Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 89
Текст из файла (страница 89)
И! преобразование: (Ч ° 7) 7 = раб ( — )+ Я Х 7. Тогда. будем иметь уравнение: — +йтаб( — )+Я Р',7 = — раб П вЂ” -йтзбр — тго1 Я 57 г $'зт 1 дг (,й) Р которое после проведения над обеими его часгямн операции го1 дает: го1 — + го1 (Я Х 7) = — т го1 го1 Я. дУ Если использовать формулу (жндкость несжимаема) 1(ЯХ7)=(7 ° 7)Я вЂ” (Я ° 7) 7 и заметить, что в силу независимости операций частного дифференци- рования по времени и в пространстве го1 — — — го1 7 —— п а ва получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай не- сжимаемой вязкой жидкости: -5у+ (7 - 7) Я вЂ” (Я 7) 7 = — Уго1 го1 Я дц нли, собирая первые члены в общий символ индивидуальной производной ам — „=- (Я ° 7) 7 — т го1го1Я.
(45) т А. А. Фридман, Опыты гидромеханякя сжимаемой жндюстть 1934, динамикА вязкой жидкости и ГАЗА ~гл. Ищ В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа го$ТОТЯ =ятадй«й — ЧвВ, перепишем (4б) еще в таком виде: (4б') Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой жидкости (45) или (45') с уравнением соответствующего изменения вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой жидкости присутствует дополнительный член — «го1 ГОЖ = «ртй, пропорциональный кинематическому коэффипиенту вязкости. Как сейчас будет показано на простом примере, этот член характеризует рассеяние или диффузию вихря в вязкой жидкости.
Если бы мы попытались повторить только что приведенное доказательство теоремы Гельмгольца о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы, что в результате появления дополнительного члена диффузии ««"АА жидкий отрезок дГМ', представляющий новое положение рассматриваемой вихревой линии, уже ие соответствовал бы индивидуальному изменению вихря, характеризующему сохранение вихря, как некоторого индивидуального образования.
Взвихренность в вязкой жидкости передается смежным жидким части«ахи и постепенно рассеивается во всем объеме жидкости. В еязкод жидкости вихревые линии разрушаются. Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную вихревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки, увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости, так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное движение.
Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться, превращаться за счет работы снл внутреннего трения в тепло, а вращательное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас будет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место каа разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых, затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий. Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнения (45'), рассмотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной зихрееой линии е безграничной вязкой жидкости. Дадим следующую постановку втой задачи.
Пусть в некоторый начальный момент времени Г=О в несжимаемой вязкой жидкости имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить С циркуляцией Г. ь' ЗЦ внхзввыв линии в идеальной н вязкой жидкости 507 Легко убелиться в том, что хорошо известное нам по теории плоского безвихревого движения решение, представленное круговым движением частиц с распределением скоростей г Ъ'=— язгч э имеет место и в случае движения безграничной нивкой жидкости.
В самом деле, движение это безвнхревое, а следовательно, повсюду вокруг вихревой линии 9 =О; уравнения вязкой жидкости при этом ничем не отличаютгя от уравнений Эйлера, а единственное граничное условие $' О прн г* -ь со одинаково выполняется в обоих случаях. разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффуидирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившееся круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение энергии извне от источника завихренности, например, от вращающегося в жидкости тонкого цилиндра. Сущность рассматриваемой нами задачи как раз и заключается в рассмотрении того нестаиионарного процесса„который произойдет, если в некоторый момент времени 1= 0 удалить источник завнхренности.
Перепишем основное уравнение (45') в развернутом виде: и, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым, опустим оба нелинейных члена (Ч ° Ч)й и (й - 7) Ч, так как первый из них равен нулю как производная от завихренности по направлению скорости движения, т. е. вдоль окружности, на которой, в силу пред- положенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю как производная от скорости в плоском движении по направлению вектора Й, перпендикулярного плоскости двнясенвя. Обозначим проекшно вектора Й на перпендикуляр к плоскости движения через й и перепишем основное уравнение задачи в виде: или в полярных координатах ( — =О); /дм дя дииамикА яязкОй жидкости и гАВА [гл.
