Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Так, для глицерина: Внутгзннеа тРение н типлопговодность 469 Таблице 10 Зависимости коэффициентов вязкости воды от температуры и — ' ° 1Оз ~ ратура Н ° 10з сек в ьС см ° сек Температ~а в ч — * !Оз смт сегс * ° 1Оч "см сек ' Таблнцд 11 Зависимости коэффициентов вязкости воздуха от температуры Темпе- — ~ ратурз сск в сС Темпе- ратура смз т— сск — ° !о с см- сек ° 1Ос см- сек 0 20 40 60 80 1ОО— 120 140 160 180 200 220 240 Зависимость коэффициента вяакости газа от температуры может быть с достаточной степенью приближения представлена степенной формулой (3) причем показатель степени л различен для разных газов и, кроме гого, слабо зависит от температуры; для воздуха и =.= 0,79, для гелии и =- 0,64, для водорода л ='— 0,69, для углекислого газа и =' 0,95; 0 5 10 15 20 25 30 35 1,792 1,519 1,308 1,140 1.005 0,894 0,801 0,723 1,709 1,808 1,904 1,997 2,088 2,175 2344 2,425 2505 2.582 2,658 2,733 1,792 1,519 1,308 1,141 1,007 0,897 0,804 0,727 ! 0,1 0,1 0.1 0,1 О,Ю9 0,2 0,2 0,27 0,298 0,322 0,346 О,З О,З 40 45 50 60 70 80 90 100 0,656 0„599 0,549 0„469 0,406 0,357 0,317 0,284 0.661 0,605 0,556 0,477 0.415 0,367 0,328 0,296 динлмикл вязкой жидкости и глзл 1г!г.
шп 470 прн приближенных расчетах иногда принимают и=0,5 для более высоких и и =1 для меньших гемперагур. Наряду с вязкостью газа следуе! рассмагривагь и его теплопроводность, которая связана с вязкосгыа общностью молекулярно! о чеханизма. Количество тепла, проходящего через единицу площади в единицу времени, выражается формулой Фурье д=Л вЂ”, дТ) (4) совершенно аналогичнои закону Ньютона 11). Здесь коэффициен! теплопроводностн Л также предсзавляег характерную для данной жидкости илн газа физическую величину, зависящую главным образом от температуры. Как доказывается в кинетической теории совершенных газон, величина а, равная отношению нс, л (с,— коэффициент теплоемкости газа при постоянном давлении), почти не зависит от температуры среды, а зависит ли!пь от физических свойств 1атомности) газа, Теоретически величина а может быть с выражена через известное отношение й= — теплоемкосгей прн нос„ сгоянноч давлении н постоянном объеме по форчуле: В табл.
12 помещены некоторые цифры, показывающие, насколько верна формула (6), н дающие представление о величине а для различных газов. Таблица 12 ! с (зксперн- мент) 4а 9л — 5 Название гала с, Гелий . Азат Вадарад . Окись углерода Кислород Окись азата . Хлор Углекнслый ~ аз 1,669 1,408 1,408 1,403 1,398 1,380 1,340 1,310 0,668 0,734 0,734 0,736 0,737 0,742 0,761 0,771 0,691 0,739 0,717 0,765 0,731 0,738 0,743 0,805 471 й 76) оъоыцаниь закона ньютона Для многоа>омных > азов при приближении й к единице в, как это видно из формулы (6), также приближается к единице. Для воздуха а представляет слабую функцию температуры и равно о = 0,72 при 0'; при высоких температурах а несколько возрас>ает (а= 0,727 при 1000').
у несовершенных газов а может сильно зависегь ог температуры, так, например„у сухого насыщенного пар» при 1 ата и изменении температуры от 100 до 300' коэффицнен> а увеличиваегся вдвое Перегретый пар, приближающийся по своим свойствам к идеальному газу, имеет значение в =0,9 (при темпера>урал порядка 250 — 300'). Прн приближенных расчетах удобно, как далее буде> показано, принимать для газов а=1, иногла о= 0,75. Совершенно иначе обстои! дело с величиной а для жидкостей; в этом случае о имеет совсем другой порядок величин и, кроме того, сильно зависит от гемперагуры.
