Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 86
Текст из файла (страница 86)
При задании температуры на стенке Т,„ к числу условий присоединяется еще условие одинаковости „гемперагурного факгора". Аналогичное рассуждение, проведенное в более общем случае наличия объемных сил, например, сил веса, привело бы еще к необ- К" ходимости введения числа Фруда г = — (д †ускорен силы тяф Ъ' Т жести), а при несгапионарносги движения — числа Сгрухала 8 = б 791 льминавнос двнжвнне по гРувв 487 У иногда — ), где Т вЂ” харак терний для ггестационарного движения иг У' Э заданный наперед промежуток времени (например, время гюлного оборога винта и др.), и — число оборотов, или угловая скоросгь. Указанные голько что величины: к, М, А, а, —, Г, Б входяг в число необходимых н досисочных условий подобия двух движений жидкости или газа.
Наряду с асими, как иногда говоряг, „определяющими кригериячи" подобия ичеюгся и другие также харакгерные для явления безразмерные величины, одинзковосгь когорых в двух подобных явлениях является следсгвием гюдобия. Примером таких величин могут служить коэффициенты подъемной силы, волнового и индуктивного сопротивления крыла, коэффициент сопротивления трубы (см. далее) и др. Для двух подобных обтеканий гел этн коэффициенсы имеют одинаковое значение, однако они являются лишь косвенными, „неопределяющнми' критериями подобия. В неподобных обтеканиях геометрически подобных и подобно расгголоясенных тел „неопределяющие" критерии являются функциячв „определяющих".
Вспомним, например, формулы зависимости коэффициентов подъемной силы н волнового сопротивления пластинки от числа М. Установлениеч условий подобия, как строгих, сак и приближенных (не все условия подобия на самом деле одинаково важны), занимается специальная гвеория иойобия, которая в последнее время, в связи с развитием экспериментальных исследований, получила большое распространение. ' й 79 Ламинарное движение вилкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе Одним из наиболее проссых случаев движения вязкой иесжимаемон жидкости является гак называемое ламинарное (слоисгое) движение по цилиндрической срубе произвольного сечения, прн когороч линии гока — прямые линии, параллельные оси ~рубы. Как показываюг опыты, сякое движение осущеслвляегся в цилиндрических срубах с различными формами сечений, если колько число Рейнольдса не превосходит некоторого определенного „кригического" своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, часгицы жидкости приобретают сложные граекгории, и приводичое в настоящем параграфе решение геряег свою силу.
Практически излагаемые сейчас резулыаты имеют значение лишь при движениях с очень т Литература по теория подобия н моделирования в разных областях механики весьма обширна. Удовольствуемся рекомендацией книги Л. И. С едо в а, .Методы теории размерностей н теории гюдобня з механике, Гостехвздат, 1944. Извоз ение гндроазродинамнческой теория подобия можно найти в наягей монография „Азродиггамнка пограничного слоя", Гостехнздат, 1941, стр. 37. динАмикт Вязкой >кидкосги и глав (гл. шп чалыми скоростями, или в гонких капиллярах, или, наконец, прн движении очень вязких мощностей. Поцюбнее об условиях сущесгвования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более сложный, леурбулеюпнак" режим будет сказано далее.
Направим (рнс. 1бб) ось Оз по оси грубы и 1 будем предполагать тру- 1 * Е бу бесконечно длинной. 1 а по ток — направленным ! вдоль оси грубы, так чго г из грех компонент скорости (и, и, пг) осгаегся лишь одна ге, а остальРис. 156. ные две равны нулю Отвлекаясь от температурных Влияний, т. е.
считая поток нзогермическим, а следовательно, плотное~в р и коэффициент вязкое~и р — посгояннычн, будем иметь, согласно (14) и уравнению нерачрывноши, снсгемс уравнений 1 дд Π— -- — — —, дк ' н= — —— 1 др дг" ге — = — —.ч-+ ( — + — + — 1, дю 1 дп гд"к дгге деге д* р 7е дха дуг два,~ ' ды — =- О.
д=' 1 (д~з+ дуз) Ж дага дага дп (22) Левая часть этого равенства представляе~ функцию голько от х ну, правая — только о~ з; при независимос1и кооркинаг друг от друга эго может быть лишь в случае пос~оянсгва левон и правов часгей равенства, ИЗ Э~Он СИСГЕМЫ ьраау сЛЕдуЕЧ, ЧГО Н~ ПрЕдоаазпяЕГ фуНКцИЮ колько х и у, а р — функцию только з. Инычи словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях распределения скоростей одинаковы, а поля давлений однородны, давление меняегся только от сечения к сечению„сохраняя повсюду в данном сечении одинаконое значение.