Тш Это уравнение 2-го порядка в частных производнык должно быть разрешено при начальном условии при 1=0 и гь)0, Я=О и граничном условии (1 любое) при г~ -+ со, Я =О. Уравнение (46), которое может быть еще переписано в форме широко известного уравнения теории распространения тепла --1 — + — ) дй дтй 1 дй (46') в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение (46') н ранее указанные начальное и граничное условия. Чтобы найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса г" Я ° 2кгч А[гь е равна пиркуляпии скорости по окружности радиуса г* 1г ° 2кгч.
Будем иметь: 1г= —,'. [ — ° 2 .д*=ф(1 ), (46) 2нгь 1 а или, сравнивая с начальным распределением скоростей при 8= 0 [г=— 1' 2яг* ' найдем 1' А= —. 4ят Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределения вихря Г Я= — е 4Л (47') принадлежит к аараболачесномр типу. Нашей задаче удовлетворяет простейшее его решение (А = сопз1): ~а Я е АМ (47) $ 81) вихгввыв линни в идеальной и вязкой жидкости 666 и раслределе ия скоростей Г г = — (1 — ее" ). 2еге (48') Проанализируем полученные результаты.
В начальный момент времени 1= 0 движение повсюду (г' О) было безвихревым. После удаления источника завихренности, т. е. в любой момент 1) О, во всем пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния га функцией (47'). Завяхренность в центре (г*=О) монотонно убывает с ростом времени, а в точке, находшцейся на некотором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при 1= оо. рассмотрим какую- нибудь окружность радиуса ге = а; изменение д со временем завихренно- г-а, сти в точках этой окружности представится функцией (47') в виде: е9 (Щ» = — е ! Исследуя зту функцию на максимум нли минимум, легко заключим, что в момент времени ез — завихренность 4» достигнет своего максимального значения: Г Г Я '" 4ечес яеаз ' И 1тз при дальнейшем возрастании времени завнхрен- Рнс.
160. ность будет убывать. 06 общем характере зависимости от времени завихренности в точках, находящихся иа разных расстояниях от центра, можно судить по кривым, приведенным на рис. 160. Кривые распределения скоростей в различные последовательные моменты времени приведены на рис. 161. Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить общее представление о явления диффузии единичного вихря в безграничной вязкой жидкости. Несколько более сложно с математической стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и цнлиндри- йиилмика ййзкой жидкости и газа (гл.
чцг ческого вихревого слоя, ' Отметим интересное физическое явление: диффузия вихревой трубки тем значительнее, члм меньше ее диаметр. Благодаря вязкости, бысгирее аслго затухают мелкие вихри. Обратим вновь внимание иа тот существенный факт, что при любом гэ и 1-+со 2-ьО и И-+О. Иными словами, заданное в начальный момент движение с течением времени ззтухает, а вся его кинетическая энергия рассеивается, превращаясь в тепло. й 82.
Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине скачка В предыдущих простейших приме- рах движения по цилиндрической трубе, г* равномерного н прямолинейного движе- ния шара, диффузии вихревой нити Рис. 161. были рассмотрены движения несжимае- мой вязкой жидкости. Интегрирование уравненнй движения вязкой сжимаемой жидкости представляет большие математические трудности. Простейшим примером такого рода движения служит одномерное прямолинейное движение; этот, иа первый взгляд совершение тривиальнын случай оказывается, однако, весьма интересным, так как поясняет внутренний механизм явления „скачка уплотнения" или,ударной волны".
Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, параллельное оси Ох н направленное в положительную сторону осн; из трех компонент скорости (и. о, ш) при этом остается лишь одна и; будем предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты х. Выведенные в й 77 дифференциальные уравнения движения, вместе с уравнениями баланса энергии. уравнением Клапейрона н уравнением зависшчости коэффициента вязкости от температуры в этом случае значительно упростятся и примут внд: ии йр 4 й Г йи'т ри = + р йх йх 3 Фх ~ йхг' — (ри) О, йх (49) т См. по этому поводу: И, А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
