я ° АА' 4в АА' и переходя к пределу, получим следуюп!ее выражение потенциала скорое~ей: (1 8) илн, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 134, со э йь г га йз гг получим еще такое его выражение: тсозз и —— 4егг (18') ю-г 4чгг (18") 4'. Непрерывное распределение источников в вро- с гран стае. Предположим, что внутри некоторого объемат (рис.
135) непрерывно распределены источники(стоки) так, что на единицу объема приходится и мощность д. Величина о, представляющая функцию координат точек в объеме т, играет роль обеемной плотности распределения источников (о ) 0) или сто- - аат иов (д ( 0). Элементу объема с!т, находящемуся в некоторой точке А объема т, Рис. 135. будет соответствовать источник мощности о сгт, и потенциал скоростей этого злементарного источника в любой точке А4 пространства, заполненного жидкостью как внутри, Полученный предельный поток с потенциалом скоростей э, определенным формулами (18) илн (18'), называют потоком диполя находящегося в точке А, имеющего ось АЕ и момент т.
Иногда момент диполя рассматривают как вектор ш, имеющий величину т и направленный по оси диполя АЕ; при этом потенциал диполя можно представить в виде: НРостванстВенное БезВихРевое дВижение [гл. Ми так и вне обьема т, будет равен: ЕЬВ = —— адс 4ег ' где г — длина вектора-радиуса АМ= г, соединяющего элеменгарпый источник в точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей в точке М от непрерывно распределенных в объеме т источников В ВИДЕ: 1 )'4 ах 4а ~ г а (19) Подчеркнем, что интегрирование производигся по всем элементарным объемам, образующим объем т, т.
е. по переменным координатам точки А, в то время как точка М является фиксированной, в которой определяется потенциал скоростей. Если обозначить через (а, Ь, с) декартовы координаты точки А, а через (х, у„е) — координаты точки М, то формулу (19) можно переписать явно так: 1 (' (' (' 4(а, Ь, с) Лааьде 4а,),) .) У(х — а)а+ (у — Ь)е+ (л — с)а '(.) ' Если область течения жидкости безгранична, то функция 9 прн удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим через К среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т; тогда при достаточном удалении точки М можно скааать, что потен- 1 циал скоростей ~р будет стремиться к нулю, как — при )с -+со, илн еще иначе, что функция р обращается в нуль первого порядка на бесконечности: 9 = 0( Ч.
Полученный потенциал скоростей представляет обпдее выражение ньютонова потенциала. Если под д понимать плотность распределения массы в обьеме т, то выражение (19) даст потенциал сил тяготения единичной массы в точке М к неоднородной массе, заключенной в объеме 1; если под д понимать плотность распределения электрических авралов, то м будет потенциалом электростатического поля. Это же выражение играет роль потенпиала скоростей непрерывно распределенных В обьеме т источников в рассматриваемом нами гидро- динамическом случае. Широкие связи, существующие между, казалось бы, столь различными физическими областями, как гидродинамика, тяготение, электричество и др., позволяют использовать эти .аналогии" 397 ! 61! потенциал источника~ диполя и ЙР.
б!ч Ч=д !ли, заменяя Ч = пгаб и, д!и Ч = ЧЯ л: Чцу= 7. (20) Отсюда вытекает, что функция !», определенная формулой (19) ~ некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конечный объем т, является решением уравнения 1уассона (20) внутри обьема; в остальной области, где д = О, функ!на в представляет решение уравнения Лапласа ЧЪ=О, буричем это решение таково, что обращается на бесконечности з нуль первого порядка. В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (19) представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное, с такой ке первой производной по координатам решение уравнении Пуас:она (20), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка. Наряду с обьемным распределением источников, з гидродинамике, ак же как и в других отделах физики, рассматривают еще поверхюстные и линейные распределения источников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