Так, например, для волы а быстро убывает ог значения 13,7 прн 0' до 1,75 при 100', трансформаторное масло имеет а=220 при 40' н а=100 при 80". Отсюла следует, по при изучении движе>п>я вязкиь жилкостей в неичотермических условиях приходится считаться с сильным влиянием гемпературы на величину о, при движении совершенных газов этич влиянием можно пренебрегать й 76. Обобщение закона Ньютона иа случай произвольного движения среды. Закон линейной связи между тензорами напряжений и скоростей деформации Возврлцаясь л формуле 11), чожеч ее гракговап ьак закон пропор>>иональнос>и одной из касательных компонент >ензора напряжения, соогвегс>ву>ощен рассчатриваечочу час>ному случаю плоского прямолинейного лвижения„компонен>е гензора скоростей леформаций Обобщая закон Ньютона (1) нз случаи произвольного движения жидкости или газа, будем предполагагь, что пензой напряжений в лвижущейся жидков илн газообразной среде предс>авляет линейную ф»нклию тензора гкароствй дефор.чаг>ии.
Эту, хороню оправдываемую на опыте для большинства употреби>ельных жидкостей и газов гипотезу можно было бы назвать обоби>еннызг законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнигельно предположить движущуюся среду „изотропной", !. е. такой, ч>о физические ее свойсгва не завися> от каких-либо особых, заланных наперед направлений в прог>ранстве. При этом коэф>рициенты линейной связи между гензором напряжений Р и гензором скоростей деформаций я должны быгь скалярамн, и нскочая связь сводится к форму >е 17) Р=а8+56, динАмикА вязкой жидкости и ГАЗА (гл. юп где а и б — скаляры, а $ — гензорная единица, т.
е. тенаор с ком- понентами: ' $,.= ( О при (1, 1=1, 2, 3), ~ 1 прн 1=), сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной системе координат н соответствующий принятой изотропин среды. По условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент тензоров Р и 8 и поэтому является физической константой среаы, не зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7) является обобщением закономерности (1), примем для коэффициента а обозначение: а= 2р.
Скаляр д может быть связан линейным обрааом с компонентами тензоров Р и Я только через скалярные линейные комбинации этих компонент. Как уже упоминалось в гл. 1, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей координат. Таким образом, в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный ипоарипняк равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко убедиться, состапляя указанную сумму в двух произвольно повернутых друг по отношению к другу системах координат и используя связь между компонентами тензора в этих системах координат. Линейным инвариантом тензора напряжений будет сумма трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярныч площадкам з данной точке потока, г.
е. величина Ры+Рщ рза. Линейным ннвариашгом тензора скоростей деформации буде~ сл)'- жить сумма д Ь'т д $'з д 1"з Я,1+ ~ея+ Жв = — + — +— дхь дхт дхз ' равная, очевидно, дивергенции скорости б)ч'ч. ь При выводе осношгых уравнений движения яендеальяо~ о ~ Азз дгш упрощения вида формул представляется удобным привять следующее обозначение координат: х=хп у=хм х=хз и аналогичным образом нумеровать компоненты векторов и тензоров. Тах, проекции скорости дальше будут обозначатьса $'~() = 1, 2, 3) вместо обычных 7 аас (и, в, ш); компоненты тензора яапряженнй рг)(й ) = 1, 2, 3) вместо ранее применившихся рхе,...,рв,... ° % 76! 473 ововщвняе зьконь ньютОБА Принимаи, как наиболее общую, связь между величиной Ь и этими инвариангами в форме Ь=Ь (Ры+ряя+рзвН-Ь оЗчЧ+Ь-, где Ь, Ь, Ь" — некоторые константы, получим Р = 2[ьэ+ [Ь' (ры+ рт+ раз)+ Ьей[ч Ч+ Ье! й (7') Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей равенства (7'), будем иметь: р + р + р = 2р 8[ч Ч+ ЗЬ' (р + рая+ раз) + ЪЬ" б[ч Ч+ ЗЬ или, совершив приведение подобных членош (1 — ЗЬ') (Ры+ Рая+ Рая) = (28+ ЗЬе) д[ч Ч+ ЗЬ'".
(8) Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое, тогда обчЧ= О, а сумма нормальных напряжений, как было доказано в гидростатике (гл. П, 2 17), станет равной Ры+Рвв+Рт= Зря где рс — гидростагическое давление, и равенство (8) приведется к виду: (1 ЗЬ') Ре = ЗЬ '. Из этого равенства з силу проиавольносги величины гидростатнческого давления сразу вытекает: Ь/ ЬФ/ О 3' После эчого из равенства (8), верного при любом еЗч Ч~О, следует, что и Ь = — р.