Предыдущая сисчема равенств сводигся к одйочуг 4ЕО й' 791 ллминлвнос движвняв по тгувв Введем удобное для дальнейшего обозначение: ар ьр — = сопа1 = —— (22') где Ьр — падение давления на участке грубы длины б При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической ~рубе перепад давления йр играет роль движущего перепада, уравноаешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против движения жидкое ги. Отсюда непосрелс гневно вытекает, что давление в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а следовательно, Ьр ) О. Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренньш, так н замедленным, такое заключение наперед сделать нельзя. В конкрегных расчетах перепад давления Лр на участке грубы длины 1 либо задаегся непосредственно, либо, как далее будет показано, может быгь легко выражен через другие заданные величины: секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению нли максимальную скорость.
Уравнение (22) сводится к линейному уравнени|о в частных производных второго порядка в плоскосги хОу: а+ 1231 ьогорое должно бысть решено при следующем грзннчноч ус.ювяп па контуре С нормального к оси сечения цилиндра: ш=О на С (23') Посгавленная задача с математической стороны совершенно аналогична известной задаче геории упругости о кручении призматического стержня и легко решается для простейших контуров сечении трубы.
Если сечение грубы представляет элгипс с полуосями а и Ь, уравнение которого в плоскости хОу будет хз уа — + — =1 аа аа ~о решение уравнения (23) можно представить в форме: хз уаз ~а) ~ (24) аа причем постоянная А определяется нз условия удовлетворения зтого выражения уравнению (23): — 2А (р+ р) = — —, и будег равна ар агаз А = — ° —. 2яГ аа.з Ьа 490 динлмикл вязкой жидкости и глзл [гл. лчн Таким образом, получим эпюру скоростей в любом сечении эллиптической трубы: пааз г лз «зт зв Р (24') 2ИГ ' азФЬз(, аз МР Граничное условие (23') при этом, очевидно, удовлетворяе гся.
Заметим, что изотахами служат подобные контуру С (не софокусные) эллипсы. В случае круглой цилиндрической грубы радиуса а будем вместо (24') ичегь, полагая о = а и г = р'ха+уз: то = — (из — хя — уз) = — (нз — г в). йр ар 4иг 4нг (24") Как показывают формулы (24') н (24"), скорости по сечению эллиптической трубы распределяются по закону эллиптического параболоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиау вращения. Последнее распределение иногда называют „параболой Пуавейля" по фамилии французского ученого, известного своими исследованиями движения жидкости сквозь капнлаирные трубки (1840 г.), Из распределения скоростей (24') определим максимальную по сечению скорость на оси эашиптической трубы: йр паз 2~ Е аз+ аз ' (25) после чего распределение скоросзей (24') перепишется в виде: ха уз'1 то — l~ — — — — ). ззз З аз аз.) Аналогично для круглой грубы а йр еа 4зг причем =ю ~~ — Я ).
(20) Я.=х ~ то ° 2хг й = — — 1 (ав — г ')2г йг', з кар 4иг „1 з Определим теперь обьемный расход сквозь сечения рассматриваемых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу длины грубы. Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение круглой трубы. Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расходы по кольцевым участкам, написав динамика вязкой жидкости и глзь (гл. тлп Из выведенных формул заключаем, что по заданным геомегрическим параметрам грубы, коэффициенту вязкосги н одной из характерных для потока в трубе величин расхода, средней или максимальной скорости, можем определить потребный для соадания движения перепад давления Ьр на некотором участке длины 1.
Згот перепад давления Ьр уравновешивает сопротивление движению жидкое~и, создаваеьюе силами вязкости на стенках грубы, благодаря чему и получается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц. Величину перепада давления Ьр можно рассматривать как количественное выражение сопрогивления участка трубы длины 1. Общеприняты следующие дча выражения величины сопротивления круглой трубы череа скоростной напор, составленный по средней или максимальной скорости: 1 Рпв" бр=Л вЂ” — ' л' 2 (29) Репах Лр= 26— 2 где И =2а — диамегр трубы, а Х и ф — так называемые „коэффициенты сопротивления".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