3 Окончательно общая форма линейной связи (7) между тенворами напряжении и скоростей деформации будет иметь вид: =,-+,—..н+,.+,. —,. "~. Сделаем наиболее простое дополнигельное допущение, что среднее арифметическое трех нормальных напрязсений лредселавляет давление в данной точке. Смысл этого допущения заключается в воз- 1 можносги рассмотрения величины — (ры+ рая+рва) как функции 3 плотности и температуры, определенной, в случае совершенного газа, по формуле Клапейрона. Такое предположение является новым допущением илн дополиительноя типо гечоя к обобщенному закону 474 динлмикл вязкой жидкости и глзл 1гл. ьчп Ньютона. Приняв э»у »нпогеау, сохраним для давления в вязком газе прежнее обозначение, положив ' 3 (~ т! +' вв+р"а) 1 (10) Формула связи (9) приме! после итого вид: = Ф вЂ” (,р+ 3р " )В.
2 (11) В качестве другого, более общего допущении можно принять, что среднее арифметическое трех нормальяыл . »пряженнй отличается от только что определенного давления в данной точке на вели»»нну, пропорциональную скорости объемного расширения б»т ь» П!»и атом вместо равенства (10) будем иметь 1 — (Рм+ Ртт+Рш) = — Р+»'б»ч Ъ', 2 (10) где )»' — новый козффнцнент вязкости, называемыв вторим козффициен»лом вязкости, а соответствующее ему явление — аишрой вязкостью з Сделанное допущение преобразует формулу связи (9) к виду Р = 2рй — (Р + — р дач Ч вЂ” Г' дж 1!) $ 2 3 (1 Г) Вторая вязкость приобретает особо ваа пое значение прн изучении медленно развивающихся процессов.
время релаксации которых велико, напрниер, прн образовании в движущемся газе химических реакций, скорость которых мала Как показывает теоретическое исследование. ьоэффицнеш второй вязкости равен нулю, если газ одноатомен " Во всем дазьнейшем изчожеини )довольств)емся предположением, что вторая вязкость отсутствует (!»' = О) Связь между компонентами гензора напряжения и геизора скоростей деформации, ~огласно формуле (11), имеет вид. Формулы упрощаются в частном случае движения несжимаемой жидкости, ко»да бгчЧ= — + — + — =О, д)ет дйа д)'1 дхт дхе дха т Выбор отрицательного знака в правой части уже был пояснен в и 17 ~л П. е Нл возможносп, такого допущения указывал еще Стою и после него в своих лекциях по теории тепла — Кнрхгофф Современное наложение етого специально»о вопро».а см Л Ландау н р Лиф ш нц. Механика спчошныт сред Гостехнздат, 1944, стр 46--47 а См цитированную книгу Л Ландау и 1 Лифшица, стр 434 е д)е, дм Р~дх +дх) д$'» 2 — р+ 2р — ' —— дх 3 при 7 фс, (12) уд)е, д)е д 1»! — + — + — ! при 7 =-л ~дх» дхя дхе,» а 77) овпгие гвивнения движения вязкой жидкосги 475 в эгом игучае имеем д$"г — р+ 2р— дхг при )фг, (1д) при г= г.
т. е. формулу (1). $77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические уравнения и уравнение баланса знергии. Граничные условия движения жидкости с трением и теплопроводностью Вернемся к выведенным еше я гл. П уравнениям диначики сп.юшной среды (29), которые именовались „уравнениями в напряжениях", и евмения в них напряжения по формулам (12) настоящей главы. Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа д Г дге 2 д +2 — (1. — ) — — — (рбгт Ч). дг(, да1 3 да (14) При квазитвердоч движении„лишенном деформаций:, ч=чо+»Хг; г ю = ~ о +~ее~ ! 1'я= К, +ввхг — вгхз, г~з= 1о +аггея скорости сдвига (скошений углов), стоящие в первой строке системы (18)„ и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во вто- рой строке, обржцаются в нуль, и напряжения сводятся к давле- нию — р, так же„как в идеальной жидкости. В плоском пряиолинейноч движении, рассмотренном в начале настоящей главы„будем иметгс 1',=а, $' = $"~=0, =к(е); лл Рга Р .=1ь,~ 476 ДИНАМИКА ВЯЗКой ЖИДКОСТИ И ГАЗА (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
